角的平分線（分層作業(yè)）（基礎(chǔ)練+提升練）（解析版）

PAGE119.5角的平分線（基礎(chǔ)練+提升練）一、單選題1．（2022上·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，是的平分線，是邊上的高，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷，，進(jìn)而可得出答案．【詳解】是邊上的高，，∵，，，是的平分線，，故A結(jié)論正確；，∴Rt，，垂直平分，，∵，，，，，，故C結(jié)論正確；，故B結(jié)論正確；D結(jié)論不一定正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)判定和性質(zhì)并靈活運(yùn)用．2．（2022上·上海·八年級上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校俚浇堑膬蛇吘嚯x相等的點(diǎn)在這個角的平分線上；②有兩條邊和第三條邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③有兩條邊和第三條邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判斷定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上，故該項(xiàng)錯誤；②有兩條邊和第三條邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故該說法正確；③有兩條邊和第三條邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，故該項(xiàng)錯誤；④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等，故該項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定定理，正確理解判定定理是解題關(guān)鍵．3．（2022上·上海長寧·八年級上海市西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交的兩邊于、兩點(diǎn)，連接；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，連接、；③連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C． D．．【答案】D【分析】利用基本作圖可知，為的平分線，又，可得出，從而可得出；由，得出垂直平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出；根據(jù)已知條件不能判斷．【詳解】解：由作圖步驟可得：是的角平分線，則，又∴，∴，，故A正確；∵，∴垂直平分，則，，故B，C選項(xiàng)正確，沒有條件能得出，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖-作已知角的角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖的步驟是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·上海楊浦·八年級校考期中）如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】先利用角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，∴，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2020上·上海松江·八年級校考階段練習(xí)）下列命題正確的是（）A．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上；B．線段的垂直平分線上的點(diǎn)與該線段的兩端點(diǎn)均能構(gòu)成等腰三角形；C．三角形一邊的兩端到這邊中線所在的直線的距離相等；D．兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．【答案】C【分析】A、B、D均可舉反例說明錯誤，C選項(xiàng)可構(gòu)成圖形證明．【詳解】解：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線所在直線上，很明顯A的敘述有漏解的情況（這個點(diǎn)可能在這個角的鄰補(bǔ)角的角平分線上），故A錯誤；線段的垂直平分線上的點(diǎn)與該線段的兩端點(diǎn)均能構(gòu)成等腰三角形，如果這個點(diǎn)在線段上不能構(gòu)成三角形，故B錯誤；如下圖，當(dāng)△ABC是以BC為底的等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一即可得出三角形一邊的兩端到這邊中線所在的直線的距離相等；當(dāng)△ABC是一般三角形，如下圖通過AD為中線可得BD=CD，BE、CF分別為B、C到線段AE的距離，可得∠CFD=∠BED，根據(jù)對頂角的定義可得∠ADC=∠BDE，所以可得△BDE≌△CDF，由此可得BE=CF，即三角形一邊的兩端到這邊中線所在的直線的距離相等，選項(xiàng)C正確；有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等，這兩邊的夾角有可能一個是銳角一個是鈍角，所以這兩個三角形不一定全等，故D錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的定義．說明一個命題正確要證明它，說明一個命題錯誤只需要舉一個反例即可．6．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（

）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，即可求解．【詳解】解：由點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，則點(diǎn)是的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．7．（2021上·上海金山·八年級統(tǒng)考期末）下列命題中，是假命題的是（

