2021中考數(shù)學(xué)：知識(shí)點(diǎn)32 與圓的有關(guān)計(jì)算

一、挑選題

9.（2021?德州）如圖所示，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,。到點(diǎn)O的距離相等，若NABC=40°,

則NAOC的度數(shù)是（）

A.130°B.140°C.150°D.160°

【試題解答】由題意得到OA=O8=OC=。。，作出圓O,如圖所示，四邊形A8CQ為圓。的內(nèi)接四邊

形，

：.ZABC+ZADC=l80°,：/A8C=40°,NAOC=140°,故選3.

6.（2021?濱州）如圖所示，4B為。。的直徑，C,。為。。上兩點(diǎn)，若N8CO=40°,則NA8O的大

小為（）

【答案解析】B

【試題解答】如圖所示，連接AD,；AB為。0的直徑，.?.NADB=90。..../A和NBCD都是弧BD所正確

的圓周角，.?.NA=NBCD=40。，ZABD=900-40°=50。.故選B.

D

6.（2021?遂寧）如圖所示，AABC內(nèi)接于。0,若NA=45°,。。的半徑廠4,則陰影部分的面積為

（）

A.4n-8B.2nC.4JiD.8冗-8

【答案解析】A

【試題解答】由題意可知NBOC=2NA=45°x2=90°,SBFS%-S△阪，SS行一兀42=43t

441

SAOK=-X42=8,所以陰影部分的面積為4Jt-8,故選A.

2

6.（2021?廣元）如圖,AB,AC分別為?O的直徑和弦,ODLAC于點(diǎn)D,連接BD,BC,且AB=10,AC=8,則

BD的長(zhǎng)為（）

A.2石B.4C.2如D.4.8

第6題圖

【答案解析】C

【試題解答】：AB是直徑，.,./C=90°,ABC=\lAB2-AC2=6,又：OD_LAC,，OD〃BC,.?.△OADs

△BAC,，CD=AD=LAC=4,；.BD=JBC?+CD?=2而,故選C.

2

7.（2021?溫州）若扇形的圓心角為90°,半徑為6,則該扇形的弧長(zhǎng)為()

A.L

B.2冗C.3兀D.6n

2

【答案解析】D

【試題解答】扇形的圓心角為90。，它的半徑為6,即n=90°,r=6,根據(jù)弧長(zhǎng)公式1="，得6

180

五.故選D.

8.（2021?紹興）如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O,ZB=65°,/C=70。，若BC=2后，則弧BC的長(zhǎng)為

)

A.7iB,叵兀C.2乃D.2立兀

?8?S

【答案解析】A

【試題解答】在AABC中，得ZA=180°-ZB-ZC=45°,

連接OB.OC.則NBOC=2NA=90。,

設(shè)圓的半徑為r,由勾股定理，得產(chǎn)+產(chǎn)=（2后））解得口2,

所以弧BC的長(zhǎng)為生?=7T.

180

10.(2021ill?)如圖，在RtAABC中，NABC=90°,AB=26,BC=2,以AB的中點(diǎn)O為圓心,OA的長(zhǎng)

為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為（）

A.速述+工

C.26-乃D.4^--

42

0

第10題圖

【答案解析】A

【解題過程】在RtZ\ABC中，連接OD,/ABC=90°,AB=2>/5,BC=2,.,./A=30°,/DOB=60°,過點(diǎn)

D作DE±AB于點(diǎn)E,VAB=2^,.-.AO=OD=^,.\DE=-,.,.SSIK=SAABC-SAAOD-S鈿；BOD=2有一

2

3A/3n5>/37t.....

---一—一------,故選A.

4242

8.（2021?長(zhǎng)沙）一個(gè)扇形的半徑為6,圓心角為120°,則該扇形的面積是

[1

A.2"B.4nC.12nD.24n

【答案解析】C

io0x/兀62

【試題解答】根據(jù)扇形的面積公式，-12JT,故本題選:C.

