北師大版九年級數(shù)學上冊 專題1.8 三角函數(shù)的應(yīng)用（知識講解）下冊

專題1.8三角函數(shù)的應(yīng)用（知識講解）【學習目標】會運用有關(guān)解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題．

【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便．【典型例題】類型一、利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1．計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）2.【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可；(2)根據(jù)直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB計算.解：原式；原式.故答案為：（1）；（2）2.【點撥】本題考查了三角函數(shù)值的計算.舉一反三：【變式1】已知∠A為銳角且sinA=，則4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少?！敬鸢浮俊痉治觥肯惹蟪龅亩葦?shù)，再求出的值，最后代入計算即可.解：為銳角，且.【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.【變式2】.如圖，在中，，是對角線上的兩點（點在點左側(cè)），且．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當，，時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，，和已知條件一起，用于證明三角形全等，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定定理得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到一組對角相等，通過等量代換，得到，則相等的角正切值也相等，根據(jù)比值算出結(jié)果．解：（1）證明，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，∴BE=DF，∵四邊形是平行四邊形，∴，在中，，∴AE=3，BE=4．∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，，，∴，∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，∴，得到EF=，或EF=（舍去），∴BD=4+4+=，即BD=．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及相等的角的正切值也相等．解決本題的關(guān)鍵在于等量代換出角相等，應(yīng)用相等的角的正切值也相等來解題．【變式3】求值：(1)；已知，求的值．【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及互余兩角三角函數(shù)值相互間的關(guān)系計算．（2）根據(jù)同角三角函數(shù)值相互間的關(guān)系計算．解：（1）原式（）2﹣11=0；（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2cosA，∴原式===．【點撥】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．類型二、求證同角三角函數(shù)關(guān)系式2．已知：，，，請你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律________．【答案】【分析】從角度的倍數(shù)關(guān)系方面考慮并總結(jié)寫出結(jié)論．解：根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個角正弦與余弦的積等于這個角的2倍的正弦的一半，規(guī)律為：.故答案為.【點撥】本題考點：同角三角函數(shù)的關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知：實常數(shù)同時滿足下列兩個等式：⑴；⑵（其中為任意銳角），則之間的關(guān)系式是：___________【答案】a2+b2=c2+d2【分析】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到這四個數(shù)的關(guān)系．解：由①得asinθ+bcosθ=c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθ-bsinθ=-d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，sin2θ+bcos2θ=1的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【變式2】.①sin2A+cos2A=________，②tanA?cotA=________．【答案】11【解析】如圖，設(shè)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為，則sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，，∴（1）sin2A+cos2A=；（2）tanA?cotA=.點睛：解答本題的要點是：畫出符合要求的圖形，結(jié)合銳角三角形函數(shù)的定義和勾股定理進行推理計算即可得到答案.類型三、互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三個三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)已知角A的正弦設(shè)BC＝3k,得出AB＝5k,由勾股定理求出AC＝4k,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可.解：∵sinA＝＝，∴設(shè)BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得：AC＝4k，則cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝.【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,熟練掌握定義是關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值．【答案】cosA＝.【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=90°，再根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系求解．解：：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cosA＝sinB＝.故答案為：.【點撥】本題考查直角三角形中互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理．解題關(guān)鍵是一個角的正弦值等于它的余角的余弦值，一個角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形內(nèi)角和是180°．【變式2】.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【答案】；；；；【分析】已知直角三角形中一個銳角的某個三角函數(shù)值，求這個銳角的其他三角函數(shù)值和它的余角的各三角函數(shù)值，可以先畫出直角三角形，結(jié)合圖形和已知條件，利用設(shè)“k”法，將直角三角形的各邊長用含“k”的代數(shù)式表示出來，其中k＞0，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求得銳角的各三角函數(shù)值．解：:如圖因為Rt△ABC中，∠C=90°，，所以，設(shè)BC＝3k(k＞0)，則AB＝4k．在Rt△ABC中，由勾股定理得．所以，，，，．【變式3】.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝35，求tanA【答案】34【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)，cosB＝BCAB＝35，設(shè)BC＝3x，AB＝5x，再根據(jù)勾股定理，可得AC的長解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝35cosB＝BCAB＝3設(shè)BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得AC＝AB2-BC由正切等于對邊比鄰邊，得tanA＝BCAB=3x4【點撥】本題考查了余弦函數(shù)的定義，勾股定理，正切函數(shù)的定義．熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵。類型四、三角函數(shù)綜合4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E.(1)求線段CD的長；(2)求cos∠ABE的值．【答案】（1）5；（2）.解：試題分析：（1）利用正弦定義很容易求得AB=10，然后由已知D為斜邊AB上的中點，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解.（2）cos∠ABE=，則求余弦值即求BE，BD的長，易求得BD=5.再利用等面積法求BE的長.試題解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中點，∴CD＝AB＝5.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.∵D是AB中點，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，即cos∠ABE的值為.點睛：在直角三角形中求長度，一般可通過勾股定理或全等三角形來求；若已知角度則可用銳角三角函數(shù)來求；若這些方法均不可行，又是求高或已知高的長度則可利用等面積法來求.舉一反三：【變式1】如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距70nmile，若該漁船由西向東航行30nmile到達B處，此時測得小島C位于B的北偏東30°方向上；求該漁船此時與小島C之間的距離．【答案】漁船此時與C島之間的距離為50海里．【分析】過點C作CD⊥AB于點D，由題意得：∠BCD=30°，設(shè)BC=x，解直角三角形即可得到結(jié)論．解：過點C作CD⊥AB于點D，由題意得：∠BCD=30°，設(shè)BC=x，則：在Rt△BCD中，BD=BC?sin30°=x，CD=BC?cos30°=x；∴AD=30+x，∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，解得：x=50（負值舍去），【點撥】注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長線與AD的延長線交于點E．（1）若∠A=60°，求BC的長；（2）若sinA=，求AD的長．（注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號）【答案】（1）6﹣8；（2）．【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求得BE和CE的長，根據(jù)BC=BE﹣CE即可求得BC的長；（2）根據(jù)題意求得AE和DE的長，由AD=AE﹣DE即可求得AD的長．解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴設(shè)BE=4x，則AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE