工程力學(xué)(1)-第7章

第七章彎曲強(qiáng)度§7-1

工程中的彎曲構(gòu)件§7-2

梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖§7-3

與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何量§7-4

平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力§７-5

平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例§７-６

梁的強(qiáng)度計(jì)算§７-７

結(jié)論與討論1§７-1

工程中的彎曲構(gòu)件Ⅰ.關(guān)于彎曲的概念受力特點(diǎn)：桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。變形特點(diǎn)：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。梁——以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。2彎曲變形3工程實(shí)例F2F14縱向?qū)ΨQ面

對(duì)稱彎曲——外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線。

非對(duì)稱彎曲——梁不具有縱對(duì)稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對(duì)稱的縱向平面；或梁雖有縱對(duì)稱面但外力并不作用在縱對(duì)稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對(duì)稱面一致。5本章討論對(duì)稱彎曲時(shí)梁的內(nèi)力和應(yīng)力。對(duì)稱彎曲時(shí)和特定條件下的非對(duì)稱彎曲時(shí)，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。6Ⅱ.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)于對(duì)稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對(duì)稱面內(nèi)的平面力系，故在計(jì)算簡(jiǎn)圖中通常就用梁的軸線來代表梁。這里加“通?！倍质且?yàn)楹?jiǎn)支梁在水平面內(nèi)對(duì)稱彎曲時(shí)不能用軸線代表梁。F7(1)支座的基本形式1.固定端——實(shí)例如圖a，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b,c。(b)(c)MRFRxFRy(a)8

2.固定鉸支座——實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b，e。

3.可動(dòng)鉸支座——實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖c，f。9懸臂梁(2)梁的基本形式簡(jiǎn)支梁外伸梁10在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3)靜定梁和超靜定梁圖d，e所示梁及其約束力不能單獨(dú)利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。11§７-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖Ⅰ.梁的剪力和彎矩(shearingforceandbendingmoment)

圖a所示跨度為l的簡(jiǎn)支梁其約束力為梁的左段內(nèi)任一橫截面m－m上的內(nèi)力，由m－m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：12它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是m－m右邊的梁段對(duì)于左邊梁段的作用力和作用力矩。故根據(jù)作用與反作用原理，m－m左邊的梁段對(duì)于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩?cái)?shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點(diǎn)也可由m－m右邊分離體的平衡條件加以檢驗(yàn)：13從而有14梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯(cuò)動(dòng)(剪切)相對(duì)應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對(duì)應(yīng)，故稱為彎矩。15為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號(hào)相同，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。16綜上所述可知：

(1)

橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。

(2)

橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和。

1.

不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。17

2.

截面左側(cè)梁段上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。18Ⅱ.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。19圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。(a)20距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有解：1.列剪力方程和彎矩方程當(dāng)求懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)時(shí)，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計(jì)算，則可不求出約束力。FS(x)212.

作剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時(shí)其受拉的邊緣一側(cè))。(b)(c)22由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對(duì)值)其值為(負(fù)值)，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。(b)(c)(a)23圖a所示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束力(a)242.

列剪力方程和彎矩方程FS(x)25由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對(duì)值)其值為(正值，負(fù)值)，發(fā)生在兩個(gè)支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為發(fā)生在跨中橫截面上。3.

作剪力圖和彎矩圖26簡(jiǎn)支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計(jì)算情況，初學(xué)者對(duì)于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計(jì)算公式應(yīng)牢記在心！27圖a所示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。F(a)解：1.

求約束力282.列剪力方程和彎矩方程此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。FAC段梁FS(x)29CB段梁FFxFS(x)303.作剪力圖和彎矩圖如圖b及圖c。由圖可見，在b>a的情況下，AC段梁在0<x<a的范圍內(nèi)任一橫截面上的剪力值最大，；集中荷載作用處(x=a)橫截面上的彎矩值最大，。(b)(c)314.

討論由剪力圖可見，在梁上的集中力(包括集中荷載和約束力)作用處剪力圖有突變，這是由于集中力實(shí)際上是將作用在梁上很短長(zhǎng)度

x范圍內(nèi)的分布力加以簡(jiǎn)化所致。若將分布力看作在

x范圍內(nèi)是均勻的(圖a),則剪力圖在

x范圍內(nèi)是連續(xù)變化的斜直線(圖b)。從而也就可知，要問集中力作用處梁的橫截面上的剪力值是沒有意義的。32圖a所示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.

求約束力332.列剪力方程和彎矩方程

此簡(jiǎn)支梁的兩支座之間無集中荷載作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意橫截面同一側(cè)的集中力相同，從而可知兩段梁的剪力方程相同，即xxFS(x)FS(x)34至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：CB段梁：xxFS(x)FS(x)353.作剪力圖和彎矩圖36如圖可見，兩支座之間所有橫截面上剪力相同，均為。在b>a的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大，為（負(fù)值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際上只是作用在梁上很短長(zhǎng)度范圍內(nèi)的分布力矩的簡(jiǎn)化。37思考1：一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載F作用，如圖所示。試問：

(a)此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動(dòng)荷載作用處？為什么？

(b)荷載F移動(dòng)到什么位置時(shí)此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時(shí)的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對(duì)于彎矩的最不利荷載位置和絕對(duì)值最大彎矩值。38思考2：對(duì)于圖示帶中間鉸C的梁，試問：

(a)如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？

(b)如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣大小且同為順時(shí)針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？C39

例

簡(jiǎn)支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：1.求支座約束力可利用平衡方程對(duì)所求約束力進(jìn)行校核。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB402.建立剪力方程和彎矩方程

AC段：

CB段：

(a)

xBAl/2l/2CqFAFB413．求控制截面內(nèi)力，繪FS,M圖

FS圖：AC段內(nèi)剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個(gè)端截面的剪力值即可CB段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值連一水平線即為該段剪力圖。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql42M圖：AC段內(nèi)彎矩方程是x的二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，需求出兩個(gè)端截面的彎矩。需判斷頂點(diǎn)位置，該處彎矩取得極值。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql243我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于該梁來說有CB段內(nèi)彎矩方程是x的一次函數(shù)，分別求出兩個(gè)端點(diǎn)的彎矩，并連成直線即可。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql244

（a）

當(dāng)梁上有向下的均布荷載時(shí)，剪力圖為一條直線，其斜率為負(fù)；而且，這微分關(guān)系也體現(xiàn)在該梁的剪力圖和彎矩圖中：(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql245(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2

（b）從剪力圖可見，隨x的增大剪力FS由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值，故彎矩圖切線的斜率也應(yīng)隨x的增大而由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值；且在的截面處，即彎矩圖切線的斜率為零而彎矩有極值；46

（c）由可知，彎矩圖的曲率為負(fù)，亦即在彎矩圖的縱坐標(biāo)如圖中那樣取向下為正時(shí)，彎矩圖為下凸的二次曲線。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql247Ⅲ.彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用M(x),FS(x)與q(x)間微分關(guān)系的導(dǎo)出

從圖a所示簡(jiǎn)支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長(zhǎng)為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。48從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項(xiàng)，即得49應(yīng)用這些關(guān)系時(shí)需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負(fù)值。由以上兩個(gè)微分關(guān)系式又可得50常見荷載下FS，M圖的一些特征51集中力作用處集中力偶作用處若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。

52

利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：

(1)

求支座約束力；

(2)

分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；

(3)

求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；

(4)

確定|FS|max和|M|max

。53

例題一簡(jiǎn)支梁在其中間部分受集度為q=100kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。x+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq-54而根據(jù)可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為1.

校核剪力圖

解：此梁的荷載及約束力均與跨中對(duì)稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq該梁的AC段內(nèi)無荷載，55對(duì)于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100kN/m。+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq根據(jù)可知CD段內(nèi)的剪力圖確應(yīng)為向右下方傾斜的斜直線。由于C點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標(biāo)確為100kN。根據(jù)斜直線的斜率為，可證實(shí)D截面處的剪力確應(yīng)為56對(duì)于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-100kN。作為復(fù)核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq572.