360

9.（2021?武漢）如圖所示，48是G）。的直徑，M、N是弧48（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是弧上動(dòng)

點(diǎn)，N4C8的角平分線交。。于點(diǎn)。，NB4C的平分線交CQ于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E

兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（）

A.&B.—C.-

22

cl-------、

【答案解析】A

【解題過程】由題得Z1=Z2=—ZC=45°,Z3=Z4,

2\D；

\\n

設(shè)N3=N4=m,Z5=Z6=n,得m+n=45°,/.ZAEB=ZC+w+n=90°+45°=135°

在以4。為半徑的。。上（定角定圓）

如圖所示，C的路徑為MN.E的路徑為PQ

設(shè)。。的半徑為1,則。。的半徑為72,

4t,

—x2%x1

.MN

>?=-360=近

PQ-----x2萬x血

360

1.（2021?泰安）如圖，將0O沿弦AB折疊，AB恰好經(jīng)過圓心O,若。0的半徑為3,則AB的長(zhǎng)為

C.2萬D.34

【答案解析】C

【試題解答】連接OA,OB,過點(diǎn)。作OD_LAB交AB于點(diǎn)E,由題可知OD=DE=；OE=；OA,在RtAAOD

OD1n7tr

中，sinA—~zr=彳，?'?NA=30°.,.ZAOD=60°,ZAOB=120°,AB=—=In,故選C.

Cz/iz1oO

E

2.（2021?棗莊）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑畫弧，交對(duì)角線BD與點(diǎn)

E,則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留萬）

A.8一幾B.16—24C.8—2乃D.8——萬

2

【答案解析】C

【試題解答】在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD也BD是對(duì)角線，，AD=AB=4,NBAD=90°,ZABE=45°,

??.SAABD=-AD-AB=8,S扇形ABE=，42=8_2;r（故選c

2360

3.（2021?巴中）如圖，圓錐的底面半徑r=6,高h(yuǎn)=8,則圓錐的側(cè)面積是（）

A.15乃B.30萬C.45萬D.601

【答案解析】D

【試題解答】圓錐的高，母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形，其中r=6,h=8,所以母線為10,即為側(cè)面扇形的

半徑，底面周長(zhǎng)為12萬，即為側(cè)面扇形的弧長(zhǎng)，所以圓錐的側(cè)面積=1X10X12乃=60萬.故選D.

2

4.（2021?涼山）如圖所示，在Z\A。。中，OA=3cm,OC=lcm,將△AOC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后

得到△50。，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積為（▲

71

A.B.2兀

2

【答案解析】B

【試題解答】AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積二SAOCA+S崩形048-SWOCD~SAO/M①，山旋轉(zhuǎn)知：△OCA

90^-x3290萬xF

出/XODB,①式二Sid形048-S?場(chǎng)形0C7)==2萬,故選區(qū)

360360

5.（2021?自貢）圖中有兩張型號(hào)完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四個(gè)弓形面板翻折起來后,

就能形成一個(gè)圓形桌面（可近似看作正方形的外接圓），正方形桌面與翻折成的圓形桌面的面積之比最

接近（）

第U題圖

【答案解析】C.

【試題解答】由題意可知，。。是正方形A8CO的外接圓,

過圓心。點(diǎn)作8c于E,

在心△OEC中，NCOE=45°,

sinZCOE=—=—,

oc2

設(shè)CE=k,則OC=V2CE=\[2k,

:.CE=BE=k,即BC=2k.

■,?5AHCD-BC2-^,。。的面積為兀3=兀*/)2=2成2.

?S正方/ABCD4k22?2

.?-----------=-----=_弋_.

SQO2nk2n3*

6-（2021?湖州）已知圓錐的底面半徑為5cm,母線長(zhǎng)為13cm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）

A.60兀cm2B.657tcm2C.120兀cm2D.13O7tcm2

【答案解析】B.

【試題解答】,.*/?=5,/=13,'.Sfliin=7ir/=7tX5XI3=657t（cm2）.故選B.

7.（2021?湖州）如圖所示，已知正五邊形A8CDE內(nèi)接于。O,連接8。，則NABO的度數(shù)是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

【答案解析】C.

【試題解答】：正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O.

(5-2)x180°

AZABC=ZC=------------=108°,CB=CD.

