高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題復(fù)習(xí)熱點(diǎn)六 解析幾何 理科試題

熱點(diǎn)六解析幾何【考點(diǎn)精要】考點(diǎn)一.直線的傾斜角、斜率與方程.會(huì)用直接法、待定系數(shù)法、軌跡法等求直線方程.如：已知直線過（1，2）點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等，則此直線的方程為.考點(diǎn)二.點(diǎn)、直線、直線與直線的位置關(guān)系.重點(diǎn)考查點(diǎn)與直線的距離，直線與直線的距離公式、位置關(guān)系，直線與直線的夾角.如：若直線通過點(diǎn)，則()A． B． C． D．考點(diǎn)三.直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系.重點(diǎn)考查直線與圓的相關(guān)性質(zhì)、圓與圓的相關(guān)性質(zhì).過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于對(duì)稱時(shí)，它們之間的夾角為()A． B． C． D．考點(diǎn)四.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).如：設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為().A． B． C． D．考點(diǎn)五.直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交點(diǎn)（向量的數(shù)量積）、截取的線段.如：已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B.若,則=()A． B．2 C． D．3考點(diǎn)六.圓錐曲線的離心率.一般考查兩個(gè)方面：一是求離心率的值，另一個(gè)是根據(jù)題目條件求離心率的范圍問題.求解時(shí)或根據(jù)題意巧設(shè)參數(shù)，或利用直線與圓錐曲線的交點(diǎn)得到不等量關(guān)系進(jìn)而求出離心率的范圍.如：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．考點(diǎn)七.圓錐曲線的軌跡方程.借助代數(shù)、幾何、平面向量等求圓錐曲線的軌跡方程問題，一般運(yùn)用代入法、交規(guī)法，參數(shù)法、設(shè)而不求法等.如：已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為.考點(diǎn)八.圓錐曲線的最值.以圓錐曲線知識(shí)為依托，注重考查對(duì)稱問題、參數(shù)問題、最值問題、存在性問題等，這類問題入手點(diǎn)難，運(yùn)算量大，題目往往涉及的知識(shí)多，層次復(fù)雜，多以大題出現(xiàn).巧點(diǎn)妙撥1．直線方程的五種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)中，僅有一般式可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意直線，其他四種形式都有局限性，故在使用是盡量使用一般式．2．處理直線與圓的位置關(guān)系問題的常規(guī)思路有兩個(gè)：其一，通過方程，利用判別式；其二，根據(jù)幾何性質(zhì)，借助圓心到直線的距離進(jìn)行求解．3．在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常用到一些特殊技巧．比如：設(shè)而不求、整體運(yùn)算等．這些運(yùn)算都有一個(gè)公共的前提：△≥0．求解后切莫忘記驗(yàn)證．【典題對(duì)應(yīng)】例1.(2014·山東理10)已知,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）（A）（B）（C）（D）命題意圖：本題主要考查圓錐曲線的離心率、漸近線方程.解析：答案：A名師坐堂：注意漸近線方程僅對(duì)雙曲線而言，無其他限制條件漸近線方程應(yīng)成對(duì)出現(xiàn).例2.(2014·山東理21)已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有|，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.（=1\*ROMANI）求的方程；（=2\*ROMANII）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（=1\*romani）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（=2\*romanii）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.命題意圖：本題主要考查拋物線的定義，直線的方程，最值等，考查學(xué)生綜合分析問題的能力.解析：（1）由拋物線第二定義得：解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意.的方程為：.（2）由（1）知直線過焦點(diǎn)，所以.設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故.設(shè)直線的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，所以點(diǎn)到直線的距離為：，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的面積的最小值為16.例3.(2013·山東理)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.命題意圖：考查橢圓的方程、性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、角平分線定理、直線的斜率公式，考查學(xué)生解決復(fù)雜問題的計(jì)算能力以及解決定值問題的能力.解析：（Ⅰ）由于，將代入橢圓方程得由題意知，即又所以，所以橢圓方程為.（Ⅱ）由題意可知：,.設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，而，所?（Ⅲ）由題意可知：為橢圓在點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：.所以，而，，代入中得，為定值.名師坐堂：當(dāng)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)應(yīng)考慮切線方程為，同時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.若題設(shè)與向量有關(guān)應(yīng)考慮用向量的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.例4.(2012·山東理21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)≤k≤2時(shí)，的最小值.命題意圖：主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與拋物線的位置關(guān)系，圓錐曲線中的最值問題.解析：（Ⅰ）F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F，設(shè)M，，由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，而，，，，，由可得，，則，即，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M，.由可得，設(shè)，圓，，于是，令，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí).故當(dāng)時(shí)，.名師坐堂：解決雙曲線問題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行思考，若直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)△=0就未必可以.求最值時(shí)較為有效的辦法是利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.【命題趨向】解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其特點(diǎn)是用代數(shù)的方法研究解決幾何問題，重點(diǎn)是用“數(shù)形結(jié)合”的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這類試題涉及面廣、綜合性強(qiáng)、題目新穎、靈活多樣，解題對(duì)能力要求較高．其核心內(nèi)容是直線和圓以及圓錐曲線．在考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能的考試目標(biāo)指導(dǎo)下，每年的高考對(duì)解析幾何的考查都占有較大的比例，且常考常新．高考考試題目特點(diǎn)：(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，分值約為30分左右，占總分值的20%左右.(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：對(duì)直線、圓、圓錐曲線知識(shí)的考查幾乎沒有遺漏，通過對(duì)知識(shí)的重新組合，考查時(shí)既注意全面，更注意突出重點(diǎn)，對(duì)支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度.（3）直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素．高考十分注重對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的考查，有的是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；有的是直接考查圓錐曲線的離心率，在考查相應(yīng)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，著重考查基本數(shù)學(xué)思想和方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想．除此之外，要重視對(duì)考生思維能力和思維品質(zhì)的考查.(4)能力立意，滲透數(shù)學(xué)思想：一些雖是常見的基本題型，但如果借助于數(shù)形結(jié)合的思想，就能快速準(zhǔn)確的得到答案.(5)題型新穎，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計(jì)算量減少，思考量增大.加大與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等)，凸現(xiàn)教材中研究性學(xué)習(xí)的能力要求.加大探索性題型的分量.【直擊高考】1.已知橢圓方程,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn),頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A． B． C．2 D．32．已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,,垂足為,,則直線的傾斜角等于()A． B． C． D．3．方程的曲線即為函數(shù)的圖像,對(duì)于函數(shù),有如下結(jié)論:①在R上單調(diào)遞減;②函數(shù)不存在零點(diǎn);③函數(shù)的值域是R;④若函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號(hào)是()A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③4．已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有()A．60條 B．66條 C．72條 D．78條5.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則+1的取值范圍是()A.（1，） B.（，） C.（，） D.（，+）6．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線兩條漸近線都相切的圓的方程為()A. B.C. D.7．如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(1,2) B．(0,3) C．[1,2] D．[1,2)8．設(shè)雙曲線的離心率為2,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為______.9．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為________．10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e＝2，過雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過原點(diǎn)O，則k1·k2的值為________．11．已知A,B,C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且，，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點(diǎn)P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得？請(qǐng)說明理由；12．已知橢圓：（）的焦距為，且過點(diǎn)（，），右焦點(diǎn)為．設(shè)，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的中垂線交橢圓于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．13.如圖，已知直線與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.（I）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；（II）若過點(diǎn)B的直線′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

熱點(diǎn)六解析幾何【直擊高考】1.解析：橢圓的焦點(diǎn)為,頂點(diǎn)為,即雙曲線中,所以雙曲線的離心率為,選C．2.解析：B拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.由題意,則,即,所以,即,不妨取,則設(shè)直線的傾斜角等于,則,所以,選B．3.解析：,方程為,此時(shí)方程不成立.當(dāng),方程為,此時(shí).當(dāng),方程為,即.當(dāng),方程為,即.做出函數(shù)的圖象如圖由圖象可知,函數(shù)在R上單調(diào)遞減.所以①成立.②由得.因?yàn)殡p曲線和的漸近線為,所以沒有零點(diǎn),所以②正確.由圖象可函數(shù)的值域?yàn)镽,所以③正確.若函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)的圖像就是方程,即,所以④錯(cuò)誤,所以選D．4.解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，，前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A。5.解析：解析：利用橢圓定義、雙曲線定義，列出+1的關(guān)于函數(shù)表達(dá)式，再求值域即可。答案：B6.解析：解析：寫出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，再化為一般方程.答案：C．7.解析：解析以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2μ，,y＝λ.))令z＝λ＋μ＝eq\f(x,2)＋y.由圓C與直線BDeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋1))相切可得圓C的半徑為eq\f(\r(5),5).由于直線y＝－eq\f(x,2)＋z與圓C有公共點(diǎn)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－z)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1))≤eq\f(\r(5),5)，解得1≤z≤2.答案C.8.解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上且,所以雙曲線的方程為,即,所以,又,解得,所以,即,所以雙曲線的方程為.9.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B兩點(diǎn)在拋物線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，①,y\o\al(2,2)＝2px2，②))①－②得，(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴y1＋y2＝4，又直線的斜率為1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，∴2p＝4，p＝2，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.10.解析：設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，A(x1，y1)，則B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1,x0－x1).k2＝eq\f(y0＋y1,x0＋x1)，即k1·k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))，又eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1.所以eq\f(x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),b2)＝0，即eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\a