專題05 直線與圓的位置關系（解析版）

專題05直線與圓的位置關系知識梳理：1、直線與圓的位置關系（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交＜====＞d<r；直線l與⊙O相切＜====＞d=r；直線l與⊙O相離＜====＞d>r；2、切線的判定和性質（1）、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）、切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。3、切線長定理（1）、切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。（2）、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。(4)、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。題型一：直線與圓位置關系的判定【例1】已知⊙O的半徑為10cm，如果一條直線和圓心O的距離為10cm，那么這條直線和這個圓的位置關系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相離【答案】B【解析】由d與r的大小關系得到結果，d=r，直線與圓相切【例2】直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6【答案】C【解析】∵直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離d=6，∴r＞6．【例3】已知∠AOB=30°，P是OA上的一點，OP=24cm，以r為半徑作⊙P．（1）若r=12cm，試判斷⊙P與OB位置關系；（2）若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件．【答案】（1）相切；（2）0cm＜r＜12cm．【解析】過點P作PC⊥OB，垂足為C，則∠OCP=90°．∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．（1）當r=12cm時，r=PC，∴⊙P與OB相切，即⊙P與OB位置關系是相切．（2）當⊙P與OB相離時，r＜PC，∴r需滿足的條件是：0cm＜r＜12cm．【例4】如圖，在Rt△ABC中，，，，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何位置關系？為什么？【答案】①當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相離；②當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相切；③當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相交．【解析】作CD⊥AB于D，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得AB=10，則；①當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相離；②當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相切；③當時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB相交．【例5】圓的直徑是8cm,若圓心與直線的距離是4cm,則該直線和圓的位置關系是 ()A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切【答案】B【解析】∵圓的直徑為8cm,∴圓的半徑是4cm.又∵圓心與直線的距離是4cm,∴直線與圓的位置關系是相切.故選B.【例6】已知☉O的半徑是一元二次方程x2+6x-16=0的解,且點O到直線AB的距離是2,則直線AB與☉O的位置關系是.

【答案】相交【解析】∵x2+6x-16=0,∴x1=-8,x2=2.∵☉O的半徑r是一元二次方程x2+6x-16=0的解,∴r=2.∵點O到直線AB的距離d是2,∴d<r,∴直線AB與☉O相交.【例7】在平面直角坐標系xOy中，以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓與y軸所在直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】解：依題意得：圓心到y(tǒng)軸的距離為：3＜半徑4，所以圓與y軸相交，故選：C．【例8】如圖，已知⊙O與BC相切，點C不是切點，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由．【答案】見解析【解析】解：延長BA至D，使得BD＝OA，連接OD，在△OAC與△DBO中，，∴△OAC≌△DBO（SAS），∴OC＝OD，∠ODB＝∠AOC，∵AO⊥OC，∴∠ODB＝90°，∵⊙O與BC相切，點C不是切點，∴OC＞半徑，∴OD＞半徑，∴直線AB與⊙O的位置關系是相離．【例9】如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，則直線與⊙O的位置關系是（）A、相離B、相切C、相交D、以上三種情況都有可能【答案】B【解析】解析：∵令，則；令，則，∴A（0，），B（，0），∵OA=OB=，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，過點O作OD⊥AB，則OD=BD=AB，∴直線與⊙O相切．題型二：直線與圓位置關系的性質【例1】如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOD＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，且位于點O左側的距離6cm處．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么（）秒鐘后⊙P與直線CD相切．A．4 B．8 C．4或6 D．4或8【答案】D【解析】由題意CD與圓P1相切于點E，點P在射線OA上，點P只能在直線CD的左側．∴P1E⊥CD又∵∠AOD＝30°，r＝1cm∴在△OEP1中OP1＝2cm又∵OP＝6cm∴P1P＝4cm∴圓P到達圓P1需要時間為：4÷1＝4（秒）∴⊙P與直線CD相切時，時間為4秒，當點P在點O的右側時，同法可得t＝8秒故選：D．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是．【答案】∴3＜r≤4或r＝2.4．【解析】解：如圖，∵BC＞AC，∴以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點．根據(jù)勾股定理求得AB＝5．