因式分解經(jīng)典講義(精)

第二章分解因式【知識要點】1．分解因式〔1〕概念：把一個________化成幾個___________的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式?！?〕注意：①分解因式的實質是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的結果中，每個因式必須是整式。③分解因式要分解到不能再分解為止。2．分解因式與整式乘法的關系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法為_______關系。3．提公因式法分解因式〔1〕公因式：幾個多項式__________的因式?！?〕步驟：①先確定__________，②后__________________?！?〕注意：①當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變?yōu)?。②當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“〞號。4．運用公式法分解因式〔1〕平方差公式：_________________________〔2〕完全平方公式：_________________________注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等根本方法，做為補充講解內(nèi)容?！究键c分析】考點一：利用提公因式法分解因式及其應用【例1】分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解析：〔1〕題先提一個“〞號，再提公因式；〔2〕題的公因式為；〔3〕題的公因式為；〔4〕題的公因式為。答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕?！纠?】〔1〕，，求的值?！?〕，，求的值。解析：〔1〕題：，所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值；〔2〕題：，整體代入求值時注意符號。答案：〔1〕〔2〕【隨堂練習】1．分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2．不解方程組，求的值注：〔1〕公因式應按“系數(shù)大〔最大公約數(shù)〕，字母同，指數(shù)低〞的原那么來選取?！?〕當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變?yōu)?，而不是沒有?！?〕當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“〞號。〔4〕利用分解因式整體代入往往應用于代數(shù)式的求值問題。考點二：利用平方差公式分解因式及其應用【例3】分解因式：〔1〕〔2〕解析：〔1〕題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；〔2〕題：，所以符合平方差公式，此題注意分解完全。答案：〔1〕；〔2〕?！纠?】計算：〔1〕；〔2〕.解析：〔1〕題：原式中每一個因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡化計算?！?〕題：先化簡，再使用平方差公式。答案：〔1〕；〔2〕。【例5】利用因式分解說明：能被整除。解析：對于符號相反的二項式，我們考慮使用平方差公式。此種題型應先將兩項化為底數(shù)相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，最后湊出除數(shù)。所以能被140整除?！倦S堂練習】1．分解因式：〔1〕〔2〕2.利用分解因式說明：能被60整除.注：〔1〕平方差公式的結構特征是：二項式，兩項都是平方項，且兩項符號相反；〔2〕公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；〔3〕在運用平方差公式的過程中，有時需要變形?？键c三：利用完全平方公式分解因式及其應用【例6】〔1〕分解因式：〔2〕是完全平方式，求的值?！?〕計算：.解析：〔1〕題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式進行分解?！?〕題：此種題型考察完全平方公式的特征，中間項是首尾兩項底數(shù)積的2倍〔或其相反數(shù)〕?！?〕題：。答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕【例7】〔四川·成都〕，那么的值是________。解析：原式的前三項可以進行因式分解，分解為，再將變形為，整體代入求值。答案：1．【隨堂練習】1．〔1〕分解因式：〔2〕假設多項式能運用完全平方差公式進行因式分解，求的值?！?〕2．〔1〕：，，求代數(shù)式?！?〕當時，求代數(shù)式的值。注：〔1〕完全平方公式的結構特征是：三項式，首尾兩項分別為兩個數(shù)的平方，中間項是兩個底數(shù)積的2倍〔或其相反數(shù)〕；〔2〕公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；考點四：綜合利用各種方法分解因式及其應用【例8】分解因式：〔1〕〔2〕解析：〔1〕、〔2〕題都應先利用完全平方公式，再利用平方差公式進行因式分解。答案：〔1〕；〔2〕?！纠?】〔福建·漳州〕給出三個多項式：，請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。