專題22圖形的相似（共55題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【有答案】【全國通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】（第01期）專題22圖形的相似（共55題）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、單選題1．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則的長為（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，

∴，

∵，

∴，∴故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，中，A、B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后表示出、的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則、間的橫坐標(biāo)的差為，、間的橫坐標(biāo)的差為，放大到原來的倍得到，，解得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的距離等于對應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵.3．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高，樹影，樹AB與路燈O的水平距離，則樹的高度AB長是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例，列出等式后求解即可．【詳解】解：由題可知，，∴,∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意，建立相似關(guān)系，得到對應(yīng)邊成比例，完成求解即可，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對相似的理解與應(yīng)用等．4．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【答案】B【分析】由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=3，∴S△ABC=12，∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶中考真題）如圖，△ABC與△BEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，其中OE=2OB，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【分析】利用位似的性質(zhì)得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC與△DEF的周長比是：1：2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)C、D，連接、、、，其中，下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【答案】B【分析】設(shè)P（m，），分別求出A，B，C，D的坐標(biāo)，得到PD，PC，PB，PA的長，判斷和的關(guān)系，可判斷①；利用三角形面積公式計(jì)算，可得△PDC的面積，可判斷③；再利用計(jì)算△OCD的面積，可判斷②．【詳解】解：∵PB⊥y軸，PA⊥x軸，點(diǎn)P在上，點(diǎn)C，D在上，設(shè)P（m，），則C（m，），A（m，0），B（0，），令，則，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正確；△PDC的面積===，故③正確；=====，故②錯誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，得到相應(yīng)線段的長度．7．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，與是等高三角形，設(shè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連結(jié)CE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．【詳解】∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∴，∴在和中，，∴，∴，∵為等腰三角形，∴，，∴，∴，即．∵，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【分析】直接利用對應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比的概念，同時涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長度的確定等知識；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用等能力．10．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在紙片中，，點(diǎn)分別在上，連結(jié)，將沿翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F落在的延長線上，若平分，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根據(jù)角平分線的定義證得∠BFD=∠DFE=∠DAE，進(jìn)而證得∠BDF=90°，證明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的長．【詳解】解：∵，∴=5，由折疊性質(zhì)得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，則BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．11．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動點(diǎn)，且，過點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，；③；④當(dāng)時，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④【答案】B【分析】過A作AI⊥BC垂足為I，然后計(jì)算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如圖將△BCD繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當(dāng)AE=CD時，根據(jù)題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．【詳解】解：如圖1,過A作AI⊥BC垂足為I∵是邊長為1的等邊三角形∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=∴AI=∴S△ABC=,故①正確；如圖2，當(dāng)D與C重合時∵∠DBE=30°，是等邊三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=∵GE//BD∴∴BG=∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=,故②正確；如圖3，將△BCD繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS）∴NE=DE延長EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP為等邊三角形∴∠P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；如圖1，當(dāng)AE=CD時，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四邊形BHFG是平行四邊形∵BG=BH∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．12．（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在以為直徑的中，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，，弦于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A．18° B．21° C．22.5° D．30°【答案】C【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是，可知，根據(jù)，可知、的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，為等腰三角形，再根據(jù)可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形，直角三角形斜邊上中線等知識點(diǎn)，找出圖形中幾個相似三角形是解題關(guān)鍵．13．（2021·山東聊城市·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點(diǎn)P，Q同時由A點(diǎn)出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點(diǎn)B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點(diǎn)P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次分析當(dāng)、、三種情況下的三角形面積表達(dá)式，再根據(jù)其對應(yīng)圖像進(jìn)行判斷即可確定正確選項(xiàng)．【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)D、點(diǎn)C向AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，∵已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，∴DE=CF=4，∵點(diǎn)P，Q同時由A點(diǎn)出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點(diǎn)B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，∴PQ∥DE∥CF，∵AD=5，∴,∴當(dāng)時，P點(diǎn)在AE之間，此時，AP=t，∵,∴，∴，因此，當(dāng)時，其對應(yīng)的圖像為，故排除C和D；∵CD＝3，∴EF=CD=3，∴當(dāng)時，P點(diǎn)位于EF上，此時，Q點(diǎn)位于DC上，其位置如圖中的P1Q1，則，因此當(dāng)時，對應(yīng)圖像為，即為一條線段；∵∠ABC＝45°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10，∴當(dāng)時，P點(diǎn)位于FB上，其位置如圖中的P2Q2，此時，P2B=10-t，同理可得，Q2P2=P2B=10-t，，因此當(dāng)時，對應(yīng)圖像為，其為開口向下的拋物線的的一段圖像；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的推論、勾股定理、平行線的性質(zhì)、三角形的面積公式、二次函數(shù)的圖像等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能分情況討論等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等．14．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，是以為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，由題意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切線長定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行求解陰影部分的面積即可．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵是以為直徑的半圓的切線，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可證△OCE≌△OFE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，，M是AD邊上的一點(diǎn)，．將沿BM對折至，連接DN，則DN的長是（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】延長MN與CD交于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)N作，根據(jù)折疊的正方形的性質(zhì)得到，在中應(yīng)用勾股定理求出DE的長度，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出NF和DF的長度，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長MN與CD交于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)N作，∵，M是AD邊上的一點(diǎn)，，∴，，∵將沿BM對折至，四邊形ABCD是正方形，∴，，∴(HL)，∴，∴，在中，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，解得，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，做出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，⊙O的直徑AB=8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD=10，則BF的長是A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長CO交DA的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC=8，再證明△HAO≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=BC=8，即可求得HD=10；在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得；證明△DHF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可求得．【詳解】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長CO交DA的延長線于點(diǎn)H，∵AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD為矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD=DE+CE=AD+BC=10，∴AD+BG+GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴，∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，∴，解得，．故選A．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線長定理、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．17．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，已知，，，點(diǎn)E為射線上一個動點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，過點(diǎn)作的垂線，分別交，于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時，的長為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，沒有指明線段的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①；②．然后由一線三垂直模型可證∽，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的值，最后由即可求得的長．【詳解】當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時，需要分兩種情況討論：

