專題05 一元二次方程章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（解析版）

專題05一元二次方程章末重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一一元二次方程的概念題型二一元二次方程的一般形式題型三一元二次方程的解題型四一元二次方程的四大解法題型五換元法解一元二次方程題型六配方法的應(yīng)用題型七根據(jù)一元二次方程解的情況求參數(shù)題型八一元二次方程根的判別式題型九一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系題型十一元二次方程的應(yīng)用—傳播問題題型十一一元二次方程的應(yīng)用—圖形幾何問題題型十二一元二次方程的應(yīng)用—增長率問題題型十三一元二次方程的應(yīng)用—利潤問題題型十四一元二次方程的應(yīng)用—動點(diǎn)問題題型十五一元二次方程的綜合運(yùn)用【經(jīng)典例題一一元二次方程的概念】【例1】（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┫铝蟹匠讨?，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可．【詳解】解：A．是關(guān)于x的一元二次方程，故選項(xiàng)正確，符合題意；B．該方程是分式方程，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．不是一元二次方程，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．該方程整理可得，是一元一次方程，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┤舴匠淌顷P(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)，可得答案．【詳解】解：由得到．根據(jù)題意，得m-2≠0．解得m≠2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）當(dāng)___________時(shí)，方程是一元二次方程．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【詳解】∵是一元二次方程，∴且，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．3．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知方程.（1）當(dāng)為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？（2）當(dāng)為何值時(shí)，此方程為一元一次方程？【答案】（1）（2）或2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義可知，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且二次項(xiàng)的次數(shù)等于2，從而可以解答本題；（2）根據(jù)一次方程的定義可解答本題，注意考慮問題一定要全面．【詳解】(1)∵方程(m?5)(m?3)xm?2+(m?3)x+5=0為一元二次方程，∴解得：m=4，所以當(dāng)m為4時(shí),方程方程(m?5)(m?3)xm?2+(m?3)x+5=0為一元二次方程；(2)∵方程(m?5)(m?3)xm?2+(m?3)x+5=0為一元一次方程，∴或或解得，m=5或m=2（無意義，舍去），故當(dāng)m為5時(shí),方程方程(m?5)(m?3)xm?2+(m?3)x+5=0為一元一次方程.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的定義，一元一次方程的定義，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.【經(jīng)典例題二一元二次方程的一般形式】【例2】（2023春·廣東惠州·九年級博羅縣平安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）方程4x2=81-9x化成一般形式后，二次項(xiàng)的系數(shù)為4，它的一次項(xiàng)是（）A．9 B．-9x C．9x D．-9【答案】C【分析】方程整理為一般形式，找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：將4x2=81-9x化成一般形式為4x2+9x-81=0，一次項(xiàng)為9x．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項(xiàng)ax2，一次項(xiàng)bx，常數(shù)項(xiàng)c．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是0，則的值A(chǔ)．1 B．1或2 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，可得答案．【詳解】解：由題意，得且，解得，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的一般形式，利用常數(shù)項(xiàng)等于零且二次項(xiàng)不等于零是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·西藏拉薩·九年級校考期中）方程－x2－2x＋3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)是______；一次項(xiàng)是______；常數(shù)項(xiàng)是______．【答案】-1-2x3【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：方程－x2－2x＋3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)是1；一次項(xiàng)是2x；常數(shù)項(xiàng)是3．故答案為：1，2x，3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般式，關(guān)鍵是掌握任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案】二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：；參數(shù)m的取值范圍是【分析】先將原方程化為一般式，再回答各項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)“二次項(xiàng)系數(shù)不為零”可以求m的取值范圍．【詳解】解：將原方程整理為一般形式，得：，由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件，即．可知它的各項(xiàng)系數(shù)分別是二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：．參數(shù)m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式和系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)不為零，掌握化一般式的方法是解題的關(guān)鍵．注意：在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．【經(jīng)典例題三一元二次方程的解】【例3】（2023·山東泰安·新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再解關(guān)于a的方程，然后根據(jù)一元二次方程定義確定a的值．【詳解】解：把代入一元二次方程得，解得，而，的值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意．【變式訓(xùn)練】1．