2022年百校聯(lián)盟高考理科數(shù)學一模試卷及答案解析

2022年百校聯(lián)盟高考理科數(shù)學一模試卷

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的

1.已知集合用={》|/〃(x+4)W2},N={x|枕-3|<6},則MCN=()

A.(-3,e2-4JB.(-4,9)C.(-4,e2]D.[e2,9)

2.已知復數(shù)z滿足(6+8i)?z=10(1+i),則z的虛部是()

1117

A.-B.C.-4iD.-

5555

),u

3.已知命題p："A6R,f+2x-3>0”的否定是“VxCR,^+2x-3^0i命題q：x>l

是/>/的充分不必要條件”，則下面命題為真命題的是()

A.,(pAq)B.fpMqC.pA-'qD.pi\q

4.已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿足/(-x)+/(X)=0./(5-x)=f(5+x),且f(1)

=2022,則f(2020)-f(2021)=()

A.2026B.4044C.-2022D.-4044

5.恩格爾系數(shù)是指食品支出總額占個人消費支出總額的比重，恩格爾系數(shù)達59%以上為貧

困，50?59%為溫飽，40?50%為小康，30?40%為富裕，低于30%為最富裕.2020年，

某地居民人均可支配收入32189元，2020年某地居民人均消費支出及構成如圖，則下列

說法不正確的是()

第1頁共28頁

其他用品及服務

462元

醫(yī)療保健元

18132.2%

8.7%

教育文化娛樂食品煙酒6397元

2032元30.2%

9.6%

交通通信2762元

13.0%

衣著1238元

生活用品及服務5.8%

元

1260居住5215元

5.9%

24.6%

A.2020年某地居民人均消費各項支出的中位數(shù)是1937.5元

B.2020年某地居民人均消費支出中食品煙酒約是教育文化娛樂的3倍

C.根據(jù)恩格爾系數(shù)可知，2020年某地居民平均處于富裕階段

D.2020年某地居民人均可支配收入中消費支出所占比約是65.9%

6.在平面直角坐標系xOy中，角a的始邊為x軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點P（-3,-4）,

,l+sin2a

則------:—=()

cosa-sina

4949497

A.—B?一號C.——D.-

5255

7.設等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S〃,若45,。25是方程X2-4X+3=0的兩根，則S29=（）

A.60B.116C.29D.58

8.已知正△ABC的邊長為2,A,3分別在x軸，y軸的正半軸（含原點）上滑動，則后?&

的最大值是（）

3^3

A.V3B.3C.2D.——

2

9.已知棱長為4的正四面體ABC。，E,F,N分別是棱AB,AC,A。的中點，則正四面體

A3CQ的外接球被△EFN所在的平面截得的截面面積是（)

781016

A.-7TB.—71C.-7TD.-7T

3333

3

(%2一，0<%<^

10.已知偶函數(shù)/（%）=?若方程/（X）-機=0有且只有.6個不相

%-2,%>|

等的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是（)

1

A.(一2，°)B.(―2?0]C.(-10)D.(一會0]

第2頁共28頁

11.已知雙曲線C：蚤-，=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)1，過點乃的直線

與雙曲線C的右支交于A,B兩點，點。在線段防上，且/FiAO=/BA￡>,第1+2第2=

2疝），則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

12.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“,〃,c,sinA（l-2cosB）=應sinBgcosA-1）,

a=V6.當角C取最大值時，aABC外接圓的直徑是（）

A.2V3B.3V3C.3A/6D.3V6-3V3

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.碳14年代檢測方法是指通過測定被測物中碳14的含量，并通過該含量來推測被測物的

大致年齡的方法.已知被測物中碳14的質(zhì)量N隨時間”單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=

NO-2-輸（No表示碳14原有的質(zhì)量）.2021年3月23日，四川省文物考古研究院聯(lián)合

北京大學對三星堆4號坑年代，使用碳14年代檢測方法進行了分析.經(jīng)過測定，被測物

20

中碳14的質(zhì)量約是原來的一，據(jù)此推測三星堆4號坑距今約年（結果四舍五入

29-------

保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：log229y4.86,log25比2.32.）

%-y+1>0

(x-y+1>0

14.記卜+2y-4W0表示的平面區(qū)域為Si，$一43°表示的平面區(qū)域為S2,則

(y>0

{y>o

在S1內(nèi)任意取一點恰好取自S2的概率是.

15.已知圓C：（x-2）2+（J-2）2=4,過點尸（X0，-X0）的直線/交圓C于不同的兩點

A,B,使得后1=六，則x（）的取值范圍是.

