公務(wù)員行測數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)典題型總結(jié)

第19頁共21頁一、容斥原理：容斥原理關(guān)鍵就兩個公式1.兩個集合的容斥關(guān)系公式：A+B=A∪B+A∩B2.三個集合的容斥關(guān)系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C請看例題：【例題1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是(

)A.22

B.18

C.28

D.26【解析】設(shè)A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A?！纠}2】電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？【解析】設(shè)A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；A∩B=兩個頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。二、作對或做錯題問題【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯了多少道題？A.12

B.4

C.2

D.5【解析】方法一假設(shè)某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應(yīng)該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據(jù)此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道.方法二作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負(fù)差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B三、植樹問題核心要點(diǎn)提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個?！纠}1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時就開始往回走？A.第32棵

B.第32棵

C.第32棵

D.第32棵解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走沒個棵距用0.5分鐘。當(dāng)他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計(jì)共走了30÷0.5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距?！纠}2】為了把2008年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：(

）A.8500棵

B.12500棵

C.12596棵

D.13000棵解析：設(shè)兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因?yàn)?條路共栽4排，所以要減4)解得ⅹ=13000，即選擇D。四、和差倍問題核心要點(diǎn)提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù)；(和—差)÷2=較小數(shù)；較大數(shù)—差=較小數(shù)?！纠}】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？解析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。五．濃度問題【例1】(2008年北京市應(yīng)屆第14題)——甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克?，F(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少()A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%【答案】B。【解析】這道題要解決兩個問題：(1)濃度問題的計(jì)算方法濃度問題在國考、京考當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會遇到濃度問題。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是(2)本題的陷阱條件“現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同?！边@句話描述了一個非常復(fù)雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個過程最為核心的結(jié)果——“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”這個條件，問題就變得很簡單了。因?yàn)閮杀芤鹤罱K濃度相同，因此整個過程可以等效為——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡單的變成了“甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少”這個問題了。根據(jù)濃度計(jì)算公式可得，所求濃度為：如果本題采用題設(shè)條件所述的過程來進(jìn)行計(jì)算，將相當(dāng)繁瑣。六．行程問題【例1】(2006年北京市社招第21題)某單位圍墻外面的公路圍成了邊長為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角沿逆時針同時出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經(jīng)過()甲才能看到乙A.16分40秒B.16分C.15分D.14分40秒【答案】A?！窘馕觥窟@道題是一道較難的行程問題，其難點(diǎn)在于“甲看到乙”這個條件。有一種錯誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于300米時候甲就能看到乙了，其實(shí)不然。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這個時候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度——甲看到乙的時候兩人之間的距離是無法確定的。有兩種方法來“避開”這個難點(diǎn)——解法一：借助一張圖來求解雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進(jìn)過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。圖中的每一個“格檔”長為300米，如此可以將題目化為這樣的問題“經(jīng)過多長時間，甲、乙能走入同一格檔？”觀察題目選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有15分鐘、16分鐘兩個整數(shù)時間，比較方便計(jì)算。因此代入15分鐘值試探一下經(jīng)過15分鐘甲、乙的位置關(guān)系。經(jīng)過15分鐘之后，甲、乙分別前進(jìn)了90×15＝1350米＝(4×300＋150)米70×15＝1050米＝(3×300＋150)米也就是說，甲向前行進(jìn)了4個半格檔，乙向前行進(jìn)了3個半格檔，此時兩人所在的地點(diǎn)如圖所示。甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點(diǎn)處。這時甲、乙兩人相距300米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認(rèn)為甲、乙距離差為300米時，甲就能看到乙的話就會出錯?？紤]由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走150米，來到拐彎處的時候，乙行走的路程還不到150米。此時甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/90＝1分40秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。這種解法不是常規(guī)解法，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的考生可能很難想到。解法二：考慮實(shí)際情況由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實(shí)際情況下，甲能夠看到乙恰好是當(dāng)甲經(jīng)過了正方形的一個頂點(diǎn)之后就能看到乙了。也就是說甲從一個頂點(diǎn)出發(fā)，在到某個頂點(diǎn)時，甲就能看到乙了。題目要求的是甲運(yùn)動的時間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過這段時間之后，甲正好走了整數(shù)個正方形的邊長，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算式就是90×t＝300×n其中，t是甲運(yùn)動的時間，n是一個整數(shù)。帶入題目四個選項(xiàng)，經(jīng)過檢驗(yàn)可知，只有A選項(xiàng)16分40秒過后，甲運(yùn)動的距離為90×（16×60＋40)/60＝1500＝300×5符合“甲正好走了整數(shù)個正方形的邊長”這個要求，它是正確答案。七．抽屜問題三個例子：（1）3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。（2）5塊手帕分給4個小朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。（3）6只鴿子飛進(jìn)5個鴿籠，那么一定有1個鴿籠至少飛進(jìn)2只鴿子。我們用列表法來證明例題（1）：放

法

抽

屜①種②種③種④種第1個抽屜3個2個1個0個第2個抽屜0個1個2個3個從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜里，共有4種不同的放法。第①、②兩種放法使得在第1個抽屜里，至少有2個蘋果；第③、④兩種放法使得在第2個抽屜里，至少有2個蘋果。即：可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜里，一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。由上可以得出：題

號物

體數(shù)

量抽屜數(shù)結(jié)

