機(jī)械類專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第8、9章　車斜橢圓與坐標(biāo)變換和二次方程、凸輪與極坐標(biāo)和參數(shù)方程

解：設(shè)所畫大圓弧的半徑為R.以AB弧的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，過O點(diǎn)的切線為x軸，AB弧所在圓的圓心C與O所在直線為y軸，建立如圖4-5-4所示的直角坐標(biāo)系，則圓C的方程是x2+(y-R)2，因?yàn)锳B弧在下半個(gè)圓周上，所以AB弧上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足R-，直接運(yùn)用此式計(jì)算AB弧上若干點(diǎn)的坐標(biāo)，還是有點(diǎn)麻煩，于是，將它做如下變形

三、在圓弧形建造結(jié)構(gòu)問題中的應(yīng)用

四、在圓形區(qū)域問題中的應(yīng)用

第六節(jié)圓與圓構(gòu)成基點(diǎn)與對(duì)應(yīng)圓方程的關(guān)系

第七節(jié)圓與圓構(gòu)成基點(diǎn)的求法舉例第八節(jié)基點(diǎn)計(jì)算過程的標(biāo)準(zhǔn)化

第九節(jié)基點(diǎn)的CAD作圖法計(jì)算簡(jiǎn)介

復(fù)習(xí)自測(cè)題四

第五章車橢圓孔與橢圓方程

第六章曲面攪拌輪制作與雙曲線方程

第七章太陽(yáng)灶制作與拋物線方程

第八章車斜橢圓與坐標(biāo)變換和二次方程

第九章凸輪與極坐標(biāo)和參數(shù)方程第八章車斜橢圓與坐標(biāo)變換和二次方程第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換

第二節(jié)圓錐曲線方程的移軸與轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)舉例

第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用

第四節(jié)基于AutoCAD的坐標(biāo)變換計(jì)算

復(fù)習(xí)自測(cè)題八第八章車斜橢圓與坐標(biāo)變換和二次方程圖8-0-1第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換一、坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)圖8-1-1第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換解：因?yàn)棣?45°，所以根據(jù)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)公式，得圖8-1-2第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換二、坐標(biāo)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)圖8-1-3第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換解：由題意知，曲線上所有點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，則有

1.已知點(diǎn)(-2,1)，求它在坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ=π/6后的新坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

2.已知坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角θ=π/4，在新坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(3

3.根據(jù)所給的旋轉(zhuǎn)角θ轉(zhuǎn)軸，變換下列方程，并判斷曲線的類型：

(1)13x2+10xy+13y2=72，θ=π/4；

(2)3x2-4第二節(jié)圓錐曲線方程的移軸與轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)舉例一、有心圓錐曲線方程的化簡(jiǎn)

二、無心圓錐曲線方程的化簡(jiǎn)

解：因?yàn)棣?B2-4AC=(-6)2-4×5×5=-64＜0，所以該曲線為橢圓.

解得h=3，k=4.圖8-2-1第二節(jié)圓錐曲線方程的移軸與轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)舉例解：因?yàn)棣?B2-4AC=(-4)2-4×4=0，所以該曲線為拋物線.圖8-2-2第二節(jié)圓錐曲線方程的移軸與轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)舉例解：因?yàn)棣?B2-4AC=12-4×0×0=1＞0，所以該曲線為雙曲線.

1.利用旋轉(zhuǎn)變換公式將雙曲線攪拌輪的曲線方程xy=36化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式.

2.化簡(jiǎn)下列各方程，并作出它們的示意圖：

(1)2x2+6xy+5y2-4x-22y+7=0；

(2)5x2-12xy-8x+24y-40=0；

(3)x2+2xy+y2+4x-4y=0.

3.對(duì)于曲線方程3x2-4xy-4=0，先求出旋轉(zhuǎn)角，再用坐標(biāo)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn).第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用一、在加工斜橢圓中的應(yīng)用圖8-3-1第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用解：建立如圖8-3-1所示的Oxy坐標(biāo)系.