校核彎矩圖這與圖中所示相符。該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù)常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq58事實(shí)上，這個(gè)彎矩值也可根據(jù)此式中的從幾何意義上來說，它就是AC段內(nèi)剪力圖的面積。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）通過積分來復(fù)核：59對(duì)于該梁的CD段，根據(jù)可知：彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的二次曲線。因?yàn)榱荷螩點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒有突變；+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq60由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq61在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù)可知，這些均與圖(c)中所示相符。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）62對(duì)于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實(shí)圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。+-100kN100kNFSxFS

圖+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq63已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯(cuò)誤。正確答案：(a)64圖中梁的約束力為正確答案：(b)65圖中梁的約束力為正確答案：(c)66Ⅳ.

按疊加原理作彎矩圖67

(1)在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時(shí)，我們都是按梁未變形時(shí)的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，例如對(duì)于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為(a)68這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時(shí)(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。(b)(c)(a)69

(2)

疊加原理當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時(shí)，由幾項(xiàng)荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參數(shù)值的疊加。70

(3)示例圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載

作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時(shí)兩個(gè)剪力圖和兩個(gè)彎矩圖的疊加。F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)71○-﹢○F(a)﹢○○-FF=ql/4(b)(c)﹢○﹢○F○-○-72圖d為直接將圖b和圖c中兩個(gè)彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標(biāo)軸時(shí)，它就是圖a中的彎矩圖。(c)○-○-﹢○○-(d)73作剪力圖時(shí)雖然(如上所示)也可應(yīng)用疊加原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡(jiǎn)單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為(負(fù)值),最大彎矩為(負(fù)值)，而極值彎矩并非最大彎矩?！?﹢○F(a)﹢○○-F74第一節(jié)靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義：微面積dA對(duì)z軸和y軸的靜矩分別為和

截面（面積A)對(duì)z軸和y軸的靜矩分別為：

靜矩為代數(shù)值。靜矩單位：

不同截面對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。若截面形心坐標(biāo)為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質(zhì)薄板的重力），由合力矩定理可得：當(dāng)Sz=0或Sy=0時(shí)，必有yc=0或zc=0，可知截面對(duì)某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對(duì)該軸的靜矩為零。75

二、形心公式：

三、組合截面的靜矩：n個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面，其靜矩為：四、組合截面形心公式：

例5-1求圖示T形截面形心位置。

解：取參考坐標(biāo)軸y、z,由對(duì)稱圖形,zc=0。

分解圖形為１、２兩個(gè)矩形，則若分解為１、２、３三個(gè)矩形，則76

解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對(duì)稱軸為y軸，過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則求圖示圖形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10由于對(duì)稱知：xc=0目錄77求圖示半徑為r的半圓形對(duì)其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。OCrxydAyCydy解：過圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個(gè)與x軸平行的窄條，

所以

目錄78第二節(jié)慣性矩和慣性積一、極慣性矩：

定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的距離ρ平方的乘積ρ2dA,稱為該面積dA對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩。

截面對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩為：

簡(jiǎn)單圖形的極慣性矩可由定義式積分計(jì)算。

實(shí)心圓截面：

空心圓截面：

二、慣性矩：

定義：平面圖形中任一微面積dA對(duì)z軸、y軸的慣性矩分別為：y2dA和Z2dA；則整個(gè)圖形（面積為A)對(duì)z軸、y軸的慣性矩分別為：79

定義:平面圖形內(nèi)，微面積dA與其兩個(gè)坐標(biāo)z、y的乘積zydA在整個(gè)圖形內(nèi)的積分稱為該圖形對(duì)z、y軸的慣性積。

特點(diǎn)：①慣性積是截面對(duì)某兩個(gè)正交坐標(biāo)軸而言。不同截面對(duì)同一對(duì)軸或同一截面對(duì)不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數(shù)值。

單位：②若截面有一根為對(duì)稱軸,則該截面對(duì)包括此對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。

慣性矩是對(duì)某軸而言的，同一截面對(duì)不同軸的慣性矩值不同。

慣性矩單位：m4或mm4；慣性矩恒為正值。

簡(jiǎn)單圖形對(duì)軸的慣性矩由定義式積分計(jì)算。三、慣性積：80例5-2求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩和慣性積。