5

180°-108°。

ZCBD=ZCDB=-----------=36°.

2

AZABD=ZABC-ZDBC^108°-72°=36°.

故選C.

8.（2021?金華）如圖所示，物體由兩個(gè)圓錐組成，其主視圖中，ZA=90°,ZAfiC=105°,若上面圓錐的

側(cè)面積為1,則下面圓錐的側(cè)面積為（）

3

A.2B.乖)c.D.A/2

2

A

【答案解析】D.

【試題解答】：乙4=90。，ZABC=105°,AZABD=45°,ZCBD=60°,是等腰直角三角形，&CBD

是等邊三角形.設(shè)A6長(zhǎng)為R,則8。長(zhǎng)為&R???上面圓錐的側(cè)面積為1,即1=LR.?./=2..?.下面

2R

11O

圓錐的側(cè)面積為—IR=-----?R=近.故選D.

22R

9J2021號(hào)波）如圖所示，矩形紙片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分

別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則AB的長(zhǎng)為

A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【答案解析】B

【試題解答】AE.右側(cè)圓的周長(zhǎng)為wDE.?.?恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，

4

--2^MB=^-DE,AB=2DE,即AE=2ED,：AE+ED=AD=6,，AB=4,故選B.

10.（2021?衢州）如圖所示，取兩根等寬的紙條折疊穿插，拉緊，可得邊長(zhǎng)為2的正六邊形。則

原來的紙帶寬為（A）

A.1B.V2C.73D.2

【答案解析】C

【試題解答】正多邊形的相關(guān)計(jì)算，作AMXFC于M,由正六邊形的性質(zhì)得AAFC=60°,因?yàn)?/p>

,AM,

sinNAFM=------,所以AM=sinNAFMXAF=,AM的長(zhǎng)即為紙帶寬，故選C.

AF

11.

12.

13.

14.

15.

二、填空題

17.（2021?蘇州）如圖所示，扇形。4B中/498=90。，P為AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸CJ_OA,垂足為

C.PC與AB交于點(diǎn)D.若PD=2,CD=1,則該扇形的半徑長(zhǎng)為.

【答案解析】5

（第17題）

第17題答圖

【試題解答】連接DP,；NAO8=90。，過點(diǎn)P作尸CLOA,ZDCA=ZAOB^90°,又ND4C=NR4O,

ACD^/XAOB..又。4=08,：.AC=CD=\,又PD=2,：.CP=3,設(shè)CO=x,則OP=O4=x+l,

AOOB

ZPCA=90°,OP^OC^+CP1,：.x2+32=(x+1)2,解得44,，OA=x+l=5.故答案為5.

17.（2021?德州）如圖所示，CC為。。的直徑，弦ABLCC,垂足為E,AB=BF,CE=\,AB=6,則

弦AF的長(zhǎng)度為

【答案解析】強(qiáng)

5

【試題解答】連接。4、OB,03交力尸于G,如圖所示，'：ABLCD,：.AE=BE=^-AB^3,設(shè)。。的半

2

徑為r,則OE=r-l,OA=r,在Rt^OAE中，32+（r-1）2=A解得r=5,?窟=前，：.OB±AF,

AG=FG,

在Rt^OAG中，AG2+OG2=52,①在RtZvlBG中，AG2+（5-0G）2=62,②解由①②組成的方程組

得到AG=21,."尸=246=里?.故答案為歿.

555

14.（2021?廣元）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，且AB是。0的直徑，點(diǎn)P為?O±的動(dòng)點(diǎn)，且

/BPC=60°。的半徑為6,則點(diǎn)P到AC距離的最大值是.

第14題圖

【答案解析】6+下）

【試題解答】作直徑MNLAC于點(diǎn)Q,QM為點(diǎn)P到AC的最大距離，1?半徑為6,/.M0=0A=6,ZA=ZP

=60°,.\OQ=—OA=3技；.MQ=6+百.

M

N

14.（2021?溫州）如圖所示，。。分別切/BAC的兩邊AB,AC于點(diǎn)E,F,點(diǎn)P在優(yōu)弧EDF上.若/

BAC=66°,則NEPF等于度.