①如圖1，當(dāng)時，

∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如圖2，當(dāng)時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．綜上所述，的長為或．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由為線段的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論線段的占比情況，以及利用型相似進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．18．（2021·四川資陽市·中考真題）如圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形．連結(jié)并延長交于點(diǎn)M．若，則有長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】添加輔助線，過F點(diǎn)作∥，通過證明兩組三角形相似，得到和的兩個關(guān)系式，從而求解．【詳解】如圖所示，過F點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)I，證明勾股定理的弦圖的示意圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，，，，又，即解得或（舍去），F(xiàn)I∥HM，，，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和勾股定理．本題的關(guān)鍵在于添加輔助線，建立所求線段與已知條件之間的聯(lián)系．19．（2021·河北中考真題）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時液面（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩個高腳杯液體的高度，再通過三角形相似，建立其對應(yīng)邊的比與對應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．【詳解】解：由題可知，第一個高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），第二個高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），因?yàn)橐好娑际撬降?，圖1和圖2中的高腳杯是同一個高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個三角形相似，∴，∴（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，與圖形建立關(guān)聯(lián)，能靈活運(yùn)用相似三角形的判定得到相似三角形，并能運(yùn)用其性質(zhì)得到相應(yīng)線段之間的關(guān)系等，本題對學(xué)生的觀察分析的能力有一定的要求．20．（2021·四川宜賓市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】構(gòu)造如圖所示的正方形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形FNP即可．【詳解】如圖，延長CE，F(xiàn)G交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，延長交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四邊形CMPD是矩形，根據(jù)折疊，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴，四邊形為正方形，∴，∴，，，，設(shè),則，在中，由可得解得；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形，勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大．作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，為與正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意易得CE∥AB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊中線定理及全等三角形的判定可排除選項(xiàng)．【詳解】解：∵每個小正方形的邊長都為1，∴，∴，，故C錯誤；∴△BCD是直角三角形，∴，∵，∴，故B錯誤；∴，故D正確；∵為與正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)，∴CE∥AB，∴，∴，∴，∴，故A錯誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵．22．（2021·山東威海市·中考真題）如圖，在和中，，，．連接CD，連接BE并延長交AC，AD于點(diǎn)F，G．若BE恰好平分，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)即可證明，再利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可一一判斷【詳解】，故選項(xiàng)A正確；平分，故選項(xiàng)B正確；即，故選項(xiàng)C錯誤；，故選項(xiàng)D正確；故答案選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，能利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題23．（2021·江蘇無錫市·中考真題）下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長相等的兩個菱形都相似④對角線相等的兩個矩形都相似【答案】①【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對①進(jìn)行判斷；利用菱形的定義對②進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對③進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似所以③錯誤；對角線相等的兩個矩形，對應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤；故答案是：①．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握圖形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．24．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長．【詳解】∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．25．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，將沿CF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接DG并延長交AB于點(diǎn)E．若，則GE的長為________．【答案】【分析】因?yàn)檎郫B，則有，從而可知，利用線段比求出DG的長，即可求出EG．【詳解】如圖,四邊形ABCD是正方形因?yàn)檎郫B，，設(shè)垂足為H，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，找到是解題的關(guān)鍵．26．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，，則的值為________．【答案】．【分析】證明△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，證明△ABD∽△CBA是解決問題的關(guān)鍵．27．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．

【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號即可）．【答案】①②③⑤【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問題可判定；對于②：把△AED繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問題可求解；對于④：過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問題可求解；對于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長不可能為定值，故④錯誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．29．（2021·江蘇南京市·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E，若，則的長為________．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，證明求得，根據(jù)AAS證明可求出CM=1，再由CM//證明△，由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．30．（2021·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為__________________．

【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)特征確定位似中心．【詳解】解：連接DB，OA并延長，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為位似中心∴M點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．31．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，，于點(diǎn)，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值為________．【答案】【分析】設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABH＝α，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當(dāng)BA最小時sinα有最大值；即BH最小時，sinα有最大值，即BG最大時，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當(dāng)n時，BG最大值故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關(guān)鍵．32．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，，矩形的頂點(diǎn)D、E在上，點(diǎn)F、G分別在、上，若，，且，則的長為________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得，證明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．【詳解】解：∵DE=2EF，設(shè)EF=x，則DE=2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，∴，∴AD+BE=AB-DE==，∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==，在△BEF中，，即，解得：x=或（舍），∴EF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB的長．33．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，連接，若，，則________．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是通過平行得到比例式．34．（2021·云南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，若，則的長是______．【答案】9【分析】根據(jù)中位線定理得到DE=AB，DE∥AB，從而證明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為BC和AC中點(diǎn)，∴DE=AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線的性質(zhì)證明△DEF∽△ABF．35．（2021·四川資陽市·中考真題）如圖，在菱形中，，交的延長線于點(diǎn)E．連結(jié)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．于點(diǎn)H，連結(jié)．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號為__________．