果（1）蘋

果3個放入2個抽屜有一個抽屜至少有2個蘋果（2）手

帕5塊分給4個人有一人至少拿了2塊手帕（3）鴿

子6只飛進(jìn)5個籠子有一個籠子至少飛進(jìn)2只鴿上面三個例子的共同特點(diǎn)是：物體個數(shù)比抽屜個數(shù)多一個，那么有一個抽屜至少有2個這樣的物體。從而得出：抽屜原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。再看下面的兩個例子：（4）把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？（5）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它里面至少有6個蘋果。從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律：抽屜原理2：把多于m×n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m＋1個或多于m＋l個的物體?？梢钥闯?，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數(shù)量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個數(shù)比抽屜個數(shù)的幾倍還多幾。以上兩個原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據(jù)。抽屜問題可以簡單歸結(jié)為一句話：有多少個蘋果，多少個抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。解此類問題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn)“抽屜”，只有“抽屜”找準(zhǔn)了，“蘋果”才好放。我們先從簡單的問題入手：（1）3只鴿子飛進(jìn)了2個鳥巢，則總有1個鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只）（2）把3本書放進(jìn)2個書架，則總有1個書架上至少放著幾本書？（答案：2本）（3）把3封信投進(jìn)2個郵筒，則總有1個郵筒投進(jìn)了不止幾封信？（答案：1封）（4）1000只鴿子飛進(jìn)50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000÷50＝20，所以答案為20只）（5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個蘋果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案為3）（6）從幾個抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當(dāng)中至少拿了7個蘋果？（答案：25÷□＝6……□，可見除數(shù)為4，余數(shù)為1，抽屜數(shù)為4，所以答案為4個）抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數(shù)”除以“抽屜數(shù)”，若余數(shù)不為零，則“答案”為商加1；若余數(shù)為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數(shù)”和“答案”來求“抽屜數(shù)”。抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運(yùn)用，可以解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、覺得無從下手，實(shí)際上卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題。例1：某班共有13個同學(xué)，那么至少有幾人是同月出生？（）A.13B.12C.6D.2解1：找準(zhǔn)題中兩個量，一個是人數(shù)，一個是月份，把人數(shù)當(dāng)作“蘋果”，把月份當(dāng)作“抽屜”，那么問題就變成：13個蘋果放12個抽屜里，那么至少有一個抽屜里放兩個蘋果?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理1”】例2：某班參加一次數(shù)學(xué)競賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（）A.30B.31C.32D.33解2：毫無疑問，參賽總?cè)藬?shù)可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”滿足：總?cè)藬?shù)放進(jìn)去之后，保證有1個“抽屜”里，有2人。仔細(xì)分析題目，“抽屜”當(dāng)然是得分，滿分是30分，則一個人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數(shù)應(yīng)該是31＋1＝32?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理2”】例3.在某校數(shù)學(xué)樂園中，五年級學(xué)生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學(xué)生的出生日期，就可斷定在這400個學(xué)生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？解3：因?yàn)槟挲g最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學(xué)生出生的日期總數(shù)不會超過366天，把400名學(xué)生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，（若兩名學(xué)生是同一天出生的，則讓他們進(jìn)入同一個抽屜，否則進(jìn)入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）個蘋果”。即：一定能找到2個學(xué)生，他們是同年同月同日出生的。例4：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？解4：把3種顏色的筷子當(dāng)作3個抽屜。則：（1）根據(jù)“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個“抽屜”里各拿了3根筷子，不管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應(yīng)拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。例5.證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。解5：將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12個抽屜，由“抽屜原理2”知，“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有4個蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人屬相相同。例6：某班有個小書架，40個同學(xué)可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個同學(xué)能借到2本或2本以上的書？分析：從問題“有1個同學(xué)能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對應(yīng)于“有一個抽屜里面有2個或2個以上的蘋果”。所以我們應(yīng)將40個同學(xué)看作40個抽屜，將書本看作蘋果，如某個同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個蘋果放到了他的抽屜中。解6：將40個同學(xué)看作40個抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個抽屜中至少有2個蘋果，蘋果數(shù)應(yīng)至少為40＋1＝41（個）。即：小書架上至少要有41本書。下面我們來看兩道國考真題：例7：（國家公務(wù)員考試2004年B類第48題的珠子問題）：有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（）A．3B．4C．5D．6解7：把珠子當(dāng)成“蘋果”，一共有10個，則珠子的顏色可以當(dāng)作“抽屜”，為保證摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設(shè)每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4個顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個，這時候再任意摸1個，則一定有一個“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。例8：（國家公務(wù)員考試2007年第49題的撲克牌問題）：從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？A．21B．22C．23D．24解8：完整的撲克牌有54張，看成54個“蘋果”，抽屜就是6個（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設(shè)現(xiàn)在前4個“抽屜”里各放了5張，后兩個“抽屜”里各放了1張，這時候再任意抽取1張牌，那么前4個“抽屜”里必然有1個“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。歸納小結(jié)：解抽屜問題，最關(guān)鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結(jié)合兩個原理進(jìn)行相應(yīng)分析?？梢钥闯鰜恚⒉皇敲恳粋€類似問題的“抽屜”都很明顯，有時候“抽屜”需要我們構(gòu)造，這個“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分?jǐn)?shù)、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會超出這個范圍。八．“牛吃草”問題牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：1．（牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)－牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草的量。2．牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)－每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草。下面來看幾道典型試題：例1．由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（）A.12B.10C.8D.6【答案】C。解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少（20×5－16×6）÷（6－5）=4份草，原來牧場上有20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。例2．有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？（）A.8B.10C.12D.14【答案】C。解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天生長出（21×8－24×6）÷（8－6）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12頭牛。例3．有一個水池，池底有一個打開的出水口。用5臺抽水機(jī)20小時可將水抽完，用8臺抽水機(jī)15小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？（）A.25B.30C.40D.45【答案】D。解析：出水口每小時漏水為（8×15－5×20）÷（20－15）=4份水，原來有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小時漏完。九．利潤問題利潤就是掙的錢。利潤占成本的百分?jǐn)?shù)就是利潤率。商店有時減價出售商品，我們把它稱為“打折”，幾折就是百分之幾十。如果某種商品打“八折”出售，就是按原價的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原價的85%出售。利潤問題中，還有一種利息和利率的問題，屬于百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。本金是存入銀行的錢。利率是銀行公布的，是把本金看做單位“1”，按百分之幾或千分之幾付給儲戶的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付給儲戶的錢。本息和是本金與利息的和。

這一問題常用的公式有：

定價=成本+利潤

利潤=成本×利潤率

定價=成本×（1+利潤率)

利潤率=利潤÷成本

利潤的百分?jǐn)?shù)=(售價-成本)÷成本×100%

售價=定價×折扣的百分?jǐn)?shù)

利息=本金×利率×期數(shù)

本息和=本金×（1+利率×期數(shù))例1某商品按20%的利潤定價，又按八折出售，結(jié)果虧損4元錢。這件商品的成本是多少元？

A.80

B.100

C.120

D.150

【答案】B。解析：現(xiàn)在的價格為(1+20%)×80%=96%，故成本為4÷（1-96%)=100元。

例2某商品按定價出售，每個可以獲得45元的利潤，現(xiàn)在按定價的八五折出售8個，按定價每個減價35元出售12個，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個定價多少元？(

)

A.100

B.120

C.180

D.200

【答案】D。解析：每個減價35元出售可獲得利潤(45-35)×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120÷8=15元，少獲得45-15=30元，故每個定價為30÷（1-85%)=200元。

例3一種商品，甲店進(jìn)貨價比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價是多少元？(

)