解得A0點(diǎn)的坐標(biāo)是(37.649,-10.190)；

解得B0點(diǎn)的坐標(biāo)是(5.615,29.725)；

二、在求攪拌輪輪廓線方程中的應(yīng)用圖8-3-2第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用(2)能用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)來證明反比例函數(shù)的圖像是雙曲線嗎？

三、在加工斜面法向孔中的應(yīng)用圖8-3-3解：鉆頭在E、D、O三點(diǎn)成一線的軸線上，第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用工件連同底座繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過60°，法向孔就與鉆頭所在軸線平行.建立如圖8-3-3b所示的坐標(biāo)系Oxy，其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得新坐標(biāo)系Ox′y′；在新坐標(biāo)系Ox′y′下，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-12,100)，由轉(zhuǎn)軸公式知，點(diǎn)P在原坐標(biāo)系Oxy下的橫坐標(biāo)x′cosθ-y′sinθ=-12cos(-60°)-100sin(-60°)=80.603，即P點(diǎn)在Oxy中的Ox方向上的距離是80.603.于是，加工時(shí)應(yīng)將固定在底座上的工件連同底座一起繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過60°，而原位的鉆頭應(yīng)向右平移80.603.圖8-3-4第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用圖8-3-5四、在磨削斜面中的應(yīng)用

解：建立如圖8-3-5b所示的坐標(biāo)系，在Oxy坐標(biāo)系下，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(18,25.8)，當(dāng)Oxy坐標(biāo)系沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)24°成為Ox′y′坐標(biāo)系后，由坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)公式，得第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用五、在臺(tái)肩拋物線連接中的應(yīng)用圖8-3-6解：根據(jù)題意，零件臺(tái)肩的輪廓線互相垂直，建立如圖8-3-6b所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為

解：(1)因?yàn)閍=，b=3，所以臺(tái)肩過渡拋物線方程為第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用(2)利用y″2=4/(+)x″，得標(biāo)準(zhǔn)方程為y″2=3?/2x″；

(3)利用P′與Q′，得P、Q兩點(diǎn)在拋物線沒有旋轉(zhuǎn)的“正”狀態(tài)下的坐標(biāo)分別是P′與Q′.

1.以O(shè)1為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(20,13.105)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-7.95,12.95)，橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸分別為25mm和15mm，旋轉(zhuǎn)角為20°，試求橢圓輪廓線段AB旋轉(zhuǎn)前的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)與離心角(見圖8-3-7).

2.已知圖8-3-8所示零件的臺(tái)肩是斜橢圓線段曲面，試求出斜橢圓線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)在沒有旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)與離心角.第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用圖8-3-73.如圖8-3-9所示，第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用為了在正弦規(guī)上磨削一斜面AB.在正弦規(guī)未抬起前，測(cè)得A點(diǎn)到正弦規(guī)軸心的垂直方向的距離是98mm，水平方向的距離是20mm，加工時(shí)根據(jù)圖標(biāo)尺寸將正弦規(guī)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)36°，使AB斜面成水平狀態(tài)，試求此時(shí)h的大小.

4.在如圖8-3-10所示的凹圓弧工件上加工與中心線成8°的斜孔，工件固定在旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上后，測(cè)得孔口點(diǎn)A與旋轉(zhuǎn)中心O的水平距離與垂直距離分別是100.2mm和47.01mm，問加工時(shí)工件平臺(tái)應(yīng)如何旋轉(zhuǎn)，主軸線上的鉆頭應(yīng)如何移動(dòng)？

5.某零件的臺(tái)肩采用拋物線形過渡，過渡連接點(diǎn)鉛直位置高a=9mm，水平位置長(zhǎng).(1)寫出該拋物線的方程；(2)將該拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；(3)若在數(shù)控機(jī)床上加工，求拋物線過渡連接點(diǎn)在拋物線“正”狀態(tài)下的坐標(biāo).第三節(jié)坐標(biāo)變換與二次方程的應(yīng)用圖8-3-9第四節(jié)基于AutoCAD的坐標(biāo)變換計(jì)算圖8-4-1解：這是第三節(jié)中的例題，現(xiàn)用AutoCAD來求解，第四節(jié)基于AutoCAD的坐標(biāo)變換計(jì)算如圖8-4-1所示.