分兩種情況：（1）圓與AB相切時，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）點A在圓內部，點B在圓上或圓外時，此時AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．【例3】在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心，r為半徑作⊙C．若⊙C與斜邊AB有一個公共點，則r的取值范圍是______．【答案】6＜r≤8【解析】解析：如圖，∵斜邊AB=10，直角邊AC=8，∴BC=．當圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高，；當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6＜r≤8．【例4】如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線平移后與⊙O相切，則平移的距離是____．【答案】_2cm或8cm_【解析】解析：連接OA，∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴BH=AB=，在Rt△BOH中，OA=OC=5，∴，又∵將直線l通過平移使直線l與⊙O相切，∴直線l垂直過點C的直徑，垂足為直徑的兩端點，∴當向下平移時，直線l平移的距離=5﹣3=2cm；當向上平移時，直線l平移的距離=5﹢3=8cm【例5】如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOC=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，開始時，PO=6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移動，那么當⊙P的運動時間t（s）滿足____時，⊙P與直線CD相交．【答案】4＜t＜8【解析】解析：當點P在射線OA時⊙P與CD相切，如圖，過P作PE⊥CD于E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6﹣2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間秒；當點P在射線OB時⊙P與CD相切，如圖，過P作PE⊥CD于F，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6﹢2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間秒當⊙P的運動時間滿足條件4＜t＜8時，⊙P與直線CD相交【例6】如圖所示,兩個同心圓,大圓半徑為5cm,小圓的半徑為3cm,若大圓的弦AB與小圓相交,求弦AB的取值范圍.【答案】見解析【解析】解:如圖所示,當AB經(jīng)過圓心時最長,此時A1B1=2×5=10(cm).當AB與小圓相切于點D時,則OD⊥A2B2,A2O=5cm,OD=3cm,在Rt△OA2D中,由勾股定理,得A2D=A2O2-OD2=4cm,∴A故弦AB的取值范圍是8cm<AB≤10cm.【例7】已知直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(12,-5),將直線向上平移m(m>0)個單位,若平移后得到的直線與半徑為6的☉O相交(點O為坐標原點),求m的取值范圍.【答案】0<m<132【解析】解:把點(12,-5)代入y=kx,得-5=12k,解得k=-512將直線y=-512x向上平移m(m>0)個單位后得到直線l:y=-5如圖所示,設直線l與x軸、y軸分別交于點A,B,當x=0時,y=m;當y=0時,x=125∴點A的坐標為(125m,0),點B的坐標為(0,m),∴OA=12在Rt△OAB中,AB=OA2+OB2=14425m2+m2則S△ABO=12OC·AB=12OA·OB.當☉O與直線AB相切時,OC=6,則12×6×135m=解得m=132,∴☉O與直線AB相交時,m的取值范圍是0<m<13題型三：切線的判定（有交點，連半徑，證垂直；無交點，做垂直，證半徑）【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上.求證：PE是⊙O的切線．OOABPEC【答案】見解析【解析】證明：如圖，連結OP、BP.∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°.又∵CE=BE，∴EP=EB.∴∠3=∠1.∵OP=OB，∴∠4=∠2.∵BC切⊙O于點B，∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP為⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線.OOABCPE1234【例2】如圖，AB是⊙Ｏ的直徑，AM，BN分別切⊙O于點A,Ｂ，CＤ交AM,BN于點D,C,ＤＯ平分∠AＤC.(1）求證:CＤ是⊙O的切線；(２）若AD=4,ＢC=9，求⊙O的半徑R．【答案】見解析【解析】解:(１)過O作OE⊥CD于點E.∵AM切⊙O于點A，∴OＡ⊥ＡＤ,又∵DO平分∠ＡDC,∴ＯE＝OA,∴CD是⊙O的切線（2)過D點作ＤＦ⊥BC于點F，易證四邊形ＡBFD是矩形,∴ＡD=BF，AB＝ＤF，又∵AＤ＝4,BＣ＝9，∴FC=9-4=5.又∵ＡM，BN,CD分別切⊙O于點A，B，Ｅ,∴ＤA＝DE，CB＝ＣE，∴DC=AＤ+BＣ＝４＋9＝13.在Ｒt△DＦC中,ＤC２＝DF２＋FC2，∴DF＝12,∴AB=12，∴⊙O的半徑R是6【例3】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．【答案】（1）見解析【解析】（1）如圖1，連接FO，∵F為BC的中點，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直徑，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直線垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE為⊙O的切線；【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC中點，連接DE．判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；【答案】見解析【解析】解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：連接CD、OD，如圖，∵BC為直徑，∴∠BDC＝90°，∵E為Rt△ADC的斜邊AC的中點，∴EA＝ED，∴∠1＝∠A，∵OB＝OD，∴∠B＝∠2，而∠B+∠A＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線；【例5】如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D．