A.1000

B.1024

C.1056

D.1200

【答案】C。解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價為x元，可列方程20%x-20%×（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定價為1000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。十．平均數(shù)問題這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù)，就是n個數(shù)的和被個數(shù)n除所得的商，這里的n大于或等于2。通常把與兩個或兩個以上數(shù)的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，叫做平均數(shù)問題。平均數(shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量和÷總份數(shù)=平均數(shù)平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量和總數(shù)量和÷平均數(shù)=總份數(shù)解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應(yīng)的總份數(shù)。例1：在前面3場擊球游戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場游戲得分的平均數(shù)為145，第四場他應(yīng)得多少分？()【答案】C。解析：4場游戲得分平均數(shù)為145，則總分為145×4=580，故第四場應(yīng)的580-130-143-144=163分。例2：李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走了10分鐘到了爺爺家?；貋頃r走了15分鐘到家，則李是多少？()A.72米/分B.80米/分C.84米/分D90米/分【答案】A。解析：李明往返的總路程是90×10×2=1800(米)，總時間為10+15=25均速度為1800÷25=72米/分。例3：某校有有100個學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，則男生比女生多多少人？A.30B.32C.40D.45【答案】C。解析：總得分為63×100=6300，假設(shè)女生也是平均60分，那么100個學(xué)生共的6000分，這樣就比實(shí)得的總分少300分。這是女生平均每人比男生高10分，所以這少的300分是由于每個女生少算了10分造成的，可見女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。十一.方陣問題學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：1．方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋13．方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1

例1

學(xué)校學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人?A．256人

B．250人

C．225人

D．196人

（2002年A類真題）解析：正確答案為A。方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）。例2

參加中學(xué)生運(yùn)動會團(tuán)體操比賽的運(yùn)動員排成了一個正方形隊(duì)列。如果要使這個正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動員有多少人？分析

如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1

解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（33+1）÷2＝17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17=289（人）十二.年齡問題主要特點(diǎn)是：時間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關(guān)鍵。解答年齡問題的一般方法：幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差例1：甲對乙說：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時，你才4歲。乙對甲說：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有：A．45歲，26歲B．46歲，25歲C．47歲，24歲D．48歲，23歲【答案】B。解析：甲、乙二人的年齡差為（67－4）÷3=21歲，故今年甲為67－21=46歲，乙的年齡為45－21=25歲。例2：爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？A．34B．39C．40D．42【答案】C。解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。例3：1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?A．34歲，12歲B．32歲，8歲C．36歲，12歲D．34歲，10歲【答案】C。解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡,3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4）,1998年乙的年齡=4歲,則2000年乙的年齡為10歲。十三.比例問題解決好比例問題，關(guān)鍵要從兩點(diǎn)入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。例1

b比a增加了20%，則b是a的多少？a又是b的多少呢？解析：可根據(jù)方程的思想列式得a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。A/b＝1/1.2＝5/6，所以a是b的5/6。例2

養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標(biāo)記后放回魚塘，數(shù)日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?A．200

B．4000

C．5000

D．6000

（2004年中央B類真題）解析：方程法：可設(shè)魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，選擇B。例3

2001年，某公司所銷售的計(jì)算機(jī)臺數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計(jì)算機(jī)銷售額為3000萬元，那么2000年的計(jì)算機(jī)銷售額大約是多少?A．2900萬元

B．3000萬元

C．3100萬元

D．3300萬元（2003年中央A類真題）解析：方程法：可設(shè)2000年時，銷售的計(jì)算機(jī)臺數(shù)為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計(jì)算機(jī)的銷售額=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少？或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡化公式，1－X。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運(yùn)用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計(jì)算機(jī)臺數(shù)比上一年度上升了20％，每臺的價格比上一年度下降了20％，因?yàn)殇N售額＝銷售臺數(shù)×每臺銷售價格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%）＝0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。例4

生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍(lán)色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍(lán)色襯衫有多少件?A．15

B．25

C．35

D．40

答案為C。

（2003年中央A類真題）解析：這是一道涉及容斥關(guān)系（本書后面會有專題講解）的比例問題。根據(jù)已知大號白=10件，因?yàn)榇筇柟?0件，所以，大號藍(lán)=40件；大號藍(lán)=40件，因?yàn)樗{(lán)色共75件，所以，小號藍(lán)=35件；此題可以用另一思路進(jìn)行解析（多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力）大號白=10件，因?yàn)榘咨?5件，所以，小號白=15件；小號白=15件，因?yàn)樾√柟?0件，所以，小號藍(lán)=35件；例5

某企業(yè)發(fā)獎金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%；低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當(dāng)利潤為40萬元時，應(yīng)發(fā)放獎金多少萬元?A．2

B．2.75

C．3

D．4.5

（2003年中央A類真題）解析：這是一個種需要讀懂內(nèi)容的題型。根據(jù)要求進(jìn)行列式即可。獎金應(yīng)為10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75,所以，答案為B。例6

某企業(yè)去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費(fèi)200萬元兩個部分。若年利潤必須按P％納稅，年廣告費(fèi)超出年銷售收入2％的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P％為A．40％

B．25％

C．12％

D．10％

（2004年江蘇真題）解析：選用方程法。根據(jù)題意列式如下：（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120即

480×P％=120P％=25%所以，答案為B。例7甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?A．30個

B．35個

C．40個

D．45個

（2002年A類真題）解析：選用方程法。設(shè)乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：（1+1.3X）×8=736X=40所以，選擇C。例8已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數(shù)中最大的數(shù)是：A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

（2001年中央真題）解析：顯然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1，所以，甲＞乙＞丙＞丁，選擇A。例10某儲戶于1999年1月1日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應(yīng)繳納利息稅，稅率為20％，則該儲戶實(shí)際提取本金合計(jì)為A．61200元

B．61160元

C．61000元

D．60040元解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實(shí)際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。十四.尾數(shù)計(jì)算問題1．尾數(shù)計(jì)算法知識要點(diǎn)提示：尾數(shù)這是數(shù)學(xué)運(yùn)算題解答的一個重要方法，即當(dāng)四個答案全不相同時，我們可以采用尾數(shù)計(jì)算法，最后選擇出正確答案。首先應(yīng)該掌握如下知識要點(diǎn)：2452＋613＝3065

和的尾數(shù)5是由一個加數(shù)的尾數(shù)2加上另一個加數(shù)的尾數(shù)3得到的。2452－613＝1839

差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3得到。2452×613＝1503076

積的尾數(shù)6是由一個乘數(shù)的尾2乘以另一個乘數(shù)的尾數(shù)3得到。2452÷613＝4

商的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3得到被除數(shù)的尾數(shù)2，除法的尾數(shù)有點(diǎn)特殊，請學(xué)員在考試運(yùn)用中要注意。例1