【答案解析】57

【試題解答】連接0E、0F.;。。分別切NBAC的兩邊AB、AC于點(diǎn)E、F,.,.0F1AC,OE±AB,ZBAC+

ZE0F=180°,VZBAC=66°,.,.ZE0F=114°..點(diǎn)P在優(yōu)弧EDF上,.*.ZEPF=-ZE0F=57°.故填:

2

57.

13.（2021?杭州）如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼（不計(jì)厚度），己知其母線長(zhǎng)為12cm.底面圓半徑為3cm.

則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積等于cm（結(jié)果精確到個(gè)位）.

【答案解析】113

【試題解答】這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積=Tx2nX3X12=36（cm2）.故答案為113.

18.（2021?煙臺(tái)）如圖所示，分別以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形48c的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧,

三段弧所圍成的圖形是一個(gè)曲邊三角形.已知。。是△48C的內(nèi)切圓，則陰影部分的面積

為.

A（扉IK蹈圖,

【答案解析】--273

3

【解題過程】SIBC=4X22=6,

_607rx2?_2乃

扇形360-

△ABC的內(nèi)切圓半徑為SAABC=烏

-（2+2+2）3

2

q=H乃

的內(nèi)切圓一乃乂一,

\3JD

所以陰影部分的面積為3（5a^c-SAABC）+（SAABC-SAMrtWE8）=y-2>/3.

14.（2021?淮安）若圓錐的側(cè)面積是15?母線長(zhǎng)是5,則該圓錐底面圓的半徑是.

【答案解析】3

【試題解答】設(shè)該圓錐底面圓的半徑是r,則jx2wx5=15萬，解得r=3.

2

14.（2021?黃岡）用一個(gè)國(guó)心角為120°,半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的面

積為?

【答案解析】47r

【試題解答】設(shè)此圓錐的底面半徑為r,由題意可得21=吵*6.解得r=2,故這個(gè)圓錐的底面圓的

180

半徑為2.

16.（2021?隴南）把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形,

【試題解答】如圖：\?新的正方形的邊長(zhǎng)為1+1=2,恒星的面積=2X2-nXI2=4-n,故答案為：

1.（2021?無錫）已知圓錐的母線成為5cm,側(cè)面積為15nC機(jī)2,則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為cm.

【答案解析】3

【試題解答】本題考查了圓錐的計(jì)算.???圓錐的母線長(zhǎng)是5cm,側(cè)面積是15兀cmL.?.圓錐的側(cè)面展開

扇形的弧長(zhǎng)為：/=空=駟=6兀，?.?錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，.」=_!_=%=

r52乃2萬

3cm,故答案為3.

2.（2021?濱州）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2,則其外接圓半徑為.

45/3

【答案解析】亍

【試題解答】如圖所示，連接OE,作OMLEF于M,則OE=EF.EM=FM,OM=2,ZEOM=30°,在

OMC24月46

RtaOEM中，cosZE0M=——,，一丁二77=，解得OE=.即外接圓半徑為.

OE2OE35

EM

15.（2021?泰州）如圖，分別以正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛

三角形.若正三角形邊長(zhǎng)為6cm,則該萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm.

【答案解析】3

【試題解答】以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，這三段弧的半徑為正三角形的邊長(zhǎng)6cm,圓心角為正三角形的內(nèi)角度數(shù)

為60°,每段弧長(zhǎng)為"生心=2萬，所以周長(zhǎng)為InX3=6%.

180

3.（2021?聊城）如圖是一個(gè)圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位:cm）,計(jì)算這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖圓心

角的度數(shù)為.

【試題解答】山圖可知，圓錐的底面周長(zhǎng)為2萬，圓錐的母線AC=3,...設(shè)圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為

n°,根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得2%=也，n=120....圓心角的度數(shù)為120.

180

4.（2021?泰安）如圖，ZAOB=90°,ZB=30°,以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)A,點(diǎn)C,交

OB于點(diǎn)D,若OA=3,則陰影部分的面積為.