）A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；B．每個命題都有逆命題；C．每個定理都有逆定理；D．在一個角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定，命題與定理及角平分線的判定等知識一一判斷即可．【詳解】解：A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形，符合兩三角形的判定定理“SAS”；故本選項(xiàng)是正確；B、每個命題都有逆命題，所以B選項(xiàng)正確；C、每個定理不一定有逆定理，所以C選項(xiàng)錯誤；D、在一個角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上，正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，命題與定理以及角平分線的判定方法，熟練利用這些判定定理是解題關(guān)鍵．二、填空題8．（2021上·上海虹口·八年級統(tǒng)考期末）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的角平分線，故答案為：角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上．9．（2023上·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期末）在中，，的平分線交于點(diǎn)，，，那么到的距離是．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∵平分，，∴，∵，，∴；即：到的距離是3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．10．（2022上·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）在中，和的平分線交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，如果，的面積是6，則周長是．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，．根據(jù)的面積，利用即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．平分，，，．平分，，，．，，即，∴，即的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等以及面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．11．（2022上·上海·八年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點(diǎn)，則度．【答案】【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作三邊的垂線段，三角形的兩個外角和的平分線交于點(diǎn)E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．12．（2021上·上?！ぐ四昙壭？计谀┪覀兌x：一個三角形最小內(nèi)角的角平分線將這個三角形分割得到的兩個三角形它們的面積之比稱為“最小角割比Ω”（），那么三邊長分別為7，24，25的三角形的最小角割比Ω是．【答案】．【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的面積和最小角割比Ω的定義計算即可．【詳解】解：如圖示，，，，則，根據(jù)題意，作的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)，作交于點(diǎn)，過點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則∵，，則（）故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)和三角形的面積計算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022上·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點(diǎn)E．則．【答案】26°/26度【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作三邊的垂線段，三角形的兩個外角和的平分線交于點(diǎn)E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．14．（2020上·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，AD是ABC的角平分線，若ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點(diǎn)D到AB的距離是．【答案】4【分析】過點(diǎn)作于，于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式得到，然后求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，于，如圖，是的角平分線，，，，即，，即點(diǎn)到的距離為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，也考查了三角形面積．三、解答題15．（2021上·上海長寧·八年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的長．【答案】DC的長是5【分析】在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝30°易求∠ABC＝60°，再利用角平分線性質(zhì)可求∠ABD＝∠DBC＝30°，從而可得∠ABD＝∠A，進(jìn)而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所對的邊等于斜邊的一半可求CD．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD＝10，又∵∠DBC＝30°，∠C＝90°，∴DC＝BD＝5．即DC的長是5．【點(diǎn)睛】本題考查了含有30°角的直角三角形、角平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是得出BD＝AD＝10．16．（2022上·上海靜安·八年級校考期中）如圖，已知平分，垂直平分，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn).求證：

(1)；(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)可得，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，通過證即可求證；（2）證即可．【詳解】（1）證明：∵平分，，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴；（2）證明：∵平分，，∴，，∵，∴∴，∵，由（1）得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)．通過證全等將線段進(jìn)行等量代換是解題關(guān)鍵．17．（2022上·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺規(guī)在AB邊上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等；（不要求寫出作法和證明，但要求保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）(2)如果△ACP的面積為15，那么△BCP的面積是多少．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）作∠ACB的角平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（2）如圖：過點(diǎn)P作PE⊥CA延長線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，然后證得，最后代入計算即可．【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)P即為所求；（2）解：如圖：過點(diǎn)P作PE⊥CA延長線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F∵CP平分∠ACB，∴PE=PF，∴∵=15∴∴=25．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)．18．（2022上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)H．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)時，設(shè)，試用含有x的式子表示的長．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②．【分析】（1）根據(jù)，，得，從而；（2）①由角平分線的性質(zhì)知，由（1）知，則，再利用證明，得，即可證明；②由等腰三角形的性質(zhì)可得，可證，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：①，理由如下：∵平分，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，得到是解題的關(guān)鍵．19．（2021上·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）作圖：已知和線段r，請在內(nèi)部作點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AC和BC的距離相等，并且點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離等于定長r．（不寫作法，保留痕跡）【答案】圖見解析．【分析】根據(jù)題意點(diǎn)P到AC和BC的距離相等，可知點(diǎn)P在的角平分線上，點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離等于定長r，可知點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，以定長r為半徑的圓上，由此作圖即可．【詳解】如圖，先作的角平分線，再以點(diǎn)A為圓心，以定長r為半徑作圓弧，圓弧與角平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的畫法，屬于基礎(chǔ)題，需要有一定的畫圖能力，熟練掌握角平分線的畫法是解題的關(guān)鍵．20．（2021上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點(diǎn)，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點(diǎn)為F，求證：BF＝2AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，可證；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得．【詳解】（1）解：證明：為中點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，，；（2）解：延長，交于點(diǎn)，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．21．（2020上·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．【答案】（1）見解析；（2）DE=BE+DC.【分析】（1）過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先證明∠BAG=∠CAF，然后證明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過A作∠CAH=∠BAE，證明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再證明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系.【詳解】證明:（1）如圖1，過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，（2）BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系是DE=BE+DC，理由如下：如圖2，過A作∠CAH=∠BAE交DC的延長線于H，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中，∴△EAD≌△HAD（ASA），∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中，∴△EAB≌△HAC（SAS），∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的判定定理，線段和差的證明，掌握截長法和補(bǔ)短法是解答此題的突破口．22．（2022上·上海·八年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是一條角平分線．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的角平分線，且，，_________________，（_________________________________________）______________，，(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長線交于點(diǎn)．求證：(3)【拓展應(yīng)用】如圖3所示，在中，，、分別是、的角平分線且相交于點(diǎn)，若，直接寫出的值是__________．【答案】(1)，角平分線的性質(zhì)；(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式以及角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)D作于N，過點(diǎn)D作于M．過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．利用角平分線的性質(zhì)及等面積法證明即可；（3）在上取點(diǎn)G，使得，連接，先利用全等