(1)作互相垂直的直線OE與OF；

(2)用偏移命令：OE向左偏12，OF向上偏移100，得交點(diǎn)P；

(3)用旋轉(zhuǎn)命令：作線段PO，使PO以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至OP′；

(4)用標(biāo)注命令：標(biāo)注點(diǎn)O與點(diǎn)P′的線性距離，得80.603.

解：由圖知橢圓的長(zhǎng)半軸a=20/sin30°=40，短半軸b=30.

(1)如圖8-4-2所示，建立直角坐標(biāo)系Oxy；圖8-4-2第四節(jié)基于AutoCAD的坐標(biāo)變換計(jì)算(2)用偏移命令：Ox向上偏移10，Oy向右偏移37.7，得交點(diǎn)A；又知Ox向上偏移57．1/2向左偏移10，得交點(diǎn)B；

(3)用旋轉(zhuǎn)命令：作線段OA、OB，以O(shè)為中心使OA、OB沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°分別至點(diǎn)A0和B0；

(4)用標(biāo)注命令：標(biāo)注點(diǎn)O與點(diǎn)A0之間線性的水平與鉛直距離，可得A0點(diǎn)的坐標(biāo)是(37.649,)；同理，B0點(diǎn)的坐標(biāo)是(5.615,29.725)；

(5)以橢圓長(zhǎng)半軸a=40為半徑作☉O，過A0點(diǎn)作鉛直線交☉O于A′，則∠xOA′即為橢圓上A0點(diǎn)的離心角.用標(biāo)記角命令得∠xOA′=19.74°，即離心角是-19.74°.同理，B0點(diǎn)的離心角是81.93°.

1.用AutoCAD求解練習(xí)題8.3中的第4題.第四節(jié)基于AutoCAD的坐標(biāo)變換計(jì)算2.如圖8-4-3所示，在數(shù)控車床上加工一含有斜橢圓曲線段的零件，需要選擇合適的坐標(biāo)系，用AutoCAD求解斜橢圓曲線段在未旋轉(zhuǎn)傾斜時(shí)的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)及離心角.圖8-4-3復(fù)習(xí)自測(cè)題八1.圖8-5-1所示為一含有斜橢圓曲線段的零件圖，現(xiàn)在數(shù)控車床上加工此零件，需選擇合適的坐標(biāo)系，請(qǐng)計(jì)算斜橢圓曲線段在未旋轉(zhuǎn)傾斜時(shí)的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)及離心角.

2.如圖8-5-2所示的零件輪廓含有拋物線段AB，試根據(jù)圖示尺寸求出拋物線段AB在沒有旋轉(zhuǎn)的“正”狀態(tài)下時(shí)，原拋物線段AB的端點(diǎn)在Ox′z′坐標(biāo)系下的坐標(biāo).圖8-5-1復(fù)習(xí)自測(cè)題八圖8-5-33.在圖8-5-3所示的凸圓弧工件上加工與中心線成8°的斜孔，復(fù)習(xí)自測(cè)題八工件固定在旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上后，測(cè)得孔口點(diǎn)A與旋轉(zhuǎn)中心O的水平距離與垂直距離分別是110mm和107mm，求加工時(shí)主軸線上的鉆頭移動(dòng)的距離.(分別通過計(jì)算與AutoCAD求解)

4.采用拋物線形過渡臺(tái)肩的過渡連接點(diǎn)的鉛直位置高，水平位置長(zhǎng)b=25mm.(1)利用切線性質(zhì)求該拋物線的方程；(2)將該拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；(3)若在數(shù)控機(jī)床上加工，求拋物線過渡連接點(diǎn)在拋物線“正”狀態(tài)下的坐標(biāo).

實(shí)踐課題一圖8-5-4復(fù)習(xí)自測(cè)題八(1)認(rèn)識(shí)斜面法向孔.展示斜面法向孔零件實(shí)物.