【答案解析】之萬

4

【試題解答】連接OC,過點(diǎn)C作CNXAO于點(diǎn)N,CM±OB于點(diǎn)M,ZAOB=90°,NB=30°,，NA=60°,

9

；.CN=36CM=CN=-,-

：OA=OC,.*.△AOC為等邊三角形，,.PA=3,兀,SAAOC-4

22

/-r-Qr-

在RtAAOB4J,OB=^OA=3V3,SAOCB=->/3.ZCOD=30,S',I?COD——n，S：?AOC-SAAOC+SAOCB

41(

5.（2021?濰坊）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,它們的半徑

分別為1,2,3,…，按照“加1”依次遞增；一組平行線h/,,h,h,…都與x軸垂直，相鄰兩直線

的間距為I,其中/o與y軸重合.若半徑為2的圓與人在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)修，半徑為3的圓與/2在第

一象限內(nèi)相交于點(diǎn)巴，…，半徑為n+1的圓與/”在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)心，則點(diǎn)P“的坐標(biāo)為.（〃為正整

數(shù)）

【答案解析】（〃，V2?+l）

【試題解答】由圖可知點(diǎn)。“的橫坐標(biāo)與它所在圓的半徑一樣，故點(diǎn)匕的橫坐標(biāo)為n,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為@-F=6

點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為V32-22=J5.

點(diǎn)P?的縱坐標(biāo)為J("+l)22=J2〃+1,

，點(diǎn)戶”的坐標(biāo)為（〃，J2〃+1）

6-（2021?重慶B卷）如圖所示，四邊形ABCO是矩形，AB=4,AD=2也以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半

徑畫弧，交CD于點(diǎn)E,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積是—

【答案解析】8V2-8

【解題過程】連結(jié)

;在矩形A88中，AB=4,AD=2>/2,:.AB=^AD,：.ZEAD=Z￡AB=45°,：.AE=AD=2>/2,

S陰-S扇形AEF+S梯形A8CE—S扇形ABE-SiAED—S梯形AfiCE-SiAED一''（‘）''2

X2V2X2V2=8V2-8.

7.（2021?重慶A卷）如圖所示，在菱形A8CD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。,/ABC=60°,AB=2,分

別以點(diǎn)A、點(diǎn)C為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑畫弧分別與菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積

為.（結(jié)果保留萬）

【答案解析】273

3

【試題解答】???在菱形A8CO中，ZABC=60°,.?.△ABC是正三角形，且NR4O=N8CD=120°..二S陰

>/3120.2CA2),.

影=2S：MABC—2s用宓A(chǔ)EF=2XX22X------7T-1~=2。3-----.如下圖：

43603

25.（2021山東濱州，25,13分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0分別與8C,AC

交于點(diǎn)O,E,過點(diǎn)。作QFLAC,垂足為點(diǎn)F.

（1）求證：直線。尸是。。的切線;

(2)求證:BC2=4CFMC；

ACDF=\5a,求陰影部分的面積.

【解題過程】

OD,：.4ODB=4ABC=/C,

,：DF1AC,：.ZCDF+ZC^90a,二/CO尸+N008=90°,

：.ZODF=90a,

直線OF是。。的切線.........................................................4分

(2)連接AD,則AO_L8C,則48=AC,

則DB=DC=—BC..............................................................................................................................6分

VZCDF+ZC=90",/C+/D4c=90°,AZCDF=ZDCA,

而NOFC=NA￡>C=90°,/.△CFD^ACDA,

CD2=CF-AC,即Bd=4CF-AC..............................................8分

(3)連接OE,

,：ZCDF=\5Q,ZC=75°,二NOAE=30°=ZOEA,

：.ZAOE=\20°,

O￡sinZOEA=—X2XO￡XcosZOEAXOEsinZO￡A=4V3，.......12分

SAOAE=LAEX

11

陰影部分2=13分

S=sij?OAE-S^OAE=^OXTTX4-4V3V~4A/3-

(3603

20.(2021?遂寧)如圖所示，ZXABC內(nèi)接于。0,直徑AD交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F,使DF=20D,連接

FC并延長(zhǎng)交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G,且滿足AG〃BC,連接0C,若cos/BAC=1，BC=6.