求證：AC是⊙O的切線．【答案】見解析【解析】證明：過點O作OE⊥AC于點E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端點且垂直于OE，∴AC是⊙O的切線．【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，EB＝EC求證：DE是⊙O的切線；【答案】見解析【解析】證明：連接CD，OD．∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵EB＝EC∴DE為直角△DCB斜邊的中線，∴DE＝CE＝．∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°∴DE是⊙O的切線．【例7】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD＝HF；【答案】見解析【解析】解析：（1）如圖，連接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切線；（2）如圖，連結DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE與△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．題型四：切線的性質【例1】如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心．若∠B=20°，則∠C的大小等于（）20° B．25° C．40° D．50°【答案】D【解析】如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【解析】解：連接BC，∵DB、DE分別切⊙O于點B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故選：A．【例3】如圖，⊙I是OABC的內切圓，與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．【答案】80【解析】解：連接ID、IF，如圖，∵∠DEF＝50°，∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，∵⊙I是△ABC的內切圓，與AB、CA分別相切于點D、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A+∠DIF＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．答：∠A的大小為80°．【例4】已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上AB同側的兩點，∠BAC＝25°（Ⅰ）如圖①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大?。唬á颍┤鐖D②，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于點E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．【答案】（1）6570（2）20【解析】解：（Ⅰ）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）連接OC，∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝40°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠COE＝40°，∴∠ACD＝AOD＝20°．【例5】如圖是某商品標牌的示意圖，⊙O與等邊△ABC的邊BC相切于點C，且⊙O的直徑與△ABC的高相等，已知等邊△ABC邊長為4，設⊙O與AC相交于點E，則AE的長為_____．【答案】_1cm【解析】解析：連接OC，過點O作OF⊥CE于F，∵△ABC為等邊三角形，邊長為4，∴△ABC的高為，即OC=，∵⊙O與BC相切于點C，∴OC⊥BC，又∵∠ACB=60°在Rt△OFC中，，∵OF過圓心，且OF⊥CE，∴CE=2FC=3cm，∴AE=4﹣3=1cm．【例6】如圖，⊙O的半徑為3，點O到直線的距離為4，點P是直線上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為___．【答案】【解析】∵PQ切⊙O于點Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=3，∴PQ2=OP2﹣32，即，當OP最小時，PQ最小，∵點O到直線l的距離為4，∴OP的最小值為4，∴PQ的最小值為．題型五：切線長定理【例1】如圖，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，過D作⊙O切線分別交AB、AC于E、F，若，，則△AEF的周長是（）CCOFAEDB10 B．12 C．14 D．16【答案】D【解析】該題考查的是切線的性質，勾股定理，切線長定理．利用切線長定理得到，，，利用勾股定理求得AB的長后即可求得△AEF的周長．∵，，∴,∵AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，過D作⊙O切線分別交AB、AC于E、F，∴，，，∴．故選D．【例2】如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周長等于3，則PA的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周長等于3，∴PA+PB＝3，∴PA＝．故選：A．【例3】如圖，PA、PB切⊙O于A、B，點C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半徑為5cm，則△PDE的周長是．【答案】24cm【解析】解：連接OA、OB，如下圖所示：∵PA、PB為圓的兩條切線，∴由切線長定理可得：PA＝PB，同理可知：DA＝DC，EC＝EB；∵OA⊥PA，OA＝5，PO＝13，∴由勾股定理得：PA＝12，∴PA＝PB＝12；∵△PDE的周長＝PD+DC+CE+PE，DA＝DC，EC＝EB；∴△PDE的周長＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝24，故此題應該填24cm．【例4】如圖，PA、PB、DE切⊙O于點A、B、C、D在PA上，E在PB上，（1）若PA＝10，求△PDE的周長．（2）若∠P＝50°，求∠O度數(shù)．