(2)裝夾待加工零件.要求零件的直邊與機(jī)床主軸垂直.

(3)測(cè)量孔上端中心A與工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心O之間的水平距離L與垂直距離H.

(4)使工作臺(tái)及其工件旋轉(zhuǎn)法向孔傾斜角的度數(shù)θ=30°.

(5)計(jì)算主軸線上鉆頭移動(dòng)的距離.

(6)觀摩實(shí)習(xí)指導(dǎo)教師操作加工斜面法向孔.

實(shí)踐課題二圖8-5-5復(fù)習(xí)自測(cè)題八(1)裝夾要在大圓弧上加工斜孔的零件，使加工零件的直邊與機(jī)床主軸垂直.

(2)根據(jù)裝夾位置測(cè)量出大圓弧垂直位置中間點(diǎn)(或垂直孔中心)P與工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心O的垂直距離H、水平距離L.

(3)利用AutoCAD模擬畫出工作臺(tái)及旋轉(zhuǎn)中心位置，并根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)H、L作出加工零件在工作臺(tái)上的位置圖.

(4)依據(jù)加工斜孔中心線與軸線夾角θ的度數(shù)，用旋轉(zhuǎn)命令將工作臺(tái)及其工件繞工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心O順(或逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角.

(5)用標(biāo)注命令得到主軸線與加工點(diǎn)M的距離xM.

(6)主軸鉆頭移動(dòng)距離xM后，施行鉆孔操作.

(7)以上操作均在實(shí)習(xí)教師的指導(dǎo)下由學(xué)生實(shí)踐完成.復(fù)習(xí)自測(cè)題八ZT.TIF解：設(shè)所畫大圓弧的半徑為R.以AB弧的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，過O點(diǎn)的切線為x軸，AB弧所在圓的圓心C與O所在直線為y軸，建立如圖4-5-4所示的直角坐標(biāo)系，則圓C的方程是x2+(y-R)2，因?yàn)锳B弧在下半個(gè)圓周上，所以AB弧上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足R-，直接運(yùn)用此式計(jì)算AB弧上若干點(diǎn)的坐標(biāo)，還是有點(diǎn)麻煩，于是，將它做如下變形

三、在圓弧形建造結(jié)構(gòu)問題中的應(yīng)用

四、在圓形區(qū)域問題中的應(yīng)用

第六節(jié)圓與圓構(gòu)成基點(diǎn)與對(duì)應(yīng)圓方程的關(guān)系

第七節(jié)圓與圓構(gòu)成基點(diǎn)的求法舉例第八節(jié)基點(diǎn)計(jì)算過程的標(biāo)準(zhǔn)化

第九節(jié)基點(diǎn)的CAD作圖法計(jì)算簡(jiǎn)介

復(fù)習(xí)自測(cè)題四

第五章車橢圓孔與橢圓方程

第六章曲面攪拌輪制作與雙曲線方程

第七章太陽(yáng)灶制作與拋物線方程

第八章車斜橢圓與坐標(biāo)變換和二次方程

第九章凸輪與極坐標(biāo)和參數(shù)方程第九章凸輪與極坐標(biāo)和參數(shù)方程第一節(jié)極坐標(biāo)系

第二節(jié)極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的關(guān)系

第三節(jié)應(yīng)用極坐標(biāo)求曲線方程

第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程

第五節(jié)參數(shù)方程的意義

第六節(jié)常見曲線的參數(shù)方程

第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用

復(fù)習(xí)自測(cè)題九第九章凸輪與極坐標(biāo)和參數(shù)方程圖9-0-1第一節(jié)極坐標(biāo)系圖9-1-11.在極坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)，第一節(jié)極坐標(biāo)系并指出其中關(guān)于極點(diǎn)、極軸或π/2線對(duì)稱的兩點(diǎn)：

2.寫出圖9-1-2中各點(diǎn)的極坐標(biāo)，并找出關(guān)于極點(diǎn)、極軸對(duì)稱的點(diǎn).圖9-1-2第二節(jié)極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的關(guān)系圖9-2-1第二節(jié)極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的關(guān)系圖9-2-2(2)能證明S△OAB=1/2嗎？第二節(jié)極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的關(guān)系1.把下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：