3

(1)求證：ZC0D=ZBAC;

(2)求。0的半徑0C;

(3)求證：CF是。。的切線

【試題解答】⑴；AG是切線，AG〃BC,.\BC±AF,由垂徑定理可知，ZBAC=2ZCAD,由同弧所正確的

圓周角和圓心角的關(guān)系，可知NC022NCAD,從而可以證明NCOD=/BAC；

1

II~

(2)由(1)知NC0D=NBAC,VcosZBAC=-,/.cosZCOD=-,設(shè)0C=r,貝ljRtZXCOE中，0E=3r)?.

33

BC=6,...根據(jù)垂徑定理可得CE=3,Rt^COE中根據(jù)勾股定理可以求出半徑r=2尼；

4

(3)由⑵知，半徑r=2&.,.OE=-72,DF=-V2W'JDE=-V2,

4422

/.EF=DE+DF=->/2+-V2-65/2,RtACEF4),由勾股定理可求得CF=9,.\cosZECF=-,AZECF=ZC0D,

223

ZC0D+Z0CE=90°,ZECF+Z0CE=90°,.,.從而證明CF是。。的切線.

解：(1)：AG是切線,

；.AG_LAF,

VAG/7BC,

ABCXAF,

???由垂徑定理可知，ZBAC=2ZCAD,

??,弧CD二弧CD,

???ZC0D=2ZCAD,

ZCOD=ZBAC；

(2)由(1)知NCOD二NBAC,

VCOSZBAC=3,

￡

.\cosZCOD=3,

j_

設(shè)OC-r,則RtACOE中，0E=3r,

VBC=6,BC±AF

ACE=3,

???RtZ\COE中32+(；廠)2=戶

工

r=4；

2立

(2)由(2)知，半徑r=4=0C,

/.0E=4,DF=2則DE=2,

)叵2叵AB

???EF=DE+DF=2+2,

，RtZ\CEF中，32+(6A/2)2=CF2

???CF=9,

1

.*.cosZECF=3,

ZECF=ZCOD,

VZC0D+Z0CE=90",

.,.ZECF+Z0CE=90°,

AOCICF

，CF是。。的切線.

23.(2021?廣元)如圖,AB是的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PC,切點(diǎn)是C,過

點(diǎn)C作弦CD±AB于E,連接CO,CB.

(1)求證:PD是00的切線；

⑵若AB=10,tanB=L求PA的長(zhǎng)；

2

(3)試探究線段AB,OE,OP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

第23題圖

解：(1)連接OD,：CD_LAB,；.CE=ED,，PC=PD,；OC=OD,.,.△POC四△POD,.?.NPDO=/PCO,：

PC是(DO的切線，，PC_LOC,NPCO=90°,.*./PDO=90°,...PD^DO,；.PD是?O的切線；

⑵連接AC,：lanB=L；?設(shè)AC=x,貝UBC=2x,：AB=10,；.AO=CO=5,在RCABC中，由勾股定理可

2

求得：AC=26，BC=4遙，.?.CE=4,EO=3,'.?△COEs/\poc,，PO="，.?.AP=PO-AO=W;

33

(3)VACOE^APOC,.*.^2=^2,ACO^PO.EO,VCO=—,A—=PO.EO,即AB2=4PO?EO.

22.（2021浙江省溫州市，22,10分）（本題滿分10分）

如圖所示，在aABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE,過A,C,E三點(diǎn)的。。交AB

于另一點(diǎn)F,作直徑AD,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,連結(jié)CD,CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；

3

（2）當(dāng)BE=4,CD=-AB時(shí)，求。。的直徑長(zhǎng).

8

【解題過程】（1）連接AE.VZBAC=90°,，CF是。。的直徑.

AC=EC,ACFIAE.；AD為。0的直徑，.\ZAED=90o,即GDJ_AE,，CF〃DG.

；AD為。。的直徑，/.ZACD=90°,AZACD+ZBAC=180°,AABCD,四邊形DCFG為平行

四邊形：

3

(2)由CD二一AB,可設(shè)CD=3x,AB=8x,CD=FG=3x.