（2022·九年級單元測試）已知m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2020的值為（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，則可表示出m3=2m-1，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，∴m2+m-1=0，∴m2=-m+1，∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2．（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）已知為方程的根，那么的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，然后對原式進(jìn)行化簡，再將整體代入即可．【詳解】解：∵，∴，∵，將代入，則原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了代數(shù)式的變形，利用整體代入法的思想是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知一元二次方程，(1)如果方程有一個根是，那么，，之間有什么關(guān)系？(2)如果方程有一個根是，那么，，之間有什么關(guān)系？(3)如果方程有一個根是，那么未知項(xiàng)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)有什么特征？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入方程即可得出答案；（2）把代入方程即可得出答案；（3）把代入方程即可得出答案．【詳解】（1）解：把代入方程得：，∴，，之間的關(guān)系是：；（2）把代入方程得：，∴，，之間的關(guān)系是：；（3）把代入方程得：，∴常數(shù)項(xiàng)．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根，掌握這個概念是關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四一元二次方程的四大解法】【例4】（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程(1)(2)(3)（配方法）(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）方程兩邊同時(shí)除以，然后根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程；；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，即，解得：，（2）解：,∵，,∴,解得：，;（3）解：，∴，∴，∴，解得：，；（4）解：∴，即，∴，∴或，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝懈饕辉畏匠蹋?1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（2）先把常數(shù)項(xiàng)移到等號的另一邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方，利用直接開平方法求解；（3）把看成一個整體，利用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（5）先整理方程，用公式法比較簡便．【詳解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）由，得或者，再解一次方程即可；（2）由，得，可得，再解一次方程即可；（3）由，得，從而可得答案；（4）由，得，即，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴或者，∴原方程的解為：，；（2）∵，∴，∴，解得：或，所以原方程的解為：，；（3）∵，∴，解得：．∴原方程的解為：；（4）∵，∴，∴，∴原方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用因式分解法與直接開平方法求解一元二次方程，熟記因式分解法與直接開平方法解一元二次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級單元測試）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程；（4）將看作整體，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，∴，即，∴，∴，（2）∴，∴，∴或，∴，；（3），∵，∴，∴，∴，；（4）∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五換元法解一元二次方程】【例4】（2022秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足，則的值為（）A．6 B．-2或6 C．-2 D．12【答案】A【分析】本題可先設(shè)，則方程變形為，解方程即可求出的值．【詳解】設(shè)，則方程變形為：，即，，即；當(dāng)時(shí)，此方程無實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，滿足題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法，把某個式子看作一個整體，用一個字母代替去求解，解決本題的關(guān)鍵是求出代數(shù)式的值要進(jìn)行討論是否符合題意．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】可把方程看作關(guān)于的一元二次方程，從而得到，，然后解兩個一次方程即可．【詳解】解：將化為把方程看作關(guān)于的一元二次方程，而關(guān)于x的方程的解是，，所以，，所以，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是用好整體的思想方法.2．（2023春·云南昆明·九年級專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，則________．【答案】3【分析】設(shè)，則，原式化為，整理后利用因式分解法求出z的值，再根據(jù)舍去不合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，原式化為，整理得：，因式分解得，∴或，解得：，，∵，∴，即，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握換元思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下面的材料：某數(shù)學(xué)興趣小組探究下面的方程解答方法，為解方程：，可以將看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，即，則；當(dāng)時(shí)，，即，則．故原方程的解為：，，，．上述解題方法，我們稱之為換元法，請利用換元法解以下方程：．【答案】，【分析】設(shè)，按照題意，將代入方程得，求出m的值，再求出x即可．【詳解】解：設(shè)．原方程化為：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，會根據(jù)題目所描述的換元法求解方程．【經(jīng)典例題六配方法的應(yīng)用】【例5】（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考期末）把一元二次方程化成的形式時(shí)，的值為（