(1)A；

2.把下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)：

(1)M(,)；

3.把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：

(1)x=2；

4.把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：

(1)ρsinθ=6；第三節(jié)應(yīng)用極坐標(biāo)求曲線方程解：以射線OM的起始位置OA方向?yàn)闃O軸，建立如圖9-3-1所示的極坐標(biāo)系.圖9-3-1第三節(jié)應(yīng)用極坐標(biāo)求曲線方程1.在一直徑為a的圓上取一定點(diǎn)O作直徑OA，再過A作切線LK，從O作任一直線交圓于D，其延長(zhǎng)線交LK于E.現(xiàn)在OE上取一點(diǎn)P，使OP=DE，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程，再把它化為直角坐標(biāo)方程.

2.已知中心在O點(diǎn)的凸輪的輪廓線是阿基米德螺線，如圖9-3-1所示，若OA=90mm，100mm，求它的極坐標(biāo)方程.第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程圖9-4-1一、直線的極坐標(biāo)方程第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程二、圓的極坐標(biāo)方程圖9-4-2第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程三、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程圖9-4-3第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程1.求符合下列條件的直線的極坐標(biāo)方程：

(1)過點(diǎn)A(-5,π)，且垂直于極軸的直線；

(2)過點(diǎn)B，且平行于極軸的直線.

2.求符合下列條件的圓的極坐標(biāo)方程：

(1)以點(diǎn)A(-5,0)為圓心，且過極點(diǎn)的圓；

(2)以極點(diǎn)O與點(diǎn)B連線段為直徑的圓.圖9-4-4第四節(jié)常見曲線的極坐標(biāo)方程3.過圓錐曲線定點(diǎn)F(焦點(diǎn))作垂直于定直線ｌ(準(zhǔn)線)的垂線，取垂足O為極點(diǎn)，射線OF為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖9-4-4所示.設(shè)定點(diǎn)F到定直線ｌ的距離為p，離心率為e，求該圓錐曲線的極坐標(biāo)方程，并把它化為直角坐標(biāo)方程.

4.我國(guó)神舟五號(hào)載人飛船運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓的近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))和遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))分別為200km和350km，取地球半徑為6378km.試求出神舟五號(hào)載人飛船的橢圓運(yùn)行軌道的極坐標(biāo)方程.第五節(jié)參數(shù)方程的意義圖9-5-1第六節(jié)常見曲線的參數(shù)方程一、直線的參數(shù)方程圖9-6-1第六節(jié)常見曲線的參數(shù)方程圖9-6-2二、圓的參數(shù)方程第六節(jié)常見曲線的參數(shù)方程三、圓錐曲線的參數(shù)方程圖9-6-3第六節(jié)常見曲線的參數(shù)方程(2)當(dāng)參數(shù)是角θ時(shí)，對(duì)含有θ的三角函數(shù)式參數(shù)方程，一般應(yīng)如何消去參數(shù)θ化為普通方程呢？

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為x=acosθ，y=asinθ.

1.對(duì)于方程：(1)當(dāng)t是參數(shù)時(shí)，它是什么曲線？并將它化為普通方程；θ是參數(shù)時(shí)，它又是什么曲線？并將它化為普通方程.

2.已知P是橢圓+=1(a＞b＞0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A(a,0)和B(0,b)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求四邊形PAOB面積的最大值.第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用一、在凸輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用圖9-7-1第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用(1)從動(dòng)桿接觸輪廓線ABC弧段時(shí)，從動(dòng)桿不動(dòng)；

(2)從動(dòng)桿接觸輪廓線CDE弧段時(shí)，從動(dòng)桿向右等速運(yùn)動(dòng).

解：由題意知，輪廓線ABC弧段和CDE弧段分別是圓弧和阿基米德螺線.