【答案】（1）20（2）65°【解析】解：（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；∴△PDE的周長為20；（2）連接OA、OC、0B，∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，∴∠DAO＝∠EBO＝90°，∴∠P+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．【例5】如圖，直線PA、PB、MN分別與⊙O相切于點A、B、D，PA＝PB＝8cm，△PMN的周長是．【答案】16cm【解析】解：∵直線PA、PB、MN分別與⊙O相切于點A、B、D，∴MA＝MD，ND＝NB，∴△PMN的周長＝PM+PN+MD+ND＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝8+8＝16（cm）．故答案為16cm．題型六：三角形的內切圓【例1】內心與外心重合的三角形是（）A.等邊三角形 B.底與腰不相等的等腰三角形 C.不等邊三角形D.形狀不確定的三角形【例2】已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內切圓的半徑為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】解：設這個三角形的內切圓半徑是r，∵三角形周長為12，面積為6，∴×12r＝6，解得r＝1．【例3】如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝15，則四邊形ABCD的周長為．【答案】50【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四邊形ABCD的周長＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故答案為：50．【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓半徑為（）A．7 B．7 C． D．【答案】D【解析】解：如圖，設△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點D，在圓O上取點F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點E，設AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD＝b，CD＝b，∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，∵△ABC周長為l＝20，△ABC的內切圓半徑為r＝，∴S△ABC＝lr＝20×＝AB?CD，∴20＝b?c，∴bc＝40，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，即a2＝（c﹣b）2+（b）2，整理得：a2＝c2+b2﹣bc，∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，∵I是△ABC內心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，∴OB＝．故選：D．題型七：與切線證明有關的綜合問題【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長【答案】見解析【解析】（1）證明：連接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，AD⊥CD，∴CO⊥CD，∴DC為⊙O的切線；（2）連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．【例2】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，連接AC，OD交于點E．（1）如圖1，證明：OD∥BC；（2）如圖2，若AD是⊙O的切線，連接BD交于⊙O于點F，連接EF，且OA＝，求EF的長．【答案】見解析【解析】解：（1）連接OC，在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）連接AF，過F作FM⊥EF交OD于M，∵AB＝AD，AD是圓的切線，∴△ABD為等腰直角三角形，∵AB為直徑，∴∠AFB＝90°，∠DAF＝45°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∠EAF＝∠FDM，∴AF＝DF，∵∠EFM＝∠AFD＝90°，∴∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴AE＝DM，∵，OA＝，∴OD＝＝5，∴AE＝DM＝＝2，DE＝4，∴EM＝4﹣2＝2，∴EF＝．【例3】如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切于點C，與AB、BC邊分別交于點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長．【答案】見解析【解析】（1）證明：連接OD，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切線，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：連接OD，CD，∵BD是⊙O切線，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，設BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切線，∴AD＝AC，設AD＝AC＝y(tǒng)，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y(tǒng)2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的長為6．【例4】已知：如圖，在中，點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，當點到達終點時，點也隨即停止運動，設點的運動時間為．以點為圓心，長為半徑作．（1）若，求的值;（2）若與線段有唯一公共點，求的取值范圍．【答案】見解析【解析】解析：（1）如圖1，過點作于，，解得（2）如圖2，當與相切時，，線段有唯一公共點．∴如圖3，當經(jīng)過點時，，線段有恰有兩個公共點，如圖4，當經(jīng)過點時，點恰好到達點點Q恰好到達點此時與線段有唯一公共點．∴當與線段有唯一公共點．∴若與線段有唯一公共點，的取值范圍是或題型八：動圓相切問題【例1】在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點A(﹣3，0)、B(0，)，點P的坐標為（1，0），⊙P與y軸相切于點O，將⊙P沿軸向左平移，平移后得到⊙P′（點P的對應點為P′）.當⊙P′與直線相交時，橫坐標為整數(shù)的點P′共有（）A、1個B、2個C.