）A．8 B． C． D．2【答案】A【分析】由，可得，從而可得，從而可得的值．【詳解】解：，，，，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是配方法解一元二次方程以及代數(shù)式求值，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由變形得，代入中得到，再進(jìn)行配方，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，涉及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、偶次方，熟練運(yùn)用上述知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）新定義，若關(guān)于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵與是“同類方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為2023．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式；；例如：求代數(shù)式的最小值．原式．，當(dāng)時(shí)，有最小值是2．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若當(dāng)x＝時(shí)，y有最值（填“大”或“小”），這個值是．【答案】(1)(2)3(3)；大；1【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）湊成完全平方加一個數(shù)值的形式；（3）和（2）類似，湊成完全平方加一個數(shù)值的形式；【詳解】（1）解：．（2）解：；∴當(dāng)時(shí)，的最小值是3；（3）解：，，，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，有最大值1．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七根據(jù)一元二次方程解的情況求參數(shù)】【例6】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且k為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的k的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得到確定取值范圍，結(jié)合k為非負(fù)整數(shù)，求解即可．【詳解】∵一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∵k為非負(fù)整數(shù)，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的一般式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由題意可得且，然后解不等式即可．【詳解】∵有意義，∴，∵關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴且，∴且，綜上所述，且，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零以及二次根式有意義這些隱含條件．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，存在2個不同的的值，使代數(shù)式與代數(shù)式值相等，則的取值范圍是___________．【答案】/【分析】根據(jù)題意可得方程有兩個不相等的根，即判別式，即可求解．【詳解】解：由題意得，方程有兩個不相等的根，整理得，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，熟練掌握一元二次方程的判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）當(dāng)為何值時(shí)，方程，(1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根；(3)沒有實(shí)數(shù)根．【答案】(1)且(2)(3)．【分析】（1）將方程整理成關(guān)于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時(shí)，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，由此可知，時(shí)，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）時(shí)，有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根．【詳解】（1）將方程整理成關(guān)于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時(shí)，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，當(dāng)，解得即且時(shí)，方程有兩不等實(shí)根；（2）由（1）可知；當(dāng)，方程有兩相等實(shí)根；解得：；即時(shí)，方程有兩相等實(shí)根；（3）由（1）可知；當(dāng)，解得：；即時(shí)，方程無實(shí)根．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，將方程整理成一元二次方程的一般形式，然后確定二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的情況，再確定其值是解題的關(guān)鍵，可由方程根的情況確定其值與0的大小關(guān)系，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類討論．【經(jīng)典例題八一元二次方程根的判別式】【例7】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算：對任意實(shí)數(shù)，，總有，例如：，則方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】先根據(jù)新定義得到，再方程化為一般式為，然后計(jì)算根的判別式的值，從而得到方程根的情況．【詳解】解：方程轉(zhuǎn)化為，方程化為一般式為，，方程無實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·校考二模）關(guān)于一元二次方程，有以下命題：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程必有兩個不相等的實(shí)根；④若有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則無實(shí)數(shù)根．其中真命題是()A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①由可知是的解，據(jù)此判斷即可；②把，代入再消去b即可得到a與c的關(guān)系式，從而作出判斷；③根據(jù)有兩個不相等的實(shí)根得出從而得出，從而作出判斷；④根據(jù)有兩個相等的實(shí)數(shù)根得出，從而得到第二個方程，無法判斷正負(fù)，從而推斷④錯誤．【詳解】解：①若則是的解，即方程有實(shí)數(shù)根，故①正確；②把代入方程得到：（1）把代入方程得到：（2）把（2）式加上（1）式×2得到：

即：故②正確；③方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則它的，∴方程必有兩個不相等的實(shí)根．故③正確；④∵有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴∴對于方程，即來說，由于不知道a的正負(fù)，因此無法判斷的正負(fù)，故④錯誤．∴正確的有：①②③．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，命題的真假判斷，掌握根的判別式與根的情況的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·八年級期中）下列關(guān)于一元二次方程的命題中，真命題有_________（填序號）①若，則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程必有實(shí)根．【答案】①②③【分析】把代入判別式中得到，則可對①進(jìn)行判斷；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，則，可對②進(jìn)行判斷；利用方程有兩個不相等的實(shí)根得到，則，可對③進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，則，∴，所以①正確；∵方程兩根為1和2，∴則c=2a，∴，所以②正確；∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實(shí)根，∴，∴，∴方程必有兩個實(shí)根，所以③正確．