整式乘法與因式分解-解答壓軸題一（解析版）

整式乘法與因式分解（解答壓軸題一）1．閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：根據以上材料，解答下列問題：(1)用多項式的配方法將化成的形式；(2)下面是某位同學用配方法及平方差公式把多項式進行分解因式的解答過程，老師說，這位同學的解答過程中有錯誤，請你找出該同學解答中開始出現錯誤的地方，并用“_____”標畫出來，然后寫出完整的、正確的解答過程：解：(3)求證：x，y取任何實數時，多項式的值總為正數．【答案】(1)(2)見解析3)證明見解析【詳解】（1）；（2）如圖所示：解：正確的解答過程：；（3）證明：，故x，y取任何實數時，多項式的值總為正數．2．（1）閱讀材料：一個正整數x能寫成（a，b均為正整數，且），則稱x為“雪松數”，a，b為x的一個平方差分解．例如：，24為雪松數，7和5為24的一個平方差分解．①請直接寫出一個30以內且是兩位數的雪松數，并寫出它們的一個平方差分解；②試證明10不是雪松數；（2）若a，b正整數，且，求的值．【答案】（1）①見解析；（答案不唯一）②見解析；（2）【詳解】解：（1）①∵，∴21是“雪松數”，5和2為21的一個平方差分解；②設，∵，∴或，解得：或，∵a、b均為正整數，且，∴方程組無解，∴10不是“雪松數”；（2）∵，∴，∴，不妨令，∴或，解得：或，∵a、b均為正整數，且，∴，∴．3．閱讀下列材料：某?！皵祵W社團”活動中，研究發(fā)現常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)7(3)等腰三角形，理由見解析【詳解】（1）解：；（2），，，原式；（3）是等腰三角形，理由如下：，，，，，，即，是等腰三角形．4．閱讀材料，解答問題：任意一個正整數都可以進行這樣的分解：（，是正整數，且），在的所有這種分解中，如果，兩因數之差最小，我們就稱是的最優(yōu)分解，記．例如：，，是12的最優(yōu)分解，即．(1)填空：______；(2)若是大于1的正整數，求的值；(3)已知，其中是正整數，求的值．【答案】(1)3(2)(3)或【詳解】（1）解：，，是18的最優(yōu)分解，即，（2）解：為正整數，且不能分解為一個整式的平方，又，與相差1是最小的，是的最優(yōu)分解，；（3）解：，，，，，均為正整數且，或，解得或．5．將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：再如“”分法：利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：．(2)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)；(2)是等腰三角形，理由見解析．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，，∴或，∴或，∴是等腰三角形．6．閱讀材料：我們學習了完全平方式，并知道完全平方式具有非負性．我們可以利用完全平方式的知識，將一般的二次代數式，轉化為完全平方式的形式，這個過程叫做“配方”．通過配方，我們可以求代數式的最大（?。┲担纾呵蟠鷶凳降淖钚≈担猓何覀兛梢韵葘⒋鷶凳脚浞剑涸倮猛耆椒绞降姆秦撔裕骸撸?，∴的最小值是4．(1)求代數式的最小值；(2)求代數式的最大值；(3)某居民小區(qū)要在一塊兩面靠墻（墻長無限）的空地上建一個長方形花園，另兩邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設，請問：當取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)(2)16(3)當時，花園的面積最大，最大面積是100【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2），∵，∴，∴的最大值是16；（3）設，則，花園的面積∵，∴，∴當時，花園的面積最大，最大面積是100．7．我們把“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結果相等，從而構建等式，根據等式解決相關問題”的方法稱為“面積法”．(1)通過如圖①中圖形的面積關系，直接寫出一個多項式進行因式分解的等式：______；(2)“面積法”還可以作為幾何證明的工具，當兩個全等的直角三角形擺放成如圖②所示時，其中，借助圖中輔助線用兩種不同方法表示四邊形的面積，易得：______；______，構建等式整理可得：；(3)如圖③，在中，，，P為邊上的任一點，過點P作，，垂足分別為M、N，連接，利用“面積法”求的值．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1）解：左上角正方形的面積可以表示為，也可以表示為：即，（2）解：，（3）解：如圖，過A作于點H，∵，∴，∴由勾股定理得，．∵，∴，∴，∴．8．我們知道某些代數恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：如圖1，可以用來解釋，實際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項式進行因式分解．(1)如圖2，將一張長方形紙板按圖中裁剪成六塊，其中有一塊是邊長為a的大正方形，兩塊是邊長都為b的小正方形，三塊是長為a，寬為b的全等小長方形，觀察圖形，因式分解：______；(2)如圖3，若，，，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)11【詳解】（1）解：根據圖形可得：，（2）根據圖形陰影部分的面積表示為：，∵，，∴，∴陰影部分的面積為．9．先閱讀下面的內容，再解決問題：問題：對于形如，這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：；(2)若．①當a，b，m滿足條件：時，求m的值；②若的三邊長是a，b，c，且c邊的長為奇數，求的周長．【答案】(1)(2)①②或或【詳解】（1）解：；（2）解：；∵，∴，∵，∴，∴；①∵，即：，∴，∴，∴，∴；②∵的三邊長是a，b，c，∴，即：，∵c邊的長為奇數，∴或或，當時，的周長為；當時，的周長為；當時，的周長為；綜上：的周長為或或．10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．這樣我們就需要結合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現：若把它的前兩項結合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：例1：