99+1919+9999的個位數(shù)字是（

）。A．1

B．2

C．3

D．7

（2004年中央A、B類真題）解析：答案的尾數(shù)各不相同，所以可以采用尾數(shù)法。9＋9＋9＝27，所以答案為D。例2

請計(jì)算（1.1）2+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2值是：A．5.04

B．5.49

C．6.06

D．6.30型

（2002年中央A類真題）解析：（1.1）2的尾數(shù)為1，（1.2）2的尾數(shù)為4，（1.3）2的尾數(shù)為9，（1.4）2的尾數(shù)為6，所以最后和的尾數(shù)為1＋3＋9＋6的和的尾數(shù)即0，所以選擇D答案。例3

3×999+8×99+4×9+8+7的值是：A．3840

B．3855

C．3866

D．3877

（2002年中央B類真題）解析：運(yùn)用尾數(shù)法。尾數(shù)和為7+2＋6＋8＋7=30，所以正確答案為A。2．自然數(shù)N次方的尾數(shù)變化情況知識要點(diǎn)提示：我們首先觀察2n的變化情況21的尾數(shù)是222的尾數(shù)是423的尾數(shù)是824的尾數(shù)是625的尾數(shù)又是2我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以4為周期變化的即21、25、29……24n+1的尾數(shù)都是相同的。3n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為3，9，7，1，

3，9，7，1

……7n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，3，1，7，

9，3，1，7

……8n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為8，4，2，6，

8，4，2，6

……4n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為4，6，

4，6，……9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，1，

9，1，……5n、6n尾數(shù)不變。例1

的末位數(shù)字是：A．1

B．3

C．7

D．9

（2005年中央甲類真題）解析：9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，1，

9，1，……即當(dāng)奇數(shù)方時尾數(shù)為“9”，當(dāng)偶數(shù)方時尾數(shù)為“1”，1998為偶數(shù)，所以原式的尾數(shù)為“1”，所以答案為A。例219881989+1989的個位數(shù)是

（2000年中央真題）A．9

B．7

C．5

D．3解析：由以上知識點(diǎn)我們可知19881989的尾數(shù)是由81989的尾數(shù)確定的，1989÷4＝497余1，所以81989的尾數(shù)和81的尾數(shù)是相同的，即19881989的尾數(shù)為8。我們再來看19891988的尾數(shù)是由91988的尾數(shù)確定的，1988÷4＝497余0，這里注意當(dāng)余數(shù)為0時，尾數(shù)應(yīng)和94、98、912……94n尾數(shù)一致，所以91988的尾數(shù)與94的尾數(shù)是相同的，即為1。綜上我們可以得到19881989

+19891988

尾數(shù)是8+1＝9，所以應(yīng)選擇C。十五.最小公倍數(shù)和最小公約數(shù)問題1．關(guān)鍵提示：最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不難，但一定要細(xì)致審題，千萬不要粗心。另外這類題往往和日期（星期幾）問題聯(lián)系在一起，要學(xué)會求余。2．核心定義：（1）最大公約數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。（2）最小公倍數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例題1：甲每5天進(jìn)城一次，乙每9天進(jìn)城一次，丙每12天進(jìn)城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：A．60天

B．180天

C．540天

D．1620天

（2003年浙江真題）解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍數(shù)，可用代入法，也可直接求。顯然5，9，12的最小公倍數(shù)為5×3×3×4＝180。所以，答案為B。例題2：三位采購員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相會，下次相會是星期幾？A．星期一

B．星期二

C．星期三

D．星期四解析：此題乍看上去是求9，11，7的最小公倍數(shù)的問題，但這里有一個關(guān)鍵詞，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此題實(shí)際上是求10，12，8的最小公倍數(shù)。10，12，8的最小公倍數(shù)為5×2×2×3×2＝120。120÷7＝17余1，所以，下一次相會則是在星期三，選擇C。例題3：賽馬場的跑馬道600米長，現(xiàn)有甲、乙、丙三匹馬，甲1分鐘跑2圈，乙1分鐘跑3圈，丙1分鐘跑4圈。如果這三匹馬并排在起跑線上，同時往一個方向跑，請問經(jīng)過幾分鐘，這三匹馬自出發(fā)后第一次并排在起跑線上？(