故答案為①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷、一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若的兩邊的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊的長為5，①若時(shí)，請判斷的形狀并說明理由；②若是等腰三角形，求k的值．【答案】(1)見解析(2)①是直角三角形，理由見解析；②k的值為4或5【分析】（1）先計(jì)算出，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）①代入方程，解方程求得，然后利用勾股定理的逆定理即可判斷是直角三角形；②把代入方程，求得k的值，然后判斷即可．【詳解】（1）證明：∵，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：①時(shí)，方程為，解得，∴，∵，∴，∴是直角三角形；②∵，∴，∴中有一個數(shù)為5．當(dāng)時(shí)，原方程為：，即，解得：．當(dāng)時(shí)，原方程為．∴．由三角形的三邊關(guān)系，得4、5、5能圍成等腰三角形，∴符合題意；當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：．由三角形的三邊關(guān)系，得5、5、6能圍成等腰三角形，∴符合題意．綜上所述：k的值為4或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及直角三角形和等腰三角形．【經(jīng)典例題九一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例8】1（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）設(shè)與為一元二次方程的兩根，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根于系數(shù)的關(guān)系可得、，然后代入進(jìn)行配方即可解答．【詳解】解：∵∴，，．，．的最小值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、運(yùn)用配方法求最值等知識點(diǎn)，掌握配方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）校考模擬預(yù)測）已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡分式，由根與系數(shù)的關(guān)系得出，再將其代入計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】解：，∵a，b是一元二次方程的兩根，∴，∴原式．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù)_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南懷化·八年級校考期中）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)記該方程的兩個實(shí)數(shù)根為，若，求k值；(3)若，證明：．【答案】(1)見解析(2)5或(3)見解析【分析】（1）證明方程的判別式即可；（2）解方程求得方程的兩個根，然后根據(jù)分情況列式求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方法可得，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：解方程，得，解得或，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述，k的值為5或；（3）證明：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的求解等知識，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一元二次方程的應(yīng)用—傳播問題】【例9】（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了66次手，則這次會議到會的人數(shù)是（

）A．11 B．12 C．22 D．33【答案】B【分析】可設(shè)參加會議有x人，每個人都與其他人握手，共握手次數(shù)為，根據(jù)一共握了66次手列出方程求解．【詳解】解：設(shè)參加會議有x人，依題意得，，整理，得，解得，，(舍去)則參加這次會議的有12人．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，計(jì)算握手次數(shù)時(shí)，每兩個人之間產(chǎn)生一次握手現(xiàn)象，故共握手次數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）某地有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后又有70人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】A【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為人，第一輪傳染后有人患了流感，第二輪有人，根據(jù)兩輪后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為人，第一輪傳染后有人患了流感，第二輪有人，依題意，得解得：（舍去）故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）有一個人利用手機(jī)發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過兩輪信息的發(fā)送，共有90人手機(jī)上獲得同一條信息，則每輪發(fā)送短信過程中平均一個人向_________人發(fā)送短信．【答案】9【分析】設(shè)每輪發(fā)送短信平均一個人向x個人發(fā)送短信，第一輪后共有人收到短信，第二輪發(fā)送短信的過程中，又平均一個人向x個人發(fā)送短信，則第二輪后共有人收到短信，根據(jù)這樣經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送共有90人收到同一條短信列出方程．【詳解】解：設(shè)每輪發(fā)送短信平均一個人向x個人發(fā)送短信，則：．整理得：解得或（舍去）故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．該類題解答的關(guān)鍵在于分析每一輪中發(fā)送的人數(shù)與接收的人數(shù)，并能結(jié)合題意，列出方程．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強(qiáng)防范，使病毒的傳播力度減少到原來的，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍，求的值．【答案】(1)人(2)【分析】（1）設(shè)平均每人每輪感染人，開始是個人，則第一輪感染人，第二輪感染人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳播，共有人感染，得出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)果；（2）由第二輪傳播后，病毒的傳播力度減少到原來的可知，第三輪的傳染人數(shù)為，根據(jù)第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】（1）.