解析：此題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。此題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解。如：【例10】分別是三角形ABC的三邊，試證明解析：分別是三角形ABC的三邊，可以想到利用三角形的三邊關系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。由三角形三邊關系可知，上式的前三個因式大于0，而最后一個因式小于0，那么有：【隨堂練習】1．分解因式：〔1〕〔2〕2.〔2023，吉林〕在三個整式：中，請你任意選出兩個進行加〔或減〕法運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。注：分解因式的一般步驟可歸納為：“一提、二套、三查〞。一提：先看是否有公因式，如果有公因式，應先提取公因式；二套：再考察能否運用公式法分解因式；運用公式法，首先觀察項數(shù)，假設為二項式，那么考慮用平方差公式；假設為三項式，那么考慮用完全平方公式。三查：分解因式結束后，要檢查其結果是否正確，是否分解徹底。【穩(wěn)固提高】一、選擇題1．以下從左到右的變形中，是分解因式的有〔〕①②③④⑥⑦=A、1個B、2個C、3個D、4個2．以下多項式能分解因式的是〔〕A、B、C、D、3．以下多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是〔〕A、B、C、D、4．是△ABC的三邊，且，那么△ABC的形狀是〔〕A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形5．如果是一個完全平方式，那么的值是〔〕A、B、C、D、6．多項式分解因式為，那么的值為〔 〕A、B、C、D、7．，那么的值是〔〕A、或B、C、D、或8．假設，那么是〔〕A、B、C、D、9．二次三項式可分解為兩個一次因式的積，下面說法中錯誤的選項是〔〕A、假設，那么同取正號；B、假設，那么同取負號；C、假設，那么異號，且負的一個數(shù)的絕對值較大；D、假設，那么異號，且負的一個數(shù)的絕對值較大。10．，，，那么多項式的值為〔〕A、B、C、D、二、填空題11.分解因式：=.12．在括號前面填上“＋〞或“－〞號，使等式成立：13．假設是一個完全平方式，那么的值是；14．：，那么的值為_____________.15．△ABC的三邊滿足，那么△ABC的形狀是__________.16.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關系，不需要連其他的線，便可以得到一個用來分解因式的公式，這個公式是.17．假設，那么=___________.18．分解因式:________________________.(第16題圖)19．假設，那么___________，___________.20．假設，那么___________.三、解答題21.分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕22．先分解因式，再求值：，求的值23．設，，，〔為大于零的自然數(shù)〕。探究是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表達你所得到的結論。24．對于實數(shù)，定義一種新運算：，分解因式：25．閱讀以下計算過程：99×99+199=992+2×99+1=〔99+1〕2=1002=104〔1〕計算：999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________；9999×9999+19999=__________=_____________=____________=_____________。第三章分式【知識要點】1．分式的概念及特征：、表示兩個整式，÷就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式。2．分式有意義、無意義的條件：因為不能做除數(shù)，所以在分式中，有：那么有意義；那么無意義。3．分式值為零的條件：分式的值為零要同時滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個條件。即那么有且。4.分式的符號法那么：＝＝＝5.分式的運算〔1〕同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即=〔2〕異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p，即==注：1.無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉化成解方程或不等式的問題。2.分式約分步驟：〔1〕找出分式的分子與分母的公因式，當分子分母是多項式時，要先把分式的分子和分母分解因式。〔2〕約去分子與分母的公因式。3.最簡公分母確實定：〔1〕當幾個分式的分母是單項式時，各分式的最簡公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積；〔2〕如果各分母都是多項式，應先把各個分母按某一字母降冪或升冪排列，再分解因式，找出最簡公分母?！究键c分析】考點一：分式有意義、無意義、值等于零的條件〔重點〕【例1】〔2023，天津〕假設分式的值為零，那么的值等于。答案：評析：由于可得，解得或。又因為時，；時，。