(1)輪廓線ABC弧段的方程是ρ=100，θ∈［0,π］；

(2)設(shè)CDE弧段所在的阿基米德螺線的方程為ρ=ρ0+aθ，θ∈［π,2π］，圖9-7-2第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用二、在車床夾具上的應(yīng)用

(1)在極軸上取一點(diǎn)A，使OA=2πa；

(2)對(duì)OA進(jìn)行n(現(xiàn)取n=12)等分，得等分點(diǎn)A1，A2，…，A11；

(3)以極點(diǎn)O為圓心，2πa長(zhǎng)為半徑作圓，并對(duì)此圓周進(jìn)行相同的n等分；得等分點(diǎn)B1，B2，…，B11；連接OB1，OB2，…，OB11；

(4)以極點(diǎn)O為圓心、分別以O(shè)A1，OA2，…，OA11長(zhǎng)為半徑作圓，對(duì)應(yīng)交OB1，OB2，…，OB11于P1，P2，…，P11；

(5)用光滑曲線順次連接O，P1，P2，…，P11，A，就得ρ=aθ在［0，2π］上的圖像，如圖9-7-3所示.第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-3(2)如何繼續(xù)作ρ=aθ在［2π，4π］上的圖像呢？第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用(3)如何作ρ=ρ0+aθ的圖像？

(4)若在數(shù)控機(jī)床上加工阿基米德螺線輪廓，能用這樣的方法得到節(jié)點(diǎn)Pi，再用圓弧段擬合嗎？

三、在橢圓機(jī)上的應(yīng)用圖9-7-4第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-5第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-6第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-7四、在一類零件加工編程中的應(yīng)用第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：根據(jù)圓的極坐標(biāo)方程

五、在機(jī)器人機(jī)械臂中的應(yīng)用圖9-7-8第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：設(shè)立桿OA的中心點(diǎn)O為極點(diǎn)，射線AB的起始位置方向?yàn)闃O軸，OA向上的空間方向?yàn)閦軸，建立如圖9-7-8所示的坐標(biāo)系.

(2)從中可以看出此類機(jī)械臂的立桿旋轉(zhuǎn)、俯仰桿俯仰和伸縮桿伸縮的三個(gè)速度是相互聯(lián)系的，它們又與哪些量相關(guān)？

(3)由類比想到的：能否用與題中所涉及的動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離，以及兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的三個(gè)量來建立一種新的坐標(biāo)系，并描述這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的動(dòng)點(diǎn)軌跡呢？

六、在擺線及其零件中的應(yīng)用

解：以滾動(dòng)圓上一P點(diǎn)與直線接觸點(diǎn)為原點(diǎn)，這條直線為ｘ軸，建立直角坐標(biāo)系，如所示，設(shè)P(x,y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，車輪轉(zhuǎn)過的角度為θ，則OA==rθ，第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-9(2)在上例中，若點(diǎn)Q是半徑CP上的一定點(diǎn)，當(dāng)圓C在直線上滾動(dòng)時(shí)，第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用點(diǎn)Q的軌跡稱為變幅平擺線.若取CQ=1/2r或CQ=3/2r(在半徑CP的延長(zhǎng)線上)，則點(diǎn)Q軌跡的參數(shù)方程又會(huì)如何呢？圖9-7-10第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：建立圖示的直角坐標(biāo)系，P從A點(diǎn)出發(fā)，小圓轉(zhuǎn)過了角度φ，小圓的圓心C相對(duì)O轉(zhuǎn)過了角度θ，則P相對(duì)于C的坐標(biāo)是(rcosφ,-rsinφ)；C相對(duì)于O的坐標(biāo)是［(R-r)cosθ,(R-r)sinθ］，所以P相對(duì)于O的坐標(biāo)是［(R-r)cosθ+rcosφ,(R-r)sinθ-rsinφ］；

七、在漸開線及其零件中的應(yīng)用圖9-7-11第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：以圓盤的圓心O為原點(diǎn)、O點(diǎn)與鋼絲未撒開時(shí)的端點(diǎn)A所在直線為ｘ軸建立直角坐標(biāo)系，如圖9-7-11所示.圖9-7-12第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：因所求漸開線的基圓半徑r=30mm，故漸開線在直角坐標(biāo)系下的方程為(θ為參數(shù))；在極坐標(biāo)系下的方程為(t為參數(shù)).