)A．1／2

B．1

C．6

D．12解析：此題是一道有迷惑性的題，“1分鐘跑2圈”和“2分鐘跑1圈”是不同概念，不要等同于去求最小公倍數(shù)的題。顯然1分鐘之后，無論甲、乙、丙跑幾圈都回到了起跑線上。所以，答案為B。…………………………………1三條邊均為正整數(shù)，且最長邊為11的三角形有（）個。A.21B.23C.25D.36解析：另兩條邊的和要大于11，且每條邊都不能超過11，符合條件的數(shù)對有：2,10;3,9;3,10;4,8;4,9;4,10;5,7;5,8;...;5,10;6,6;6,7;...;6,10;7,7;7,8;...;7,10;8,8;8,9;9,10;9,9;9,10;10,10;還有11，對應(yīng)的1，2，3，。。。。11所以一共有1+2+3+4+5+4+3+2+1+11=36(種)技巧：假設(shè)中間邊長為X：X=11，對應(yīng)11X=10，對應(yīng)9X=9，對應(yīng)7…….X=6,對應(yīng)1所以是1+3+5+7+9+11=6^2=36或者是假設(shè)最小邊長為X,依次一樣.2.牧場上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均勻的速度生長。這片青草供給10頭?？梢猿?0天，供給15頭牛吃，可以吃10天。供給25頭牛吃，可以吃多少天？解析：設(shè)每頭牛每天吃X個單位的草，草地每天生長Y的單位的草，草地原有Z個單位的草，則有方程組：200X=Z+20Y150X=Z+10Y解得Y=5XZ=100X設(shè)25頭牛要吃M天則M×25X=Z+M×5XM×25X=100X+M×5XM=5這個直接用比例:20:10=2:115-10=5所以就是草的生長速度應(yīng)該是5.所以總的是20*(10-5)=100100/(25-5)=53.從自然數(shù)列1,2,3,4中依次劃去2的倍數(shù)和3的倍數(shù),但保留5的倍數(shù),剩下的數(shù)列如下:1,5,7,10,11,13,15,17,19,20,23,25,29在剩下的數(shù)列中,第2005個數(shù)是幾?解析：第2005個數(shù)滿足這樣的條件，設(shè)它為n,則n-[n/2]-[n/3]+[n/6]+[n/10]+[n/15]-[n/30]=2005,(其中[n/k]表示不超過n/k的最大整數(shù)，對于正數(shù)，相當(dāng)于取它整數(shù)部分。)首先估計(jì)一下范圍：n-n/2-n/3+n/6+n/10+n/15-n/30=2005,解得n大概為：4296，將4296代入：4296-[4296/2]-[4296/3]+[4296/6]+[4296/10]+[4296/15]-[4296/30]=4296-2148-1432+716+429+286-143=2004，比2005小1，取4297，代入，發(fā)現(xiàn)[]內(nèi)的值與4296時都一樣，所以結(jié)果正好是2005，所以第2005個數(shù)是4297.4.如果生兒子，兒子占2/3母親占1/3，如果生女兒，女兒占1/3，母親占2/3，生了一個兒子和一個女兒怎么分？解析：母親占2/7;兒子占4/7;女兒占1/7母親：兒子＝1：2＝2：4母親：女兒＝2：1則兒子：母親：女兒＝4：2：1＝(4/7):(2/7):(1/7)5.文具店以每個0.35元的批發(fā)價購進(jìn)一批小皮球,按0.45元的零售價賣出,當(dāng)賣到還剩下30個小皮球時,已獲利12元,文具店購進(jìn)小皮球()個。解析：30個的本錢是30×0.35=10.5元。加上還賺12元一共22.5元。要賣22.5除以0.45-0.35=225（個）6.甲，乙，丙3人分別從3張寫有不同自然數(shù)的卡片中各取1張，每取一次都各自記下卡片上的數(shù)字，然后放回卡片。這樣取了幾次之后，甲，乙，丙各自取得數(shù)字的累計(jì)和分別是23，15，13。已知乙有一次取得3張卡片中最大的。那么，3張卡片中所寫數(shù)字最小的是幾？解析：說明每個數(shù)都出現(xiàn)三次,(X+Y+Z)×3=23+15+13=51可以列兩組方程三個牌之和是17這樣說明沒有甲，乙，丙三個人沒有人拿到有不同的牌,又加上之三個人中只有乙是三的倍數(shù),但乙有一次拿到三張牌中的最大,所以三個人中沒有拿到同樣的牌,2X+Y=232Y+Z=152Z+X=13或2X+Z=232Y+X=152Z+Y=13得到,X=9Z=5Y=37.把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若干個多邊形。分割后的多邊形邊數(shù)總和比原來的多13條，內(nèi)角和是原來的1.3倍。請問原來的多邊形是幾邊形，被分割成了多少個多邊形？解析：12邊形分成2個三角形,1個四邊形,3個五邊形。共25條邊,剛好比12邊形多13條邊。原內(nèi)角總和為1800度，現(xiàn)內(nèi)角總和為2340度,剛好符合題意.答案是：12邊形分成5個三角形和1個10邊形.8.小華每分一次肥皂泡，每次恰好吹100個。肥皂泡吹出之后，經(jīng)過一分有一半破裂，經(jīng)過兩分還有1/20沒有破裂，經(jīng)過兩分半肥皂泡全部破裂。小華在第21次吹出100個新的肥皂泡的時候，沒有破裂的肥皂泡共有（）個。解析：因?yàn)?.5分鐘后全部肥皂泡破裂，所以第19次以前的全部破裂100+50+5=155個。9.在一張正方形的紙片上，有900個點(diǎn)，加上正方形的4個頂點(diǎn)，共有904個點(diǎn)。這些點(diǎn)中任意3個點(diǎn)不共線，將這紙剪成三角形，每個三角形的三個點(diǎn)是這904個點(diǎn)中的點(diǎn)，每個三角形都不含這些點(diǎn)?？梢约舳嗌賯€三角形？共剪多少刀？解析：（方法一）可以從最簡單的情況考慮，假設(shè)開始正方形中一的點(diǎn)都沒有，在其中任意加上一點(diǎn),然后將這點(diǎn)分別與正方形的四個頂點(diǎn)連起來,若順著4條連線剪下就能得到4個三角形.若再加上一個點(diǎn),因?yàn)椴淮嬖谌c(diǎn)共線,所以這點(diǎn)一定在原來的某個三角形區(qū)域D中,將它與D的三個頂點(diǎn)相連,這樣就增加了三條線,若沿線剪下就把D分成了3個小三角形,即增加了2個三角形.依次類推,以后每加一個點(diǎn)就與包含它的最小三角形區(qū)域Di的頂點(diǎn)連起來,再沿連線剪開,直到第900個點(diǎn)也這樣處理.這樣一來就得到題目說的那種情況,增加第1個點(diǎn)時出現(xiàn)了4個三角形,4條連線,以后每增加一個點(diǎn)就會出現(xiàn)2個三角形和3條連線.所以900個點(diǎn)就有4+2×899=1802個三角形,一共要剪4+3×899=2701刀.（方法2）也可以這樣想：先沿正方形的對角線把它剪成2個三角形，之后，在任意一個三角形內(nèi)增加一個點(diǎn)，它與三角形的三個頂點(diǎn)相邊可以構(gòu)成三個三角形，增加了2個，所以，共可以剪下：900×2＋2＝1802個三角形；剪的刀數(shù)：剪正方形剪成２個三角形需要剪一刀，之后，每增加一個點(diǎn)都需要剪三刀，所以，共需要剪：900×3＋1＝2701刀。10.有一個半徑是1分米的圓片，沿著一個邊長是6分米的等邊三角形滾一周，圓片經(jīng)過的部分的面積是多少平方分米？解析：6×2×3+(1×2)2×3.14×(120/360)×3=36+4×3.14=48.56(平方分米)11.甲乙兩隊(duì)學(xué)生參加郊區(qū)夏令營，只有一輛車接送，坐不下。甲隊(duì)學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，乙隊(duì)學(xué)生開始步行，車到途中某處讓甲隊(duì)學(xué)生下車步行去營地，車立即返回接乙隊(duì)學(xué)生并直接開到營地，結(jié)果是兩隊(duì)學(xué)生同時到達(dá)。已知學(xué)生步行的速度為每小時4千米，汽車載學(xué)生的速度為每小時40千米，空車速度為每小時50千米，那么甲隊(duì)學(xué)生步行路程與全程的比是（）解析：方法一、全程X,甲步行了Y,第一次乙步行了(X-Y)/40再乘4=(X-Y)/10X-Y-(X-Y)/10=(9X-9Y)/10,這是車去接乙時與乙相遇的路程,(9X-9Y)/10除(50+4)=(X-Y)/60.車與已相碰的時間,(X-Y)/60乘50再加Y=(5X+Y)/6乙上車離終點(diǎn)的距離(5X+Y)/6再除40=(5X+Y)/240這是乙上車到終點(diǎn)的時間,所以得到,(X-Y)/60加上(5X+Y)/240=Y/4只此,12X=84Y.Y比X等于1比7。方法二、速度比是1:10.假設(shè)都為1段,中間還有9段,此時速度比是4:50=2:25.所以9段中甲走了2/3.車走了25/3段,乙走了2/3段,因?yàn)槭菍ΨQ的,所以乙還得走1段,所以比是1+2/3:1+2/3+10=1:7（自己的方法）方法三、可以根據(jù)比來確定中間來回走動的距離與其他的比。12.明家的電話號碼是7位數(shù)。