11.3 多邊形及其內(nèi)角和【原卷版】

第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和1多邊形（1）概念：在平面內(nèi)，有一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.（2）分類：多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形等。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形叫做n邊形。（3）對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.（4）正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.2多邊形的內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和等于(n解釋n邊形的內(nèi)角和可以分成n-2個三角形的內(nèi)角和之和，故n邊形的內(nèi)角和等于(【例】八邊形的內(nèi)角和等于8-2×180°=1080°3多邊形的外角和多邊形的外角和等于360°.解釋（1）多邊形的外角和指的是多邊形每個頂點(diǎn)各取的一個外角之和；（2）證明：n邊形的內(nèi)角和(n則多邊形的外角和等于180°×n【例】五邊形，吧邊形、十邊形的外角和均是360°.4鑲嵌用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，這類問題屬于鑲嵌問題.解釋類似鋪地磚，要求不能有重疊部分，也不能有空隙.常見的地磚可以是正方形，正三角形等.【題型1】與多邊形內(nèi)角有關(guān)的計(jì)算【典題1】在如圖所示的多邊形中，根據(jù)標(biāo)出的各內(nèi)角度數(shù)，求出x的值是．【典題2】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，連接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝()A．280° B．260° C．240° D．220°【鞏固練習(xí)】1.下列正多邊形中，內(nèi)角和為540°的是()A． B． C． D．2.一個多邊形的內(nèi)角和為1260°，則這個多邊形是()A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形3.如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時，測量得∠1＝50°，∠2＝152°，則∠AEC為()A．7° B．6.5° C．6° D．5.5°4.如圖所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是()A．180° B．270° C．360° D．540°5.如圖，六邊形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，則∠F的度數(shù)為()A．110° B．120° C．130° D．140°【題型2】與多邊形外角有關(guān)的計(jì)算【典題1】若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則該多邊形的邊數(shù)為()A．4 B．6 C．7 D．8【典題2】如圖，淇淇從點(diǎn)A出發(fā)，前進(jìn)3米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)3米后又向右轉(zhuǎn)20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個多邊形．則淇淇一共走了米．【鞏固練習(xí)】1.一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，這個多邊形的外角不可能是()A．30° B．40° C．50° D．60°2.在一個多邊形中，小于108°的內(nèi)角最多有()個．A．2 B．3 C．4 D．53.若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的1.5倍，則這個多邊形的邊數(shù)為()A．5 B．6 C．7 D．44.如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝110°，與∠BAD，∠ABC相鄰的外角都是120°，則∠α的值為()A．50° B．55° C．60° D．65°5.如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)5m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)5m，又向右轉(zhuǎn)15°…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，一共走了()m．A．24 B．60 C．100 D．1206.如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于()A．100° B．180° C．210° D．270°【題型3】正多邊形的角度計(jì)算【典題1】一個多邊形的每個內(nèi)角都是108°，則這個多邊形的邊數(shù)為()A．4 B．5 C．6 D．8【典題2】將正六邊形ABCDEF和正五邊形BCGHI按如圖所示的位置擺放，連接DG，則∠CDG＝．【鞏固練習(xí)】1.如果多邊形的每一個外角都是20°，那么這個多邊形的邊數(shù)是()A．8 B．12 C．16 D．182.一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為2：1，則這個正多邊形是()A．正五方形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形3.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1﹣∠2＝()A．72° B．36° C．45° D．47°4.如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，EG平分∠AED，交DC延長線于點(diǎn)G，則∠G為()A．15° B．20° C．25° D．