【答案】①②③④【分析】利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明①，利用AA定理證明△FCE∽△FGC，從而證明②，由含30°直角三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理分析求解，從而證明③和④．【詳解】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB又∵DF=DF∴△ADF≌△CDF，∴，故①正確；∵AD∥BC∴∠DAF=∠FEC又①中已證△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，AF=CF∴∠DCF=∠FEC又∵∠CFG=∠CFG∴△FCE∽△FGC，∴，即，故②正確；∵在菱形中，，∴∠DBC=∠BDC=30°又∵∴在Rt△DCF中，∠CDE=30°∴∴在菱形ABCD中，又∵AD∥BC，∴由①已證AF=FC∴由②已證，設(shè)FC=2k，EF=3k∴FG=，EG=∴，故③正確；由③已知設(shè)DF=2a，BF=3a∴BD=5a∴在Rt△BDE中，在Rt△CDE中，在Rt△DFH中，，∴∴在Rt△FCH中，又由②③已證，，設(shè)FG=4m，EG=5m，則EF=9m∴，解得（負(fù)值舍去）∴∴，故④正確故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及解直角三角形，題目有一定難度，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．36．（2021·重慶中考真題）如圖，中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若，，則AD的長為__________．【答案】3【分析】利用翻折的性質(zhì)可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長度，即可求出AD的長度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則，你認(rèn)為其中正確是_____（填寫序號）【答案】①②③④【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據(jù)等式的基本性質(zhì)確定出；②再根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍，得到兩邊對應(yīng)成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判斷；④根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，根據(jù)BE＝BG，代換即可作出判斷；③由相似三角形對應(yīng)角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對角線上，根據(jù)正方形對角線垂直即可作出判斷．⑤設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結(jié)合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，∴，∴選項(xiàng)①正確；②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，∴BD＝AB，BE=BF，∴又∵，∴，∴選項(xiàng)②正確；④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴，即BE2＝BH?BD，又∵BE＝BG，∴，∴選項(xiàng)④確；③由②知：，又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一條對角線上，∴AF⊥BD，∴③正確，⑤∵，∴設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，∴BE=，∵BE2＝BH?BD，∴，∴DH=BD-BH=,∴，故⑤錯誤，綜上所述：①②③④正確，故答案是：①②③④．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．38．（2021·湖北荊州市·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，于，連接，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)的切線交的延長線于．若，，則_____________．【答案】【分析】證明求得AC，利用勾股定理求得CB的長，再利用求得BE．【詳解】解：如圖所示，連接BC∵是的直徑，于∴又∴∴∴又∵∴∴∴∴又∵∴∴或（舍去）又為切線∴又∵∴∴即∴【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．直徑所對的圓周角是直角，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．相似三角形的對應(yīng)線段成比例．39．（2021·浙江衢州市·中考真題）將一副三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，AB在x軸正半軸上，且，點(diǎn)E在AD上，，將這副三角板整體向右平移_______個單位，C，E兩點(diǎn)同時落在反比例函數(shù)的圖象上．【答案】【分析】分別求出，，假設(shè)向右平移了m個單位，將平移后的店代入中，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】過E作EN⊥DB,過C作CM⊥BD，∴，由三角板及，可知，BD=12，CM=BM=DB=6，∴，∵，，∴EN//OB，∵∴，∴．設(shè)將這副三角板整體向右平移m個單位，C，E兩點(diǎn)同時落在反比例函數(shù)的圖象上．∵，，∴平移后，，∴，∴，解得．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角形以及平移規(guī)律，平行線分線段成比例，反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握平移規(guī)律，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2021·四川瀘州市·）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則AGF的面積是________．【答案】．【分析】延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，先證明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再證△ABG∽△MFG，則利用相似比可計(jì)算出GN，再利用兩三角形面積差計(jì)算S△DEG即可．【詳解】解：延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，如圖，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（ASA），∴AB=MC=4，∵CF=3DF，CF+DF=4，∴DF=1，CF=3，F(xiàn)M=FC+CM=3+4=7，∵AB∥MF，∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，∴△ABG∽△MFG，∴，∵，∴，S△AFG=S△AFB-S△AGB=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，熟練運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長是解題關(guān)鍵．41．（2021·山西中考真題）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，連接并取的中點(diǎn)，連接，若，且，則的長為__________．【答案】．【分析】延長BE交AC于點(diǎn)F，過D點(diǎn)作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點(diǎn)且，則，在等腰中，根據(jù)勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【詳解】如下圖，延長BE交AC于點(diǎn)F，過D點(diǎn)作，

∵，，∴，，為等腰．由題意可得E為CD的中點(diǎn)，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求對應(yīng)邊的長度，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．42．（2021·黑龍江大慶市·中考真題）已知，則________【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．三、解答題43．（2021·廣東中考真題）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到交于點(diǎn)G，求的長．【答案】【分析】根據(jù)題意，延長交于H連，通過證明、得到，再由得到，進(jìn)而即可求得的長．【詳解】解：延長交于H連，∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點(diǎn)，正方形邊長為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識是解決本題的關(guān)鍵．44．（2021·浙江寧波市·中考真題）（證明體驗(yàn)）（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．

（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G．若，，，求的長．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明，得，進(jìn)而即可求解；（3）在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)，可得，從而得，可得，，最后證明，即可求解．【詳解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)．

∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．45．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）探究四邊形的形狀，并說明理由；（2）連接，分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)．若，，求的長．【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）16【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對邊分別平行是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)，找到邊與邊的等量關(guān)系，再利用三角形相似，建立等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）四邊形為平行四邊形．理由如下：∵四邊形為平行四邊形∴∵∴∵四邊形為平行四邊形∴∴∴∵∴四邊形為平行四邊形（2）設(shè)，∵∴，∵四邊形為平行四邊形∴，，∵，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，能進(jìn)行相關(guān)的證明．46．（2021·北京中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大??；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．47．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AD上，點(diǎn)F是線段AB上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DF交AC于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，，．（1）求．（2）設(shè)，，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．（3）當(dāng)時，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由．【答案】（1）；（2）y=(0；（3）EG⊥AC，理由見解析【分析】（1）過E作EM⊥AC于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，利用等腰三角形的性質(zhì)得出EM=AM=，再利用正切的定義即可得出答案；（2）過G作GN⊥AB于N，先證得四邊形HANG為正方形，再證明△GNF△DAF，根據(jù)比利式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)∠ADF=∠ACE和tan∠ACE=得出AF=，根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式得出HG=，從而得出△EHG為等腰直角三角形，繼而得出EG⊥AC【詳解】（1）過E作EM⊥AC于M在正方形ABCD中∠DAC=45°，AD=AB=BC=1∵DE=，∴AE=，AC=∴EM=AM=AE=×=∴CM=AC-AM=-=在Rt△CEM中，tan∠ACE==(2)過G作GN⊥AB于N∵HG⊥AD，∠DAB=90°∴四邊形HANG為矩形，GN∥AD∵∠HAG=45°∴AH=HG∴四邊形HANG為正方形∴HG=GN=AN=y∵GN∥AD∴△GNF△DAF∴=∵AF=x，∴NF=x-y∴=∴y=(0(3)∵∠ADF=∠ACEtan∠ACE=∴tan∠ADF==∵AD=1∴AF=即x=當(dāng)x=時，y=HG=在Rt△AHG中，∠HAG=45°∴AH=HG=，∠HGA=45°∵HE=AE-AH=∴△EHG為等腰直角三角形∴∠EGH=45°∴∠AGE=90°∴EG⊥AC【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形等知識，適當(dāng)添加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．48．（2021·四川資陽市·中考真題）已知，在中，．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在邊上，，連結(jié)．試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在下方，，連結(jié)．若，，，交于點(diǎn)F，求的長；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在下方，連結(jié)、、．若，，，，求的值．【答案】（1），理由見詳解；（2）；（3）【分析】（1）由題意易得，則易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由題意易得，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，則，易得，則有，所以，最后問題可求解；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，由題意易得，，則有，然后可得，設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解x的值，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1），理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴△BAC是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，解得：，∴AF=5；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，如圖所示：∵，，∴△BAC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，∴四邊形GMPN是矩形，∴，設(shè)，∴，在Rt△ANG中，，∵，∴，化簡得：，解得：，∵，∴當(dāng)時，易知與相矛盾，∴，∴，∴，∴，∴在Rt△DTC中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．49．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長線和的延長線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．50．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）求證：；（2）若的直徑為9，．①求線段的長；②求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）連接，由是的切線，可得，可證，可得．由，可得即可；（2）①連接，由的直徑為9，，可求．可證，由，．②由（1）可知，可證∽，由性質(zhì)可得，解方程得．【詳解】（1）證明：連接，∵是的切線，∴，又∵，∴，∴．又∵在中，，∴，∴，∴；（2）①連接，∵的直徑為9，∴，在中，∵，∴．又∵，且，∴，在中，∵，∴．②由（1）可知，∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，∴∽，∴，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，直徑所對圓周角性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，利用相似的性質(zhì)構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．51．（2021·湖北黃岡市·中考真題）如圖，在和中，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）9．【分析】（1）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1），，即，在和中，，；（2）由（1）已證：，，，，，解得或（不符題意，舍去），則的長為9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．52．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，延長、相交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OE，由題意可證OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，則可證CD是⊙O的切線；（2）連接BE，證明△ADE∽△AEB，得到，根據(jù)tan∠EAD=，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再證明△COE∽△CAD，得到，設(shè)BC=x，解方程即可求出BC．【詳解】解：（1）連接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE=∠DAE，∴∠OEA=∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切線；

（2）連接BE，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，又tan∠EAD=，∴，則AE=2BE，又AB=10，在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，則AE=，∴，解得：AD=8，DE=4，∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，設(shè)BC=