解：設(shè)平均每人每輪感染人，根據(jù)題意得，，解得，（舍去），答：平均每人每輪感染人；（2）依題意得：，解得，答：的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意找出等量關(guān)系列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一一元二次方程的應(yīng)用—圖形幾何問題】【例10】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，D為邊上一個動點(diǎn)，把沿折疊，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，從而可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由折疊的性質(zhì)得：，在中，，即，解得或（不符合題意，舍去），，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、勾股定理、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用，正確求出直線的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？既＃┤鐖D，將一張正方形鐵皮的四個角同時(shí)切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出原正方形鐵皮的邊長為，從而得到原正方形鐵皮的面積為，即，解得，從而得到無蓋箱子的外表面積為，即可得到答案．【詳解】解：正方形鐵皮的四個角同時(shí)切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的邊長為，原正方形鐵皮的面積為，又正方形鐵皮的面積為，，解得，無蓋箱子的外表面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出各個邊長，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，王師傅要建一個矩形羊圈，羊圈的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊要留出安裝木門．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長為______．【答案】/8米【分析】設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長為米，利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合住房墻的長度為，即可確定所圍矩形與墻垂直的一邊長的長度．【詳解】解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，此時(shí)所圍矩形與墻平行的一邊長為米，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為時(shí)，羊圈面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）有一塊長為米，寬為米的長方形場地，計(jì)劃在該場地上修建寬均為x米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊長方形場地建成草坪．(1)已知，，且四塊草坪的面積和為平方米，則每條道路的寬為多少米？(2)若，，且四塊草坪的面積和為平方米，則原來矩形場地的長和寬各為多少米？(3)已知，，現(xiàn)要在場地上修建若干條寬均為米的縱橫小路，假設(shè)有條水平方向的小路，條豎直方向的小路(其中n為常數(shù))，使草坪地的總面積為平方米，則(直接寫出答案)．【答案】(1)(2)長，寬(3)【分析】（1）將四塊矩形場地拼成一個長方形，表示出長和寬，根據(jù)面積為列一元二次方程，解方程即可；（2）由題意，四塊矩形場地可拼合成一個長為，寬為的矩形，根據(jù)面積為列一元二次方程，解方程即可；（3）草坪可拼合成相鄰兩邊分別為，的矩形，則，即，將分解為，根據(jù)，可得，求出m和n的值，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍即可．【詳解】（1）解：四塊矩形場地可拼合成一個長為，寬為的矩形．依題意，整理，得，解得：（舍去）答：每條道路的寬為（2）解：四塊矩形場地可拼合成一個長為，寬為的矩形．依題意，，整理，得，解得：（舍去），則，答：原來矩形場地的長，寬；（3）解：草坪可拼合成相鄰兩邊分別為，的矩形．依題意，得，即．，，可得，解得：∴∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，因式分解，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵【經(jīng)典例題十二一元二次方程的應(yīng)用—增長率問題】【例11】（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）在“雙減政策”的推動下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長為分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長比去年上半年減少了，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長的下降率為x,根據(jù)現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長比去年上半年減少了，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長的下降率為x，可列方程為，即故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃╇S著疫情影響消退和消費(fèi)回暖，2023年電影市場向好．某電影上映的第一天票房約為2億元，第二天、第三天單日票房持續(xù)增長，三天累計(jì)票房6.62億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長率增長，設(shè)平均每天票房的增長率為，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)平均每天票房的增長率為，根據(jù)平均增長率的意義列式求和計(jì)算即可．【詳解】設(shè)平均每天票房的增長率為，則根據(jù)題意，得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平均增長率的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長明顯減少．2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長為．設(shè)這兩學(xué)期該校平均每天作業(yè)時(shí)長每期的下降率為x，則可列方程為______．【答案】【分析】根據(jù)2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長為，經(jīng)過兩學(xué)期降低后到了平均每天作業(yè)時(shí)長為，即可得出關(guān)于一元二次方程，即可得出．【詳解】解∶依題意得：，答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】(1)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬人【分析】（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，由題意，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，由題意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬人．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十三一元二次方程的應(yīng)用—利潤問題】【例8】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為6元．