30°【題型4】多邊形的對角線問題【典題1】探究歸納題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過A點(diǎn)可以做條對角線；同樣，經(jīng)過B點(diǎn)可以做條對角線；經(jīng)過C點(diǎn)可以做條對角線；經(jīng)過D點(diǎn)可以做條對角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有條對角線．(2)拓展延伸：運(yùn)用(1)的分析方法，可得：圖2共有條對角線；圖3共有條對角線；(3)探索歸納：對于n邊形(n＞3)，共有條對角線．(用含n的式子表示)(4)運(yùn)用結(jié)論：九邊形共有條對角線．【鞏固練習(xí)】1.若從一個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，最多可畫7條對角線，則它是()邊形．A．七 B．八 C．九 D．十2.一個多邊形只有27條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為()A．8 B．9 C．10 D．113.探究歸納題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過一個頂點(diǎn)(如點(diǎn)A)可以作條對角線，它把四邊形ABCD分為個三角形；(2)拓展延伸：運(yùn)用(1)的分析方法，可得：圖2過一個頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個多邊形分為個三角形；圖3過一個頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個多邊形分為個三角形；(3)探索歸納：對于n邊形(n＞3)，過一個頂點(diǎn)的所有對角線把這個n邊形分為個三角形．(用含n的式子表示)(4)特例驗(yàn)證：過一個頂點(diǎn)的所有對角線可把十邊形分為個三角形．【題型5】多邊形的鑲嵌問題【典題1】正六邊形和下列邊長相同的正多邊形地磚組合中，能鋪滿地面的是()A．正方形 B．正八邊形 C．正十二邊形 D．正四邊形和正十二邊形【鞏固練習(xí)】1.用同一種下列形狀的圖形地磚不能進(jìn)行平面鑲嵌的是()A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形2.用一種正多邊形鋪設(shè)地面時，不能鋪滿地面的是()A．正三角形 B．正四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形3.能夠鋪滿地面的正多邊形組合是()A．正六邊形和正五邊形 B．正方形和正八邊形 C．正五邊形和正八邊形 D．正三角形和正八邊形【題型6】多邊形的去（多角問題）【典題1】一個多邊形截取一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°，則原來多邊形的邊數(shù)可能是()A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10【鞏固練習(xí)】1.一個四邊形，截一刀后得到的新多邊形的內(nèi)角和將()A．增加180° B．減少180° C．不變 D．不變或增加180°或減少180°2.若一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為720°，則原多邊形不可能是幾邊形()A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【A組---基礎(chǔ)題】1.若一個n邊形內(nèi)角和為540°，則n的值為()A．5 B．6 C．7 D．82.小聰利用最近學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，給同伴出了這樣一道題：假如從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線走6米后向左轉(zhuǎn)θ，接著沿直線前進(jìn)6米后，再向左轉(zhuǎn)θ……如此下去，當(dāng)他第一次回到A點(diǎn)時，發(fā)現(xiàn)自己走了72米，θ的度數(shù)為()A．30° B．36° C．60° D．72°3.如圖，將正五邊形與正方形按如圖所示擺放，公共頂點(diǎn)為O．若點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)為()A．15° B．18° C．28° D．30°4.下面能夠鋪滿地面的正多邊形的組合是()A．正方形和正五邊形 B．正方形和正六邊形 C．正方形和正七邊形 D．正方形和正八邊形5.把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDM的CD邊重合，按照如圖的方式疊合在一起，延長MG交AF于點(diǎn)N，則∠ANG等于()A．140° B．144° C．148° D．150°6.已知五邊形各內(nèi)角的度數(shù)如圖所示，則圖中x＝°．7.一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和之比為3：1，則這個多邊形的邊數(shù)是．8.如圖，一個正五邊形和一個正六邊形有一個公共頂點(diǎn)O，則∠1+∠2＝．9.如圖，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，則α的度數(shù)為°．10.已知一個多邊形的邊數(shù)為n，每個內(nèi)角都相等．(1)若這個多邊形的內(nèi)角和的14比外角和多90°，求n(2)若這個多邊形的一個內(nèi)角為108°，求n的值．11.探究與發(fā)現(xiàn)：(1)如圖(1)，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD．①若∠A＝70°，則∠P＝．②若∠A＝α，用含有α的式子表示∠P為．(2)如圖(2)，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖(3)，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：．【B組---提高題】1.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，∠1＝48°，則∠2＝°．2.一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700°的新多邊形