理論力學(xué)經(jīng)典課件第九章拉格朗日方程

拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程之一。通過(guò)引入普遍化坐標(biāo)和不定乘數(shù)，使用廣義坐標(biāo)和廣義力，可以解決質(zhì)點(diǎn)、剛體系統(tǒng)以及復(fù)雜的場(chǎng)論問(wèn)題。拉格朗日方程的引入質(zhì)點(diǎn)的牛頓方程"質(zhì)點(diǎn)力學(xué)"是力學(xué)的起點(diǎn)，它描述物體的位置、速度和加速度之間的關(guān)系。然而，對(duì)于復(fù)雜的多體系統(tǒng)，其使用起來(lái)可能有些困難。泛函原理拉格朗日方程是一種泛函原理，根據(jù)變分法可以求出使作用量最小的物理路徑。使用普遍化坐標(biāo)，可以將坐標(biāo)的數(shù)量減少到極致。哈密頓原理不同的物理原理可以導(dǎo)致相同的拉格朗日方程。比如哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日方程。拉格朗日方程的基本原理廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)代表了一個(gè)系統(tǒng)的自由度數(shù)，描述了系統(tǒng)自由度的變化方式。廣義力廣義力出現(xiàn)在廣義動(dòng)量中，在潛能場(chǎng)和慣性參考系中它的值不同。哈密頓原理拉格朗日方程是基于哈密頓原理推導(dǎo)出來(lái)的。它是要找到一個(gè)作用量的極小值來(lái)得到的。拉格朗日方程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)拉格朗日方程系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是張量代數(shù)。在群論、微分幾何、復(fù)雜性等領(lǐng)域都有應(yīng)用。拉格朗日方程的推導(dǎo)方法1拉格朗日乘子拉格朗日乘子可以將約束力引進(jìn)到系統(tǒng)當(dāng)中，以便得到更簡(jiǎn)潔和完整的公式。2極小作用量原理極小作用量原理是拉格朗日方程的理論基礎(chǔ)。建立作用量后，在變分法的作用下，導(dǎo)出拉格朗日方程。3虛位移原理虛位移原理用于求解可微系統(tǒng)中各物理量的關(guān)系。在分析物理量變化時(shí)，有助于更快速、更準(zhǔn)確地得到答案。拉格朗日方程的應(yīng)用范圍相對(duì)論約束條件拉格朗日方程可廣泛應(yīng)用于物理學(xué)，如電磁學(xué)、一般相對(duì)論、愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程等，適用于自由度有限或無(wú)限、約束不規(guī)則的各種情況。分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，可以通過(guò)拉格朗日方程模擬分子的運(yùn)動(dòng)。由于此方法需要處理大量的坐標(biāo)和速度，所以需要大量的計(jì)算資源。控制理論將控制算法轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，建立正則形式的控制系統(tǒng)。比如車輛駕駛控制的理論研究工作就大量使用了拉格朗日方程。拉格朗日方程的物理意義拉格朗日方程是系統(tǒng)的普適性描述，它可以描述任意運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，包括一般相對(duì)論和量子力學(xué)的系統(tǒng)。相比牛頓力學(xué)，它更注重系統(tǒng)相對(duì)性的描述，更注重?cái)?shù)量級(jí)、相對(duì)論等問(wèn)題的說(shuō)明。拉格朗日方程的優(yōu)點(diǎn)和局限性優(yōu)點(diǎn)使用普遍化坐標(biāo)，減少坐標(biāo)的數(shù)量，簡(jiǎn)便易行。有廣泛的應(yīng)用范圍，適用于自由度有限、約束不規(guī)則的各種情況。其理論基礎(chǔ)完備，可以從哈密頓原理出發(fā)推導(dǎo)得到。局限性由于要使用變分法求解，對(duì)應(yīng)用復(fù)雜度和計(jì)算資源要求較高。僅適用于可避免奇異性且坐標(biāo)量有限的系統(tǒng)。(尤其是含有剛性體、約束力、非坐標(biāo)的附加力的體系)在非保守力的系統(tǒng)中可能產(chǎn)生不一致現(xiàn)象。拉格朗日方程與哈密頓方程的關(guān)系拉格朗日方程是從哈密頓原理中推導(dǎo)出來(lái)的，而哈密頓方程則與此相反。可以說(shuō)，