專題1.4 三角形的外角【十大題型】（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題1.4三角形的外角【十大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)求角度】 1【題型2應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)比較角度大小】 2【題型3三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】 3【題型4三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】 4【題型5三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合】 5【題型6應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題】 6【題型7應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決三角板組合問題】 7【題型8三角形中角的不等關(guān)系的證明】 8【題型9應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)解決角度測量問題】 10【題型10三角形有關(guān)角度關(guān)系的探究題】 11【知識點(diǎn)三角形的外角】概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．性質(zhì)：①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．【題型1應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)求角度】【例1】（2023春·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)D是∠ACB內(nèi)一點(diǎn)，若∠1=35°，∠2=40°，∠ADB=145°，則∠ACB的大小為（

）A．75° B．70° C．65° D．60°【變式1-1】（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）若一個三角形兩個外角之和為280°，那么這個三角形是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式1-2】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，∠B=∠1，∠3=80°，∠BAC=70°．則∠2的大小是（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式1-3】（2023春·廣東江門·八年級臺山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC中，∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，CD是AB邊上的高，求∠ACD度數(shù)．

【題型2應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)比較角度大小】【例2】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．∠1>∠2>∠3【變式2-1】（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，關(guān)于∠B與∠ACD的大小關(guān)系，下列說法正確的是(

)A．∠B>∠ACD B．∠B=∠ACD C．∠B<∠ACD D．無法確定【變式2-2】（2023春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP并延長交AC于D，連接PC，則圖中∠1,∠2,∠A的大小關(guān)系是（

）A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．∠1>∠2>∠A【變式2-3】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┤鐖D，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關(guān)系是(

).A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BECC．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A【題型3三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】【例3】（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…

【變式3-1】（2023春·天津·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分線，交CB的延長線于點(diǎn)F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分線，交AC的延長線于點(diǎn)G，若AF=BG=AB，則∠F的大小=（度）．【變式3-2】（2023春·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分線，∠B=50°，∠ANC=80°．求∠BAC和∠C的度數(shù)．【變式3-3】（2023春·浙江杭州·八年級校考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB，交于點(diǎn)O,CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E．以下結(jié)論①∠OCE=90°，②∠1=2∠2，③∠BOC=90°+12∠1，④∠BOC=3∠2【題型4三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】【例4】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級期末）如圖，已知直線AB∥CD，∠C=125°，∠A=40°，那么∠E的大小為（

）A．75° B．85° C．90° D．95°【變式4-1】（2023春·河南鄭州·八年級河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，AB∥EF，A．β=α+γ B．α+β+γ=180°C．β+γ-α=90° D．α+β-γ=90°【變式4-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分線，分別交EF，BC于點(diǎn)H，D，則∠1、∠2和∠3之間的數(shù)量關(guān)系為（

A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．∠1+∠3=2∠2【變式4-3】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）已知：AB∥CD,∠AEB=∠BFC．(1)如圖1，求證：∠AEB=∠ABE+∠DCF；(2)如圖2，連接BC，∠BCF=2∠ABE，點(diǎn)P在射線AB上，∠BCP=12∠BCD，射線CP交EF于點(diǎn)M【題型5三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合】【例5】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，已知DF⊥AB于點(diǎn)F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACD的度數(shù)．

【變式5-1】（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=76°，則∠E的度數(shù)為（）A．32° B．34° C．56° D．58°【變式5-2】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M為直線AC上一點(diǎn)，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，且∠C=50°時，求證BD∥(2)當(dāng)點(diǎn)M在邊AC的延長線上時，補(bǔ)全圖②，判斷BD與MF的位置關(guān)系并證明．【變式5-3】（2023春·廣西南寧·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中.(1)如圖1，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AE平分∠BAC，AE，CD相交于點(diǎn)F，請直接寫出線段CF與CE的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F，其反向延長線與BC的延長線交于點(diǎn)E，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

(3)如圖3，AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD=∠B，∠BAC的平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點(diǎn)M．請求出∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系．【題型6應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題】【例6】（2023春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，△ADC中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為AD，AC上的動點(diǎn)，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點(diǎn)A落在△ADC的外部A'處，如圖2所示．若∠1-∠2=42°，則∠A度數(shù)為A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°【變式6-1】（2023春·重慶涪陵·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACBA．60° B．65° C．70° D．75°【變式6-2】（2023春·廣東湛江·八年級嶺師附中校聯(lián)考期末）如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在邊BC上點(diǎn)F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A=．

【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的A'處，若∠A=28°，∠BDA'=90°，則【題型7應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決三角板組合問題】【例7】（2023春·江蘇·八年級開學(xué)考試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．75° D．80°【變式7-1】（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【變式7-2】（2023春·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期中）將一副三角板按如圖的方式擺放，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)是（

）A．140° B．150° C．155° D．160°【變式7-3】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖所示擺放，則∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系為（

）A．∠α=∠β+15° B．∠α+∠β=180°C．∠α+∠β=225° D．∠α=∠β【題型8三角形中角的不等關(guān)系的證明】【例8】（2013春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖：CD是△ABC中∠ACB的外角平分線，請猜測∠BAC和∠B的大小關(guān)系，并說明理由.【變式8-1】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D，連接DE．求證：∠1＞∠2．【變式8-2】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·八年級統(tǒng)考期中）實(shí)驗(yàn)與探究：在（

）內(nèi)填寫理論根據(jù)．在橫線上填寫結(jié)論在△AC中，如果AB>AC，那么我們可以將△ABC折疊，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在AB邊上的D點(diǎn)，折線交BC于點(diǎn)E，則∠C=∠ADE．∵∠ADE=∠B+∠BED（

）∴∠ADE>∠B（

）∴∠C>∠B（

）結(jié)論：在一個三角形中，如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿利用此結(jié)論，回答下面的問題：（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A、∠B、∠C有怎樣的大小關(guān)系？（用“>”表示出來）（2）如果一個三角形中最大的邊所對的角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？（寫出已知、求證、證明）【變式8-3】（2023春·河南周口·八年級階段練習(xí)）如圖，O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OB、OC．（1）求證：∠BOC＞∠A；（2）比較AB+AC與OB+OC的大小，并說明理由．【題型9應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)解決角度測量問題】【例9】（2023春·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，要求AB∥CD，工人師傅量出∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，則該零件（填“合格”或“不合格【變式9-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）一個零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判斷這個零件是否合格，只要檢驗(yàn)∠BCD的度數(shù)就可以了．量得∠BCD＝150°，這個零件（填“合格”不合格”）．【變式9-2】（2023春·江西南昌·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，有一個“工”字形零件，經(jīng)測量，∠BMN=100°,∠MNC=70°，那么直線AB與CD所成的銳角的大小是．

【變式9-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）下圖是某工人加工的一個機(jī)器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過測量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：∠EFD=120°，且∠A、∠B、∠C保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持∠E不變情況下，應(yīng)將圖中∠D（填“增大”或“減小”）度．【題型10三角形有關(guān)角度關(guān)系的探究題】【例10】（2023春·廣東河源·八年級?？奸_學(xué)考試）△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D，B分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，(1)若點(diǎn)P在邊AB邊上，且∠α=50°，如圖1，則∠1+∠2=__．(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動，如圖2所示．則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．(3)若點(diǎn)P運(yùn)動到邊AB的延長線上，如圖3，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．【變式10-1】（2023春·廣東河源·八年級?？计谀┤鐖D1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、?【變式10-2】（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合)，且FD⊥BC于D．(1)如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=