解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=bdy,則：取微面積dA=hdz,則：例5-3圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=2zdy,則：取微面積dA=dzdy，則：81第三節(jié)慣性矩和慣性積的平行移軸公式

組合截面的慣性矩和慣性積1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy,形心C在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx82同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。832.組合截面的慣性矩和慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：84求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。解：（1）求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc85（2）求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc86試求圖a

所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對(duì)x的慣性矩：（2）一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p87（3）一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩：88

第四節(jié)主慣性軸和主慣性矩：

主慣性軸（主軸）—使截面對(duì)zo、yo軸的慣性積

的這對(duì)正交坐標(biāo)軸；

主慣性矩（主慣矩）—截面對(duì)主慣性軸的慣性矩；

形心主慣性軸（形心主軸）—通過形心的主慣性軸；

形心主慣性矩（形心主慣矩）—截面對(duì)形心主軸的慣性矩。返回下一張上一張小結(jié)若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對(duì)稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。幾個(gè)結(jié)論89303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面對(duì)形心軸的慣性矩先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：yCzyCzC90求圖示圓對(duì)其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識(shí)求。B建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對(duì)形心軸的慣性矩。AdxyO圓91思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為過點(diǎn)Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab92思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中

為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa

答案：0；a4/24;a4/24

93小結(jié)一、靜矩：性質(zhì)：截面對(duì)某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心；

二、極慣性矩：實(shí)心圓截面：空心圓截面：三、慣性矩：

四、慣性積：矩形截面：圓形截面：幾何關(guān)系：五、平行移軸公式：返回下一張上一張小結(jié)94

六、主慣性軸和主慣性矩：

形心主慣性軸（形心主軸）—通過形心的主慣性軸；

形心主慣性矩（形心主慣矩）—截面對(duì)形心主軸的慣性矩。

主慣性軸（主軸）—使

的這對(duì)正交坐標(biāo)軸；

主慣性矩（主慣矩）—截面對(duì)主慣性軸的慣性矩；七、平面圖形幾何性質(zhì)的幾何意義：

1.

靜矩：圖形的形心相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度；

2.

極慣性矩：圖形的面積相對(duì)于指定坐標(biāo)原點(diǎn)之間分布的集中或分散程度；

3.

慣性矩：圖形的面積相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度；

4.慣性積：圖形面積相對(duì)于指定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度。返回下一張上一張小結(jié)95§７-4

梁橫截面上的正應(yīng)力·梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

純彎曲

(purebending)━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力。MeM96

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。97Ⅰ.純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何方面━━藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的縱向線應(yīng)變?cè)谠摍M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：(a)98彎曲變形99

1.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長(zhǎng)；100

2.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與弧線aa和bb保持正交。101

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)梁在純彎曲時(shí)，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。102橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長(zhǎng)度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時(shí)橫截面繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)103令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義有縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個(gè)原來平行的橫截面繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)104即梁在純彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e與該點(diǎn)至中性軸的距離

y成正比。(c)彎曲變形105小變形時(shí)純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。

(2)物理方面━━藉以由縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M106

(3)靜力學(xué)方面━━藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對(duì)于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩()，只能組成對(duì)于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即(d)107將代入上述三個(gè)靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而108其中為截面對(duì)于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其單位為m3。為截面對(duì)于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。為截面對(duì)于z軸的慣性矩(momentofineritaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。109由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：

1.橫截面對(duì)于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對(duì)于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對(duì)稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對(duì)稱軸，因而這一條件自動(dòng)滿足。(a)(b)(c)110由式(c)可知，直梁純彎曲時(shí)中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時(shí)，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對(duì)于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。將上式代入得出的式子即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：(c)111

應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動(dòng)表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸z的距離。112

中性軸z

為橫截面對(duì)稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對(duì)稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。第四章彎曲應(yīng)力dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)113中性軸z為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo114中性軸

z不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為115簡(jiǎn)單截面對(duì)于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)(1)矩形截面116思考:

一長(zhǎng)邊寬度為

b，高為

h的平行四邊形，它對(duì)于形心軸

z的慣性矩是否也是？117(2)