、3個D、4個【答案】C【解析】解析：如圖所示∵點P的坐標為（1，0），⊙P與y軸相切于點O，∴⊙P的半徑是1，若⊙P與AB相切時，設切點為D，由點A（﹣3，0），點B（0，），∴OA=3，OB=，∴由勾股定理得AB=，∠DAM=30°.設平移后圓與直線AB第一次相切時圓心為M（即對應的P′），∴MD⊥AB，MD=1，又∵∠DAM=30°，∴AM=2，M點的坐標為（﹣1，0），即對應的P′點的坐標為（﹣1，0），同理可得圓與直線第二次相切時圓心N的坐標為（﹣5，0），∴當⊙P′與直線l相交時，橫坐標為整數(shù)的點P′的橫坐標可以是﹣2，﹣3，﹣4共三個．【例2】如圖，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，點C從A點出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點運動，與此同時，點D從點B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點運動，過OC的中點E作CD的垂線EF，則當點C運動了____s時，以C點為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切．【答案】【解析】解析：當以點C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時，此時，CF=1.5，∵AC=2t，BD=t，∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，∵點E是OC的中點，∴CE=OC=4﹣t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO∴△EFC∽△DCO∴∴由勾股定理可知：CE2=CF2﹢EF2，∴，解得：t=或t=，∵0≤t≤4，∴t=．【例3】如圖，已知直線交x軸、y軸于點A、B，⊙P的圓心從原點出發(fā)以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動，移動時間為t（s），半徑為，則t＝______s時⊙P與直線AB相切．【答案】或24【解析】解析：∵直線交x軸、y軸于點A、B，∴A（4，0），B（0，﹣3）∴OA=4，OB=3，∴，∴，設⊙P與直線AB相切于點C，連接PC，∴PC⊥AB，∴∠ACP=90°，如圖1，在Rt△APC中，，∴OA=OP﹢AP，解得；如圖2，∵∠PAC=∠OAB，∴在Rt△APC中，，∴OA=O﹣AP，解得；∴當或24s時⊙P與直線AB相切【例4】如圖，△ABC中，BC＝5，AC＝4，，點D從點B開始以每秒1個單位的速度沿BC向點C運動，同時點E從點C開始以每秒2個單位的速度沿CB向點B運動，過點E作直線EF∥AC交AB于點F，當運動______秒時，直線EF與以點D為圓心，BD為半徑的圓相切．【答案】【解析】解析：如圖，作BM⊥AC于M，設直線EF與⊙D相切于點N，連接DN∵∴BM=∵FE∥AC∴∠DEN=∠C∵∠DNE=∠BMC∴△DNE∽△BMC∴∴∴DE=∵BC=BD﹢DE﹢EC∴∴【例5】如圖，在平面直角坐標系中，直線l的表達式是，長度為2的線段AB在y軸上移動，設點A的坐標為（0，a）．（1）當以A為圓心，AB為半徑的圓與直線l相切時，求a的值；（2）直線l上若存在點C，使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，則a的取值范圍為_____．【答案】≤a≤_【解析】解析：（1）設A與直線l相切時，設切點為M，連接AM，則AM⊥DE．∵直線l的表達式為y=﹣x﹢1，∴D（0，1）、E（1，0）．∴∠ADM=45°，∴△AMD是等腰直角三角形，∵AM=2，∴AD=．①當A點在D點下方時，OA=AD﹣OD=，則a=．②當A點在D點上方時，OA=OD﹢AD=，則a=．所以a=或．（2）如圖：過點A作AC⊥l于點C，使AC=AB=2，由①得：a=，當點A移動到點D的上方A′處時，過點B′作B′C′⊥l于點C′，使B′C′=AB=2，同理可得：B′D=，則a=，∵若使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，則點A在線段AA′上，∴a的取值范圍為≤a≤課后練習1．如圖，AB為⊙O的直徑，點D在⊙O外，∠BAD的平分線與⊙O交于點C，連接BC、CD，且∠D＝90°．（1）求證：CD是⊙O的切線；【答案】見解析【解析】解：（1）證明：連接OC，∵AC是∠BAD的平分線，∴∠CAD＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∴∠OCD＝∠D＝90°，∴CD是⊙O的切線；2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連接DE并延長交AC的延長線于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O的直徑．【答案】見解析【解析】解析：（1）連接OD、CD，∵AC為⊙O的直徑，∴△BCD是直角三角形，∵E為BC的中點，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD﹢∠DCE=90°，∴∠ODC﹢∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線（2）設⊙O的半徑為r，∵∠ODF=90°，∴，即解得r=3，∴⊙O的直徑為63、如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若DC﹢DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．【答案】見解析【解析】解析：（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線；（2）過O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四邊形DCOF為矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC﹢DA=6，設AD=x，則OF=CD=6﹣x，∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2﹢OF2=OA2．即（5﹣x）2﹢（6﹣x）2=25，化簡得x2﹣11x﹢18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，∴x=2，從而AD=2，AF=5﹣2=3，∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，∴AB=2AF=6．4、⊙O的直徑為10，圓心O到直線l的距離為3，下列位置關系正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解析：∵⊙O的直徑為10∴⊙O的半徑為5∵圓心O到直線l的距離為