分成兩組

分別分解

提取公因式完成分解像這種將一個多項式適當分組后，再分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關鍵在恰當分組，分組須有“預見性”，預見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)關于以上方法中“分組”目的的以下說法中所有正確的序號是______．①分組后組內能出現公因式；②分組后組內能運用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解．(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？①______．②______．(3)利用分組分解法進行因式分解：．【答案】(1)(2)①，②；(3)【詳解】（1）解：從材料可知：“分組”的目的是：①分組后組內能出現公因式；②分組后組內能運用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解；（2）解：①②，（3）解：11．【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解或有關運算．例如：對于．（1）用配方法分解因式；（2）當取何值，代數式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，當時，代數式有最小值，最小值是．【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)用配方法因式分解：；(2)試說明不論為何值，代數式恒為負數；(3)若已知且，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)2【詳解】（1）解：．（2）解：，，，不論為何值，代數式恒為負數．（3）解：，，，，，，，，，．12．【閱讀理解】對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一個適當的項，使式子出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．【解決問題】(1)利用“配方法”分解因式：．(2)已知，，求的值．(3)已知是實數，試比較與的大小，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，【詳解】（1）解：原式（2）∵ab5，ab6（3）∵∴∴13．閱讀材料，要將多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得到：，這時中又有公因式，于是可以提出，從而得到，因此有，這種方法稱為分組法．請回答下列問題：(1)嘗試填空：______；(2)解決問題：因式分解；(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．【答案】(1)；(2)(3)是等邊三角形，理由見解析．【詳解】（1）解：；（2）；（3）結論：是等邊三角形．理由：∵，∴，即：∵，，∴，，∴∴是等邊三角形．14．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式方法還有分組分解法、拆項法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．例2．（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．請你仿照以上例題的方法，解決下列問題：(1)分解因式：①；②(2)分解因式：．(3)若多項式利用分組分解法可分解為，請求出的值．【答案】(1)①②(2)(3)，【詳解】（1）解：①原式；②原式；（2）原式；（3），∵，∴，比較系數可得，．15．我們把多項式及這樣的式子叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代數式的最小值．可知當時，有最小值．根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不給分）(3)當x為何值時，多項式有最大值，并求出這個最大值．【答案】(1)，(2)(3)當時，多項式有最大值，最大值為5【詳解】（1）；（2）；（3），∵，∴，即，則當時，多項式有最大值，最大值為5．16．問題情境：我們知道形如的式子稱為完全平方式．對于一些不是完全平方式的多項式，我們可做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數學問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題及求代數式最大、最小值等問題．例如（1）分解因式．原式；例如（2）求代數式的最小值．原式．，當時，有最小值是2．解決問題：(1)若多項式是一個完全平方式，那么常數的值為_____________；(2)分解因式：；(3)求代數式的最大或最小值．【答案】(1)25(2)(3)最大值45【詳解】（1）∵，且是一個完全平方式，所以的值為25，（2）（3），當時，有最大值4517．閱讀下列材料，并完成相應的任務．把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）．它是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．把分解因式．該因式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，再將此項減去，即可得．這種方法叫填項法．任務：請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；（2）解：．18．【閱讀材料】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式②求的最小值．解：原式．∵，∴，即的最小值為2．請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：____________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．(4)用配方法因式分解：．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）（2）（3）的最小值是（4）19．閱讀與思考我們熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有時遇到了四項及以上的多項式要進行因式分解時．就往往不知從何下手了．因此，針對四項及以上的多項式因式分解．我們通常使用的方法是分組分解法：將多項式分成多個小組，每個小組單獨進行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法對整體進行因式分解．請觀察以下使用分組分解法進行因式分解的過程：．請使用分組分解法解決以下問題：(1)分解因式：．(2)已知三邊滿足，請判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)等腰三角形，見解析【詳解】（1）；（2），又，，的形狀是等腰三角形．20．