所以要使分式的值為零，的值只能等于。【隨堂練習】1.假設分式的值為0，那么x的值等于。2.假設分式的值為零，那么x的值等于?？键c二：分式的約分【例2】〔2023，吉林〕化簡的結果是〔〕A．B．C.D.答案：Ｄ評析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項式，且都能分解，因此應先將分子分母分解因式，再約去公因式。如注：1.在應用分式的根本性質時要充分理解＂都＂和＂同＂這兩字的含義。2.約分的結果是最簡分式或整式?！倦S堂練習】1.〔2023，太原〕化簡的結果是〔〕A.B.C.D.2．化簡)的結果是〔〕A.B.C.D.考點三：分式的加減運算〔重點〕【例3】〔2023，長沙〕分式的計算結果是〔〕A.B.C.D.答案：C評析：先通分化為同分母分式，再進行加法運算。+=+==注：1.同分母分式加減運算中的“把分子相加減〞是指把各個分式的“分子的繁體相加減，故當分子是多項式時，應加括號。2.通分和約分是兩種截然不同的變形，約分是針對一個分式而言，通分是針對多個分式而言；約分是將一個分式簡化，通分是將一個分式化繁?！倦S堂練習】〔2023，杭州〕化簡的結果是〔〕A.B.C.D.考點四：分式的乘除運算【例4】〔2023，天水〕，計算評析：因為，所以且,即原式==,當時，原式=注：先化簡再求值，運算更簡便，分式的乘除運算要進行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習】化簡1.2..考點五：分式的混合運算【例5】〔2023，常德〕化簡：評析：原式==注：1.正確運用運算法那么；2.靈活運用運算規(guī)律；3.運算結果要最簡化【隨堂練習】〔2023，瀘州〕化簡：考點六：條件分式求值的常用技巧〔難點〕【例6】，那么分式的值為答案:評析:由條件不能直接求出的值，所以考慮將條件向著所求代數(shù)式的方向進行變形轉化，通過整體代換解決問題。由,可得,所以,所以原式===注：條件分式求值主要方法有：1.參數(shù)法：當條件形如所要求值的代數(shù)式是一個含而又不易化簡的分式時，常設〔就是我們所說的參數(shù)〕，然后將其變形為的形式，再代入所求代數(shù)式，約分即可。2.整體代換法：假設由條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把條件和所求代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危缓笳w代換，可使問題得到解決．【隨堂練習】，求代數(shù)式的值假設，那么的值【穩(wěn)固提高】一、選擇題1．〔2023，荊門〕計算：的結果是〔〕A.B.C.D.2．〔2023,威?！郴?的結果是〔〕A.B.C.D.3．假設，那么等于〔〕A.B.C.D.4．〔2023,河北〕化簡的結果是〔〕A.B.C.D.5．〔2023,陜西〕化簡的結果是〔〕A.B.C.D.二、填空題6．計算：7．〔2023，漳州〕假設分式無意義，那么實數(shù)8．〔2023，黃岡〕當x=2023時，代數(shù)式的值為9．在以下三個不為零的式子：中，任選兩個組成一個分式是把這個分式化簡所得結果是三、解答題10．(2023,煙臺)先化簡，再求值：，其中11．(2023,貴陽)先化簡：，當時，再從的范圍選取一個適宜的整數(shù)代入求值。12．〔表格信息題〕按以下圖的程序計算，把答案寫在表格內(nèi)：→平方→〔〕→→〔〕→答案〔1〕填寫表格輸入輸出答案〔2〕請將題中的計算程序用代數(shù)式表達出來，并化簡。13．〔條件開放題〕請從以下三個代數(shù)式中任選兩個構造一個分式，并化簡該分式：第四章相似三角形【知識要點】1．相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。注：〔1〕兩個全等三角形一定相似〔2〕兩個直角三角形不一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。〔3〕兩個等腰三角形不一定相似。兩個等邊三角形一定相似。2．相似比〔1〕相似三角形對應邊的比叫做相似比。〔2〕面積比等于相似比的平方。注：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比，而∽△ABC的相似比，這時。3．相似三角形的識別〔1〕如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似?！?〕如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似?！?〕如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。【考點分析】考點一：相似三角形的判定【例1】如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有〔〕對。解析：由平行線的性質，，可知∥，，，再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。答：4對?！倦S堂練習】1．如圖，：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形，使△ABC所分成的每個三角形與△DEF所分成的每個三角形，分別對應相似？如果可能，請設計一種分割方案；假設不能，說明理由。考點二：相似三角形的識別、特征在解題中的應用【例2】〔2023·廣東省〕如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連結CF交AD于點E。