8

???NA0F=NC0D,.?.AF=CD=3x,/.BG=8x-3x-3x=2x.

.BE_BG_2

GE〃CF,.?.△BGE^ACDE,

^~EG~~GF~3

XVBE=4,.'.AC=CE=6,.,.BC=6+4=10,/.AB=7102-62=8=8x,.,.x=l

在Rl^ACF中，AF=3,AC=6,.,.CFA/32+62=3A/5,即。0的直徑長(zhǎng)為3J5.

23.（2021浙江省杭州市，23,12分）（本題滿分12分）

如圖所示，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于。0,0DJ_BC于點(diǎn)D.連接0A.

(1)若NBAC=60°,

①求證：OD=^OA.

2

②當(dāng)0A=l時(shí)，求aABC面積的最大值.

(1)點(diǎn)E在線段0A上.OE=OD.連接DE,設(shè)NABC=mNOED.ZACB=nZOED(m,n是正數(shù)).

若NABCCNACB.求證:m-n+2=0

【解題過程】（1）①連接OB、0C,

則ZBOD=1.BOC=ZBAC=60°,

2

/.Z0BC=30",

.?.OD=-OB=-OA；

22

②...BC長(zhǎng)度為定值，

...△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，

3

當(dāng)AD過點(diǎn)。時(shí)，AD最大，即：AD=AO+OD=—，

2

I132f\l3

△ABC面積的最大值二一XBCXAD--X20Bsiri60X—二----；

設(shè)N0ED=x,則NABOmx,ZACB=nx,

則/BAC=1800-ZABC-ZACB=1800-mx-nx=--ZBOC=ZDOC,

2

VZA0C=2ZABC=2mx,AZA0D=ZC0D+ZA0C=1800-mx-nx+2mx=180°+mx-nx,

V0E=0D,AZA0D=180°-2x,HP：180°+mx-nx=180°-2x,化簡(jiǎn)得：m-n+2=0.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16-

17.

18.

19」

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26-

27.

28.

29-

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

三、解答題

（2021?衢州）如圖所示，在等腰AABC中，AB=AC.以AC為直徑作。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作

DE1AB,垂足為E.

（1）求證：DE是。。的切線。

求AO的長(zhǎng).

解：（1）證明：如圖所示，連結(jié)OD,VOC=OD.AB-AC,

.,.Z1=ZC.ZC=ZB.1分

.*.Z1=ZB.…2分

VDE1AB,

.?./2+/B=90°.

.*.Z2+Zl=90°,…3分

A

E

O

B

ZODE=90°,“W分

，DE為。。的切線。

(2)連結(jié)AD,；AC為。。的直徑,

:.ZADC=90°.…5分

；AB=AC,

.*.ZB=ZC=30o,BD=CD.

.?.NAOD=60°.…6分

：DE=G,

；.BD=CD=2G,

/.0C=2…7分

1202

/.AD------2=—"?！?分

1803

2.(2021?巴中)^ABC在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.

(1)以點(diǎn)C為位似中心，作出AABC的位似圖形△AIBIC,使其位似比為1:2,且△ARC位于點(diǎn)C的異側(cè),

并表示出A,的坐標(biāo)；

(2)作出aABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C;

(3)在(2)的條件下，求出點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

y

解：（1）如圖所示即為所求的△AiBiC,點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（3,—3）.

（2）如圖所示即為所求的4A2B2c.

（3）點(diǎn)B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,半徑為BC=J萬，

所以路徑長(zhǎng)為9崎匹=匝￡.

1802

3.（2021?巴中）如圖，在菱形ABCD中，連接BD,AC交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OH_LBC于點(diǎn)H,以點(diǎn)O為圓心,

OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.

（1）求證:DC是?O的切線；

（2）若AC=4MC且AC=8,求圖中陰影部分的面積；

（3）在②的條件下,P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí),PH+PM的值最小，并求出最小值.

解：（1）過點(diǎn)O作OG_LCD于點(diǎn)G,

菱形ABCD中,AC是對(duì)角線，，AC平分NBCD,

VOH±BC,；.OH=OG,

；OH是00的半徑，；.0G