將前四位數(shù)組成的數(shù)與后三位數(shù)組成的數(shù)相加得9534，將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2523。那么小明家的電話號碼是？解析：設(shè)電話號碼為ABCDEFG，根據(jù)題意得：ABCD+EFG=9534ABC+DEFG=2523,列成豎式答案為890163313小明家離火車站很近，他每天都可以根據(jù)車站大樓的鐘聲起床。車站大樓的鐘，每敲響一下延時3秒，間隔1秒后再敲第二下。假如從第一下鐘聲響起，小明就醒了，那么到小明確切判斷出已是清晨6點(diǎn)，前后共經(jīng)過了幾秒鐘？解析：分析與解從第一下鐘聲響起，到敲響第6下共有5個“延時”、5個“間隔”，共計(jì)（3+1）×5=20秒。當(dāng)?shù)?下敲響后，小明要判斷是否清晨6點(diǎn)，他一定要等到“延時3秒”和“間隔1秒”都結(jié)束后而沒有第7下敲響，才能判斷出確是清晨6點(diǎn)。因此，答案應(yīng)是：（3＋1）×6=24（秒）。14.一個體積為1立方米的正方體，如果將它分為體積各為1立方分米的正方體，并沿一條直線將它們一個一個連起來，問可連多長（米）？A.100B.10C.1000D.10000解析：答案為A大正方體可分為1000個小正方體，顯然就可以排1000分米長，1000分米就是100米?？忌灰雎粤祟}中的單位是米。15.有128位旅客，其中25人既不懂英語、又不懂法語，有98人懂英語，75人懂法語，請問：既懂英語、又懂法語的有多少人？解析：從128位旅客中減去既不懂英語、又不懂法語的25人，剩下的128－25=103人中至少懂一門外語（懂英語或懂法語），懂英語的98人中包含了同時懂法語的人數(shù)；懂法語的75人中也包含了同時懂英語的人數(shù)；（98+75）人恰好比103人多出了既懂英語、又懂法語的人，所以既懂英語、又懂法語的人數(shù)=懂英語的人數(shù)+懂法語的人數(shù)－至少懂一門外語的人數(shù)。解答：至少懂一門外語的人數(shù)：128－25=103（人）既懂英語、又懂法語的人數(shù)：98+75－103=70（人）16.60名同學(xué)面向老師站成一橫排。老師先讓同學(xué)們從左到右按照1、2、3、4、……、59、60的順序依次報數(shù)，再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。請問：現(xiàn)在面向老師的學(xué)生還有多少名？解析：由于兩次向后轉(zhuǎn)的學(xué)生最后還是面向老師，要想轉(zhuǎn)兩次必需既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)的數(shù)，也就是轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生和一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是最后面向老師的。解答：從1到60中，4的倍數(shù)一共有：60÷4=15個，6的倍數(shù)一共有：60÷6=10個，既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)有：60÷12=5個。一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是：60－（15+10－5）=40個，轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生有5個，所以面向老師的學(xué)生還有40+5=45個。說明：也可以這樣想：最開始向后轉(zhuǎn)的學(xué)生（也就是背對老師的學(xué)生）有15人，然后共有10名報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，其中：報12、24、36、48、60這5個人已經(jīng)向后轉(zhuǎn)了，又第二次向后轉(zhuǎn)，結(jié)果就又面對老師了，可是報6、18、30、42、54這5個人第一次向后轉(zhuǎn)，他們背對老師。因此仍然是有有15人背對老師，所以有：60－15=45人面向老師。17.李老師出了兩道題，全班40人中，第一道題有30人對，第2題有12人未做對，兩題都做對的有20人。請問：（1）第2題對，但是第1題不對的有多少人？（2）兩道題都不對的有幾個人？解析：本題涉及以下幾類：（1）第1題對但第2題不對的人；（2）第2題對但第1題不對的人；（3）兩題都對的人；（4）兩題都不對的人；可用一個長方形表示全班的人，其內(nèi)畫兩個相交的圓，一個圓表示第1題對的人；另一個圓表示第2題對的人；兩圓相交的公共部分表示兩題都對的人；長方形內(nèi)、兩圓之外的部分表示兩題都不對的人，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算。解答：用A表示“第1題對第2題不對的人數(shù)”；用B表示“第2題對第1題不對的人數(shù)”；用C表示“兩題都對的人數(shù)”；用D表示“兩題都不對的人數(shù)”；據(jù)題意A+B+C+D=40（1）A+C=30（2）A+D=12（3）C=20（4）比較（2）、（4），可得A=10（5）比較（3）、（5），可得D=2（6）比較（1）、（4）、（5）、（6），可得B=8答：第2題對第1題不對的有8人，兩題都不對的有2人。說明：“兩題至少有1題做對的人數(shù)=第1題做對的人數(shù)+第2題做對的人數(shù)-兩題都做對的人數(shù)。”這通常表示的是簡單的容斥原理。18一架飛機(jī)所帶燃料最多可用6小時，飛機(jī)順風(fēng)，每小時可飛1500千米，飛回時逆風(fēng)，每小時可飛1200千米，這架飛機(jī)最多飛出___________千米，就需往回飛？解析：某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。證明：設(shè)A、B兩地相距S，則往返總路程2S，往返總共花費(fèi)時間s/a+s/b故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)根據(jù)上面的公式：飛機(jī)往返的平均速度為2*1500*1200/(1500+1200)=4000/3千米/時往返總路程為4000/3*6=8000千米故這架飛機(jī)最多飛出8000/2=4000千米，就需往回飛。比例法：1500：1200=5：4和為9對應(yīng)6小時每份為2/3所以就是2/3*5*1200=4000千米。19一次考試共有五道試題，做對第（原題沒有“第”字）1、2、3、4、5題的分別占考試人數(shù)的84%、88%、72%、80%、56%，如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？解析：假設(shè)這次考試有100人參加，那么五題分別做對的人數(shù)為84、88、72、80、56人。全班共做對84+88+72+80+56=380（題）。要求及格率最少，也就是讓不及格人盡量的多，即僅做對兩題的人盡量的多；要讓及格的人盡量的少，也就是說共做對5題和共做對4題的人要盡量的多。我們可以先假設(shè)所有人都只做對兩題，那么共做對100×2=200（題）。由于共做對5題的最多有56人，他們一共多做了56×3=168（題），這時還剩下380－（200+168）=12（題）。因?yàn)樽鰧?題的人要盡量的多，所以每2題分給一個人，可以分給12÷2=6（人），即最多6個人做對4題。加上做對5題的56人，那么及格的人最少有56+6=62（人），也就是及格率至少為62%。20有老師和甲乙丙三個學(xué)生，現(xiàn)在老師的年齡剛好是三個學(xué)生的年齡和；9年后，老師年齡為甲、乙兩個學(xué)生的年齡和；又3年后，老師年齡為甲、丙兩個學(xué)生的年齡和；再3年后，老師年齡為乙、丙兩個學(xué)生的年齡和。求現(xiàn)在各人的年齡。解析：老師=甲+乙+丙，老師+9=甲+9+乙+9，比較一下這兩個條件，很快得到丙的年齡是9歲；同理可以得到乙是9+3=12歲，甲是9+3+3=15歲，老師是9+12+15=36歲.21一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過535米長的檢閱場地，需要多少時間？解析：車隊(duì)間隔共有30-1＝29(個)，每個間隔5米，所以，間隔的總長為：(30-1)×5＝145(米)，而車身的總長為30×4＝120(米)，故這列車隊(duì)的總長為：(30-1)×5+30×4＝265(米)。由于車隊(duì)要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，車隊(duì)通過檢閱場地需要(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。22.小陳從家去體育館參加比賽，先以每分鐘50米的速度走了4分鐘，發(fā)現(xiàn)這樣走下，就要遲到6分鐘，后來他改變速度，每分鐘走65米，結(jié)果提前3分鐘到達(dá)，問小陳家離體育館多少米？A.2500