當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí)，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場調(diào)查表明，每瓶售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計(jì)劃該飲料日均總利潤為700元，且盡快減少庫存，則每瓶該飲料售價(jià)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根據(jù)“總利潤=每瓶利潤日均銷售量”列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)每瓶售價(jià)x元時(shí)，所得日均總利潤為700元，根據(jù)題意的，，解得x1=11，x2=13，當(dāng)x1=11時(shí)，，當(dāng)x2=13時(shí)，，且，盡快減少庫存，每瓶該飲料售價(jià)為11元．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·九年級課時(shí)練習(xí)）超市經(jīng)銷一種水果，每千克盈利10元，每天銷售500千克，經(jīng)市場調(diào)查，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量減少20千克，現(xiàn)超市要保證每天盈利6000元，每千克應(yīng)漲價(jià)（

）A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元【答案】D【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，得出日銷售量將減少20x千克，再由盈利額=每千克盈利×日銷售量，依題意得方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，依題意得方程：(500-20x)(10+x)=6000，整理，得x2-15x+50=0，解這個方程，得x1=5，x2=10．答：每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元或10元．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．2．（2023·內(nèi)蒙古·二模）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購進(jìn)一批棕子，根據(jù)市場調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋棕子售價(jià)降低x元，則可列方程為____________．【答案】【分析】由售價(jià)及銷售間的關(guān)系，可得出降價(jià)后每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，利用超市每天售出此種粽子的利潤每袋的銷售利潤日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：每袋粽子的銷售利潤為，每天可售出袋，∴超市每天售出此種粽子的利潤．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）為紀(jì)念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價(jià)是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；(2)超市為了促銷，購買粽子達(dá)20個及以上時(shí)實(shí)行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)；②為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷售價(jià)格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．【答案】(1)豆沙粽的單價(jià)為4元，肉粽的單價(jià)為8元(2)①豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為7元；②【分析】（1）設(shè)豆沙粽的單價(jià)為x元，則肉粽的單價(jià)為元，依題意列一元一次方程即可求解；（2）①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為b元，依題意列二元一次方程組即可求解；②根據(jù)銷售額=銷售單價(jià)銷售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．【詳解】（1）解：設(shè)豆沙粽的單價(jià)為x元，則肉粽的單價(jià)為元，依題意得，解得；則；所以豆沙粽的單價(jià)為4元，肉粽的單價(jià)為8元；（2）解：①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為b元，依題意得，解得，所以豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為7元；②依題意得，解得或，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到題中的等量關(guān)系列出方程或方程組是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十四一元二次方程的應(yīng)用—動點(diǎn)問題】【例13】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，，動點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動，動點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個點(diǎn)同時(shí)停止．則的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】過E作于點(diǎn)M，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，，利用勾股定理解，可得關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過E作于點(diǎn)M，由題意知，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，，，，，根據(jù)勾股定理得：，即，整理得：，解得：，，的長為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間是或，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．本題作答方法不唯一，也可以通過分類討論求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．現(xiàn)有動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)方向運(yùn)動，動點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)方向運(yùn)動，如果點(diǎn)的速度是2cm/s，點(diǎn)的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動，當(dāng)，兩點(diǎn)運(yùn)動秒時(shí)，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【分析】由題意可得，，則利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為，由題意得：，，，解得：，，即當(dāng)或時(shí)，的面積等于．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式，正確地列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）______________；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過____________秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，依題意得：．