〔1〕求證：△CDE∽△FAE；〔2〕當E是AD的中點，且BC＝2CD時，求證：∠F＝∠BCF。解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE，又E為AD中點∴DE＝AE，從而CD＝FA，結合條件，易證BF＝BC，∠F＝∠BCF〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE〔2〕∵E是AD中點，∴DE＝AE由〔1〕得：∴CD＝AF∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD∴AB＝CD＝AF∴BF＝2CD，又BC＝2CD∴BC＝BF∴∠F＝∠BCF注：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。【隨堂練習】1．：如圖(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點，過O作EF∥BC分別交AB，DC于E，F(xiàn)。求證：(1)OE=OF;(2);(3)假設MN為梯形中位線，求證AF∥MC。考點三：未知數(shù)的設定應用【例3】在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點P在線段AB上從A向B運動，〔1〕是否存在一個時刻使△ADP∽△BCP；〔2〕假設AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，那么AP的長度為多少？解析：〔1〕存在〔2〕假設△ADP∽△BCP，那么設或或或∴AP長度為4或6【隨堂練習】1．如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長?？键c四：直角三角形相似的比例關系【例4】：如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。求證：(1)；(2);(3)解析：〔1〕掌握根本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D〞中的常用結論。①勾股定理：②面積公式：AC·BC=AB·CD③三個比例中項：,,④⑤〔2〕靈活運用以上結論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項，都平方、立方，或兩等式相乘等。〔3〕學習三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法，以及中間等量代換。第〔1〕題：證法一∵∴證法二∵,∴第〔2〕題：證法一∵，利用ΔBDF∽ΔDAE，證得，命題得證。證法二由得證法三∵∽，∴(相似三角形對應高的比等于對應邊的比)∵DE∥BC，∴∴第〔4〕題：證法一∵,∴，∴證法二：∵ΔADC∽ΔCDB，∴∴·證法三：∵，∴【隨堂練習】1．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，設，，作DE⊥DC，DE交AB于點E，連結EC?！?〕試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？假設相似，請加以證明?！?〕如果不一定相似，請指出a、b滿足什么關系時，它們就能相似？FADEBC【穩(wěn)固提高】1.如圖，DE∥BC，CD和BE相交于O，假設，那么AD：DB＝____________。2.如圖，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，假設△ABC的面積為S，那么△ADE的面積為____________。3.假設正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，那么此正方形的邊長為____________?！?000年武漢市中考題〕4.閱讀下面的短文，并解答以下問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比：，設分別表示這兩個正方體的外表積，那么，又設分別表示這兩個正方體的體積，那么。〔1〕以下幾何體中，一定屬于相似體的是〔〕A.兩個球體 B.兩個圓錐體C.兩個圓柱體D.兩個長方體〔2〕請歸納出相似體的3條主要性質：①相似體的一切對應線段〔或弧〕長的比等于____________；②相似體外表積的比等于____________；③相似體體積的比等于____________。〔2001年江蘇省泰州市中考題〕5.如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高〔〕A.11.25m B.6.6m C.8m6.如圖，D為△ABC的邊AC上的一點，∠DBC＝∠A，，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，那么CD的長是〔〕A. B. C. D.7.如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有〔〕A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD〔2001年杭州市中考題〕8.如圖，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，那么等于〔〕A.1：9：36 B.1：4：9C.1：8：27 D.1：8：369.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求證：10.如圖，△ABC中，D