B.2350

C.2200

D.2150(6+t)*50=(t-3)*65T=（65*3+50*4）/(65-50)=33(33+4+6)*50=215023．馬立國每天早晨練習(xí)長跑都是從足球場跑到湖邊，然后再返回來。跑去的時候先是一段上坡路，然后就是下坡路。上坡路馬立國每分跑120米，下坡路每分跑150米。去時一共跑了16分鐘，返回時跑了15.5分鐘。則馬立國從足球場向湖邊跑的時候，上坡路長多少米？A.2100

B.1800

C.1500

D.1200路長設(shè)為S，一來一回跑了兩個S，且跑的上坡總長=跑得下坡總長=一個S設(shè)下坡所用時間為“1”，則上坡所用時間為150/120=1.25所以下坡總時間為（16+15.5）/(1+1.25)=14所以S=14*150=2100上坡所用時間為(16*150-2100)/(150-120)=10所以上坡路長為120*10=120024．小趙和小李是兩位競走運(yùn)動員，小趙從甲地出發(fā)，小李同時從乙地出發(fā)，相向而行，在兩地之間往返練習(xí)。第一次相遇地點(diǎn)距甲地1.4千米，第二次相遇地點(diǎn)距乙地0.6千米。當(dāng)他們兩人第四次相遇時，地點(diǎn)距甲地有多遠(yuǎn)？A2.6千米

B.2.4千米

C.1.8千米

D.1.5千米S=1.4*3-0.6=3.6第三次相遇時小趙走得路長1.4*7=9.8離甲地距離為9.8/3.6=2……2.625．一只游輪從甲港順流而下到乙港，馬上又逆水返回甲港，共用8小時，順?biāo)啃r比逆水每小時多行12千米，前4小時比后4小時多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米？A.72

B.60

C.55

D.48根據(jù)題意順?biāo)叫袝r間為30/12=2.5逆水時間為8-2.5=5.5逆水速度=2.5*12/(5.5-2.5)=10S=10*5.5=5526．小許騎自行車出發(fā)24分鐘后，小李開車去追，在距出發(fā)地8千米追上小許，然后開車返回出發(fā)地，返回后又立刻再次去追小許，追上時恰好離出發(fā)地16千米。小李開車每小時行多少千米？A.20

B.30

C.40

D.50小李速度/小許速度=（8+16）/8=3：1追擊時間=24/（3-1）=12所以小李的速度為8/0.2=4027．一輛長12米的汽車以每小時36千米的速度由甲站開往乙站，上午10點(diǎn)整，在距乙站3000米外迎面遇到一個行人，1秒鐘后汽車超過這個行人。汽車到達(dá)乙站休息10分鐘后返回甲站。汽車于何時追上這個行人？A．10點(diǎn)22分30秒

B。10點(diǎn)25分

C.10點(diǎn)30分

D.10點(diǎn)32分30秒36千米/小時=10米/秒行人速度=12-10=2汽車追擊時間為[2*（600+300）+3000]/（10+2）=600（300+600+600）/60=2528．甲、乙兩個工程隊(duì)同時搶修一段距離相等的公路，開工12天后，兩隊(duì)完成的工作量正好等于甲隊(duì)的總工作量。開工20天后，乙完成了任務(wù)，甲隊(duì)還需再修300米才完成任務(wù)。兩段公路的總長度是多少米？A.2400

B.2000

C.1800

D.150012/20=3/5甲隊(duì)工作量為1，剩余工作量為1-3/5=2/5甲每天完成工作的2/5*1/12=1/301-1/30*20=1/3每段路長300*3=900總長=900*2=180029．甲、乙二人從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行60米，出發(fā)一段時間后，二人在距中點(diǎn)120米處相遇，如果甲出發(fā)后在途中某地停留一會兒，二人還將在距中點(diǎn)120米處相遇。問甲在途中停留了多少分鐘？A.7

B.8

C.9

D.10兩次相遇分別在中點(diǎn)兩端120米處甲第二次相遇比第一次相遇少行了240米，所花時間為3分鐘乙多行了240米要花時間為240/60=4所以甲停留了3+4=730．小明早上從家步行去學(xué)校，走完一半路程時，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)書丟在家里，隨即騎車去給小明送書。追上時，小明還有的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校。這樣，小明比獨(dú)自步行提早5分鐘到校，小明從家到學(xué)校全部步行需要多少時間？A.20

B.23

C.25

D.271/2-3/10=1/5爸爸與小明速度比為7/10：1/5=7：2剩下的路程小明自己走要花5/（1-2/7）=7總時間為7*10/3=70/331．小張，小王，小李同時從湖邊同一地點(diǎn)出發(fā)，繞湖行走。小張速度是每小時5.4千米，小王速度是每小時4.2千米，他們兩人同方向行走，小李與他們反方向行走。半小時后小張與小李相遇，再過5分鐘，小李與小王相遇。那么繞湖一周的行程是多少千米？A.5.4