當(dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經(jīng)過1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)以的速度移動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，請回答：(1)經(jīng)過多少時(shí)間，的面積是，此時(shí)，長為多少．(2)探究：是否存在某一時(shí)刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)1秒，(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，根據(jù)題意表示出、的長，再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可，再根據(jù)勾股定理求得此時(shí)的長度；（2）由得，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，判斷該方程的根的情況即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，，則，由題意得：，，，，即解得：，（不符合題意，舍去），，當(dāng)時(shí)，，，，經(jīng)過1秒，的面積是，此時(shí)，的長為；（2）解：不存在，理由如下：，，，，，沒有實(shí)數(shù)根，故不存在某一時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形的面積公式，一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程判別式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十五一元二次方程的綜合運(yùn)用】【例14】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知方程整理為一元二次方程，結(jié)合方程根的情況，得出的取值范圍，再代入方程即可求解．【詳解】解：變形得，，∵為正整數(shù)，∴存在正整數(shù)，使得①，∴，即，∴②，設(shè)關(guān)于的方程為③，方程有兩個正整數(shù)解，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴的值為，可證為時(shí)方程③無正整數(shù)根，∴當(dāng)時(shí)，方程得，，解得，，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查將分式轉(zhuǎn)化為一元二次方程方程，根據(jù)根的情況解一元二次方程的參數(shù)，再代入計(jì)算，掌握以上相關(guān)知識的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）根據(jù)絕對值的定義可知，下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，；④若關(guān)于的方程有2個不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】由、、的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種，可判斷①；根據(jù)的取值，化簡運(yùn)算即可判斷②；根據(jù)【詳解】解：、、的結(jié)果分別有2種，的結(jié)果共有種，故①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故②錯誤；是正整數(shù)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故③正確；，當(dāng)或時(shí)，，，方程有2個不同的解，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，方程有2個不同的解，，解得：，故④錯誤；綜上，正確的有①③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無錫·?？级＃┲本€：、為常數(shù)分別與軸、軸交于點(diǎn)、，動點(diǎn)的坐標(biāo)為（為常數(shù)）．（1）當(dāng)______時(shí)，有且僅有一個滿足條件的的值，使得點(diǎn)在直線上；（2）若有且僅有兩個符合條件的的值，使得點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍是______．【答案】或【分析】（1）用待定系數(shù)法可求得直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，根據(jù)判別式，進(jìn)行計(jì)算即可得答案；（2）分三種情況：若有兩個不相等的解，而無解；若有兩個不相等的解，而無解；若有一個解，有一個解，分別列示計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，得方程組，解得，故直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，若它只有一個根即有兩相等實(shí)根，則有，解得，故答案為：；（2）點(diǎn)到直線的距離為，整理得，即，若有兩個不相等的解，而無解，則有，解得且，若有兩個不相等的解，而無解，則有，此不等式組無解，若有一個解，有一個解，則有，此方程組無解，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一元二次方程的根的判別式，解不等式組，熟練掌握一元二次方程的根的判別式，解不等式組的方法，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如果方程有兩個實(shí)數(shù)根，，那么，，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：(1)已知，是方程的二根，則(2)已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．(3)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值；（2）根據(jù)，，得出，，、是方程的解，再根據(jù)，即可求出的最小值；（3）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出，，再解，即可求出的值．【詳解】（1）解：∵，是方程的二根，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，，∴、是方程的解，∴，∴，∵是正數(shù)，∴，∴，∴，∴正數(shù)的最小值是；（3）存在，當(dāng)時(shí)，．理由如下：∵，由①得：，由②得：，∴，即，由題意思可知，，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，則，∵和是關(guān)于，的方程組的兩個不相等的實(shí)數(shù)解，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得：，（舍去），∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．也考查了一元二次方程根的判別式，不等式、二元一次方程組及一元二次方程的解法．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）如果x、y是兩個實(shí)數(shù)（）且，，則的值等于（

）A． B． C． D．2023【答案】C【分析】由，可得，可得，可得，是方程的兩個根，，，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，而，，∴，是方程的兩個根，∴，，∴；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的構(gòu)建一元二次方程的解本題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知方程的兩根分別為，，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先對進(jìn)行化簡，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，即可得到答案．【詳解】解：，方程的兩根分別為，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解化簡等知識，運(yùn)用好根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