八、在圓柱螺旋線中的應(yīng)用

解：在如圖9-7-13所示的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)過時(shí)間t后點(diǎn)M到達(dá)P(x,y,z)，則，所以點(diǎn)M的軌跡方程是.圖9-7-13第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用九、在橢圓機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用圖9-7-15解：以O(shè)為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，為了便于把C點(diǎn)等效地移到B點(diǎn)，設(shè)OA=ａ、CD=ｂ，初始位置時(shí)∠AOx=∠DCA=θ，D繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)速與A點(diǎn)繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)速相等，第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用如圖9-7-15c所示，則圖9-7-16第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用十、在曲柄搖桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用圖9-7-18第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用十一、在旋流器蝸殼上的應(yīng)用圖9-7-19第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用解：建立如圖9-7-19所示的極坐標(biāo)系，設(shè)阿基米德螺線方程為ρ=ρ0+aθ.

解之得ρ0=R，a=A/2π，則該阿基米德螺線的方程為ρ=R+A/2πθ.

1.如圖9-7-20所示,已知一中心為O的凸輪，OA=３0mm.凸輪以順時(shí)針方向等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)從點(diǎn)A轉(zhuǎn)過1/4圈，即從動(dòng)桿接觸ABC弧段時(shí)，從動(dòng)桿不動(dòng)；當(dāng)繼續(xù)轉(zhuǎn)過3/8圈，即從動(dòng)桿接觸CDE弧段時(shí)，從動(dòng)桿向左等速運(yùn)動(dòng)20mｍ；當(dāng)又繼續(xù)轉(zhuǎn)過3/8圈，即從動(dòng)桿接觸EFA弧段時(shí)，從動(dòng)桿向右等速運(yùn)動(dòng)20mm；這樣，凸輪完成一圈的轉(zhuǎn)動(dòng).試在圖示坐標(biāo)系下，求輪廓線ABC弧段、CDE弧段和EFA弧段的極坐標(biāo)方程.第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圖9-7-202.有一半徑為ｒ的圓C，沿平面上一條直線邊滾動(dòng)，第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用圓內(nèi)有一定點(diǎn)P，OP=0.25r.求定點(diǎn)P的軌跡方程.

3.已知某漸開線齒廓齒輪的基圓直徑是80mm，壓力角是25°，試寫出此漸開線的方程并求出齒輪分度圓半徑的值.

4.在數(shù)控機(jī)床上加工如圖9-7-21所示的正五邊形ABCDE的輪廓線.試建立合適的極坐標(biāo)系，并求出其基點(diǎn)的坐標(biāo).

5.某型號(hào)橢圓機(jī)的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)采用偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu).如所示，=r，=e，+=a+b=c，∠OAB=α，建立圖示的坐標(biāo)系.求證：點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程是(參數(shù)α＜90°).第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用6.有一種機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)形式是通過一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和兩個(gè)直線移動(dòng)組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的.如圖9-7-23所示，立桿OA以ω的等角速度在1/4的圓周內(nèi)來回轉(zhuǎn)動(dòng)；同時(shí)，橫桿在立柱AB=ｈ段上以勻速v1做升降運(yùn)動(dòng)；又伸縮桿CP在橫桿AC水平位置上以勻速v2做伸縮距離同為ｓ的直線運(yùn)動(dòng).三種運(yùn)動(dòng)周期相同.試建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，并求出伸縮桿端點(diǎn)P的軌跡方程.圖9-7-21第七節(jié)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用7.參考“在橢圓機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用”內(nèi)容，推導(dǎo)刀尖E的參數(shù)方程表達(dá)式復(fù)習(xí)自測(cè)題九1.有一零件如圖9-8-1所示，直徑為8mm的四個(gè)圓孔均勻分布在半徑為50mm的圓周上，建立如圖所