圓截面在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題(§3-4)中已求得：zoyyzdA而由圖可見，ρ2=y2+z2,

從而知118而彎曲截面系數(shù)為根據(jù)對(duì)稱性可知，原截面對(duì)于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA119(3)

空心圓截面由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD120根據(jù)對(duì)稱性可知：思考：

空心圓截面對(duì)于形心軸的慣性矩就等于大圓對(duì)形心軸的慣性矩減去小圓對(duì)于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為第四章彎曲應(yīng)力dOyzD121型鋼截面及其幾何性質(zhì)：參見型鋼表需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸是我們所標(biāo)示的z軸。122Ⅱ.純彎曲理論的推廣工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對(duì)于梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡(jiǎn)支梁，當(dāng)其跨長(zhǎng)與截面高度之比大于5時(shí)，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，即123圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。124解：先計(jì)算截面上的彎矩截面對(duì)中性軸的慣性矩(momentofinertia)A截面上的彎矩為負(fù)，K點(diǎn)在中性軸(neutralaxis)的上邊，所以為拉應(yīng)力。

125圖a所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡(jiǎn)化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處(圖b)的正應(yīng)力sa。126

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為127由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有危險(xiǎn)截面上點(diǎn)a處的正應(yīng)力為128該點(diǎn)處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計(jì)算：129顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險(xiǎn)截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?30Ⅲ.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計(jì)。因此可以認(rèn)為梁的危險(xiǎn)截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應(yīng)力。131對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作由拉、壓許用應(yīng)力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對(duì)稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。132①強(qiáng)度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。

σmax=Mmax/Wz≤［σ］②截面設(shè)計(jì)當(dāng)已知荷載和梁的材料時(shí)，可根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算所需的抗彎截面系數(shù)

Wz≥Mmax/［σ］再根據(jù)梁的截面形狀進(jìn)一步確定截面的具體尺寸。③確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算出梁所能承受的最大彎矩

Mmax≤Wz［σ］再由Mmax與荷載間的關(guān)系計(jì)算出許可荷載。133(a)(b)圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖可取為如圖b所示的簡(jiǎn)支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號(hào)碼。134解：在不計(jì)梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示135強(qiáng)度條件要求：此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號(hào)工字鋼的Wz為136此時(shí)危險(xiǎn)截面上的最大工作應(yīng)力為其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實(shí)踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。如果計(jì)入梁的自重，危險(xiǎn)截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為137圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對(duì)于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa

。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)138

解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為根據(jù)可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力[sc]，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。139最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則上邊緣處的最大壓應(yīng)力sc,max為，它遠(yuǎn)小于[sc]故就C截面而言，梁的強(qiáng)度也由最大拉應(yīng)力控制。140由以上分析可知，該梁的強(qiáng)度條件系受最大拉應(yīng)力控制。至于究竟是B截面上還是C截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度，可進(jìn)一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：C截面：141當(dāng)然，這個(gè)許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會(huì)減少很多。于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]的條件來求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。142dx§7-5

梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件Ⅰ.

梁橫截面上的切應(yīng)力(1)矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，如圖所示。hbzyO143由于m－m和n－n上的彎矩不相等，故兩截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個(gè)端面mm'A1A上與正應(yīng)力對(duì)應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N1也不相等。144它們分別為式中，為面積A*(圖b)對(duì)中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。145即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dF'S(圖b)：146為確定離中性軸z為y的這個(gè)縱截面上與切向內(nèi)力dF'S對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t的情況：147

1.由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；

2.對(duì)稱彎曲時(shí)，對(duì)稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。148從而對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面可以假設(shè)：1.橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy149于是根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點(diǎn)的切應(yīng)力t'均與橫截面正交，且大小相等。至于t'在dx長(zhǎng)度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t'在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有150以上式代入前已得出的式子得根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t必與t'互等，從而亦有151矩形截面梁橫力彎曲時(shí)切應(yīng)力計(jì)算公式zyyy1式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz

為整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩，。上式就是矩形截面等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。152橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時(shí)，在對(duì)稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等?，F(xiàn)在分析橫截面上切應(yīng)力t在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。上述切應(yīng)力計(jì)算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)y之間的關(guān)