當(dāng)代數(shù)式的值為1時(shí)，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．【詳解】解：由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）若關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再把兩邊平方后利用完全平方公式變形得到，然后將代入求關(guān)于k的方程，最后再利用判別式確定k的取值．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根∴，∵∴∴，整理得：，解得，當(dāng)時(shí)，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；∴k的值為11或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識點(diǎn)，若方程兩個為，則是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，用1塊邊長為a的大正方形，4塊邊長為b的小正方形和4塊長為a，寬為b的長方形，密鋪成正方形，已知，正方形的面積為S（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】正方形的邊長是一個含有兩個字母的代數(shù)式，根據(jù)已知條件，變成含一個字母的代數(shù)式，根據(jù)面積得出整式的值，再將整式整體代入，對選項(xiàng)加以判定即可．【詳解】解：由題意，正方形的邊長為，，，若，則正方形的邊長為，，即，∴，∴選項(xiàng)A不正確；若，則正方形的邊長為，，即，∴，∴選項(xiàng)B不正確；若，則，∵，∴，∴，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，則，，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，∴，則，∴選項(xiàng)C正確；若，則，∵，∴，∴，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，則，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴選項(xiàng)D不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是含多項(xiàng)式乘法的幾何背景題，正確識圖、掌握多項(xiàng)式的混合運(yùn)算是關(guān)鍵．解答時(shí)，要注意整體代入的思想．6．（2023春·重慶合川·九年級重慶市合川中學(xué)校考階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（其中，字母按的降冪排列，b的升冪排列）．例如，在三角形中第2行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第三行的的4個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第4行的五個數(shù)1，4，6，4，1；恰好對應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，有如下結(jié)論：①；②“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；③“楊輝三角”中第20行第3個數(shù)為190；④的結(jié)果是；⑤當(dāng)代數(shù)式的值是1時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是或，上述結(jié)論中，正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】把中換成后可得，，由此即可判斷①；觀察并計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)第n行所有數(shù)字之和為，由此即可判斷②；觀察并計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)第n行（n大于2）第三個數(shù)誒為，由此即可判斷③；時(shí)，，即可判斷④；當(dāng)時(shí)，，再由的值為1，得到，解方程即可判斷⑤．【詳解】解：∵，∴把上述式子中的換成后可得，，∴，故①正確；第1行的所有數(shù)字之和為，第2行的所有數(shù)字之和為，第3行的所有數(shù)字之和為，第4行的所有數(shù)字之和為，……，∴可以得到規(guī)律第n行所有數(shù)字之和為，∴“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和，故②錯誤；第2行第三個數(shù)為，第3行第三個數(shù)為，第4行第三個數(shù)為，第5行第三個數(shù)為，……，∴第n行（n大于2）第三個數(shù)為，∴“楊輝三角”中第20行第3個數(shù)為，故③正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，，故④正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∵的值為1，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中得規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了__人．【答案】11【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x人，根據(jù)題意可得第一輪被傳染了之后有x人，即有患了流感，則第二輪能傳染人，故可列方程，解方程即可解答．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x人，根據(jù)題意可得方程，解得，（舍去），故每輪傳染中平均一個人傳染11人，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，注意第一輪患者人數(shù)是被傳染的人加上原有患者是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個不相等的整數(shù)根，則的值是______．【答案】【分析】將方程化為，根據(jù)為整數(shù)，且方程有兩個不相等的整數(shù)根即可求解．【詳解】解：，，，，，，為整數(shù)，且方程有兩個不相等的整數(shù)根，當(dāng)時(shí)，符合題意，解得：；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，求參數(shù)的整數(shù)問題，掌握方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）如圖，沿折疊菱形紙片，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，若，則

（1）__________．（2）線段的長是__________．【答案】【分析】（1）證明，，由對折可得：，可得；（2）先延長，交于點(diǎn)G，根據(jù)三角形三角形外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定，即可得到，設(shè)，則，，，再依據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵菱形，，∴，∵，∴，由對折可得：，∴，故答案為：；（2）如圖所示，延長，交于點(diǎn)G，

∵菱形，，，∴，，，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵中，，∴，解得：，（負(fù)值已舍去）∴，故答案