B.4.2

C.3

D.7.2小張和小王半小時內(nèi)拉開的路程=小李和小王5分鐘內(nèi)走過的程所以小李的速度為0.5*(5.4-4.2)/(5/60)-4.2=3所以S=(3+5.4)/0.5=4.232．甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲到達(dá)B地后立即返回，乙到達(dá)A地后也立即返回，已知甲速為乙速的，且甲到達(dá)B地后返回時速度提高，乙到達(dá)A地后返回時速度提高，且甲、乙兩人第一次相遇地點(diǎn)與第二次相遇地點(diǎn)相距35千米。甲、乙兩地距離多少千米？A.165

B.175

C.180

D.200設(shè)AB兩地相距為11份第一次相遇時甲走了5份，乙走了6份當(dāng)乙走到A地時，甲離B地的距離為6-5*5/6=11/6當(dāng)甲走到B地時，乙已經(jīng)離開A地的距離為[（11/6）/5]*6*（1+1/4）=11/4第二次相遇時間為（11-11/4）/[5*（1+1/5）+6*（1+1/4）]=11/18第二次相遇點(diǎn)離B點(diǎn)距離為6*11/18=11/3兩個相遇點(diǎn)相距為6-11/3=7/3所以AB兩地相距（35*7/3）*11=16533．在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，純酒精含量分別為48%，62.5%和。已知三缸酒精溶液總量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙兩缸酒精溶液的總量。三缸溶液混合后，所含純酒精的百分?jǐn)?shù)將達(dá)56%。那么丙缸中純酒精的量為（

）千克A.25

B.20

C.18

D.12甲=乙+丙所以乙和丙混合溶液的濃度為（56%-48%）+56%=64%乙：丙=（2/3-64%）：（64%-62.5%）=16:9所以丙=50*9/25=18純酒精為18*2/3=1234．甲、乙、丙三隊(duì)要完成A，B兩項(xiàng)工程，B工程工作量比A工程的工作量多，甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時間分別是20天、24天、30天。為了同時完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)共同做B工程，經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A工程，那么，丙隊(duì)甲隊(duì)合做了多少天？A.18

B.15

C.10

D.3完成時間=總工作量/工作效率所以T=(1+1.25)/(1/20+1/24+1/30)=18乙地一直在做B工程，所以乙完成的工作量為（1/24）*18=0.75剩下的工作量為1.25-0.75=0.5丙和乙合作了0.5/(1/30)=15丙和甲合作了18-15=335.小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是（）。A．1元B．2元C．3元D．4元【解析】設(shè)圍成三角形的一條邊為a枚，則總數(shù)是3（a-1）.

圍成正方形的邊為a-5,則總數(shù)是4（a-5-1）.

3(a-1)=4(a-5-1)a=21總數(shù)是60

錢是60*0.05=3（元）(三角形和正方形都是空心的………..汗一個.)36.1440的正約數(shù)的個數(shù)為？1440＝2^5×3^2×5^1(5+1)*(2+1)*(1+1)=6*3*2=36把這個數(shù)因式分解然后把所有不同質(zhì)因數(shù)的次方都＋1形成的結(jié)果再相乘!(公式的運(yùn)用.還可以解決小長方形湊成大的長方形種類問題.)37.100名學(xué)生要到離校33千米處的少年宮活動．只有一輛能載25人的汽車，為了使全體學(xué)生盡快地到達(dá)目的地，他們決定采取步行與乘車相結(jié)合的辦法．已知學(xué)生步行速度為每小時5千米，汽車速度為每小時55千米．要保證全體學(xué)生都盡快到達(dá)目的地，所需時間最少是?A(P1)P2P3P4P1P2P3(.P4)B看這個圖：AB是兩地距離,100個人被分成4份，每組是25人.第一組直接從A開始上車被放在P1點(diǎn)。汽車回到P2接到第2組放在了P2點(diǎn)。下面都是一樣，最后一組是在P4接到的。直接送到B點(diǎn)我們知道這4組都是同時達(dá)到B點(diǎn)時間才會最短。那么其4個組步行的距離都是一樣的.當(dāng)?shù)谝唤M被送到P1點(diǎn)時回到P2點(diǎn),這段時間另外三個組都步行到了P2根據(jù)速度比＝路程之比＝55：5＝11：1我們把接到每組之間的步行距離看作單位1.那么汽車從出發(fā)到返回P2就是11個點(diǎn)那么出發(fā)點(diǎn)到P1就是（11＋1）/2=6個點(diǎn)。因?yàn)椴叫械木嚯x相等。所以2段對稱。所以以第一組為研究那么它步行是后面的3份乘車是前面的6份可見全程被分為9份每份是33/9=11/3步行速度是5時間就是(3×11/3)/5=11/5乘車速度是55，時間就是(6×11/3)/55=2/5合計(jì)就是13/538.2.王先生在編一本書，其頁數(shù)需要用6869個字，問這本書具體是多少頁？這個題目是計(jì)算有多少頁。首先要理解題目:這里的字是指數(shù)字個數(shù)，比如123這個頁碼就有3個數(shù)字我們通常有這樣一種方法。方法一：1～9是只有9個數(shù)字，10～99是2×90＝180個數(shù)字100～999是3×900＝2700個數(shù)字那么我們看剩下的是多少6869－9－180－2700＝3980剩下3980個數(shù)字都是4位數(shù)的個數(shù)則四位數(shù)有3980/4=995個則這本書是1000＋995－1＝1994頁為什么減去1?是因?yàn)樗奈粩?shù)是從1000開始算的！方法二：我們可以假設(shè)這個頁數(shù)是A頁那么我們知道，每個頁碼都有個位數(shù)則有A個個位數(shù)，每個頁碼除了1～9，其他都有十位數(shù)，則有A－9個十位數(shù)同理:有A－99個百位數(shù),有A－999個千位數(shù)則：A＋（A－9）＋（A－99）＋（A－999）＝68694A－1110＋3＝68694A＝7976A＝1994(巧妙的運(yùn)用.)39.把1～100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，從1開始，順時針方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8……（每擦去3個數(shù)，留一個數(shù)）。直到最后剩下的一個數(shù)是多少？考察點(diǎn)：周期循環(huán)等比數(shù)列的問題。重在認(rèn)識規(guī)律.主要是看間隔編號的個數(shù)。如該題間隔編號就是1個。例如留1拿走2，留3拿走4，間隔是1：以下公式是按照從去1開始的。那么公式是：2/1×（A－2^n）這是最后剩下的數(shù)字2^n表示A內(nèi)最大的值A(chǔ)表示原始的編號總數(shù)。間隔是2