16.已知函數(shù)/（x）=Acos（2x+<p）+b（4>0,0<（p<ir）的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將函

17

數(shù)/G）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移大7個單位長度，然后

224

再向下平移b個單位長度，就得到函數(shù)g（x）的圖象，當xG禽，舞時，記方程g（x）=

2022、、

而五的根從小到大依次為xi,X2,…，X,”貝ljxi+2r2+2*+-+Zr〃-i+x〃=

第3頁共28頁

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某社區(qū)倡導“天天健身，天天快樂”，為了調(diào)查本社區(qū)的社員每天鍛煉的時間

與性別的關系，分別調(diào)查了男女各100人，把每天鍛煉時間不少于120分鐘的人稱為“樂

健者”，否則稱為“善健者”，得到如下統(tǒng)計表:

樂健者善健者合計

男士9010100

女士7030100

合計16040200

（1）若用頻率表示概率，求在20位男士中“樂健者”的人數(shù)的期望是多少？

（2）能否有99.9%把握認為每天鍛煉的時間與性別有關系？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P（解/）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

第4頁共28頁

18.(12分)已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”滿足％=1，即+2-Sw+l=an-S"-i(?

》2).記》"=log2a25+1).

(1)求數(shù)列｛a〃｝,｛為｝的通項公式;

(2)設數(shù)列｛紐｝前〃項和3”求使得不等式〃>9成立的〃的最小值.

第5頁共28頁

19.（12分）已知直四棱柱ABCO-AiBiCiOi的所有棱長均為2,ACHBD=O,點F是棱

A4）的中點.

（1）證明：平面B￡>F_L平面AOF；

1

（2）若直線FC與底面A8CO所成角的正切值為鼻，求二面角B-FC-Oi的余弦值.

第6頁共28頁

20.(12分)已知曲線C上任意一點到尸i(-1,0),Fi(1,0)距離之和為丁，拋物線

E：y1=2px的焦點是點Fi.

(1)求曲線C和拋物線E的方程；

(2)點Q(沖，yo)(xo<O)是曲線C上的任意一點，過點。分別作拋物線E的兩條切

線，切點分別為M,N,求△QMN的面積的取值范圍.

第7頁共28頁

21.(12分)已知函數(shù)/(x)-2ax2+2x+2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當x20時，2/河(x),求a的取值范圍.

第8頁共28頁

請考生從第22、23題中任選一題作答并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應的方框涂黑，

按所選涂題號進行評分；多涂、多答，按所涂的首題進行評分；不涂，按本選考題的首題

進行評分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C,的參數(shù)方程為匕Z2+2cosa；⑺為參數(shù)).以

坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為psin?-

8)=2V2.

(1)求曲線Cl的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

/=J(x-2)

(2)根據(jù)變換公式《%，由曲線G變換得到曲線C3,設點P是曲線C3上的

fV

(y=T^

一個動點，設曲線Ci和C2相交于A,B兩點，求△以B的面積的最大值.

第9頁共28頁

［選修4-5：不等式選講|

23.(1)求不等式*-3x|+|x|》3的解集；

13

(2)已知a>0,b>0,c>0,2a+b+3c=1,求”，、+丁的最小值.

2(a+c)b+c

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2022年百校聯(lián)盟高考理科數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的

1.已知集合加={疝〃(x+4)W2},N={Rk-3|<6),則MAN=()

A.(-3,e2-4]B.(-4,9)C.(-4,e2]D.[e2,9)

解：(x+4)W2}={x[0<x+4We2}={x|-4VxW6-4},N={x||x-31V6}={x]

-6<x-3<6}={x|-3<x<9},

則MCN=(-3,e2-4J.

故選：A.

2.已知復數(shù)z滿足(6+8/),z=10(1+z),則z的虛部是()

1117

A.-B.—C.一曲D.-

5555

解：由(6+8i)?z=10(1+i),得

10(l+i)_5(l+i)(3-4i)_7_1

z-6+8i-(3+4i)(3-4i)-5-5Z,

???其虛部為一，

故選:B.

3.已知命題pt"±WR,，+2x-3>0”的否定是“VxWR,/+2x-3W0”；命題q：“尤>1

是小>》3的充分不必要條件，，，則下面命題為真命題的是()

A.-*(p八q)B.fpf\qC.p/\fqD.p/\q

解：命題p：因為f+2r-3>0”的否定是“Vx€R,/+2x-3W0”；所以命題p

為真命題，

命題(7：因為:>/,則犬>1或xV0,所以是/的充分不必要條件二故命

題q為真命題，

所以p/\q為真命題，

故選：D.

4.已知定義在R上的函數(shù)/(x),滿足f(-x)4/(無)=0,/(5-x)=f(5+x),且f(l)

=2022,則f(2020)-/(2021)=()

A.2026B.4044C.-2022D.-4044

第11頁共28頁

解：因為/(-x)+f(x)=0,/(5-x)=f(5+x),

所以/(x)為奇函數(shù)，/(O)=0,

所以/(10-x)=f(x),即/(10+x)=f(-x)

所以/(20+x)=f(x),

因為/(I)=2022,

則/(2020)-f(2021)=f(0)-/(1)=0-2022=-2022.

故選：C.

5.恩格爾系數(shù)是指食品支出總額占個人消費支出總額的比重，恩格爾系數(shù)達59%以上為貧

困，50?59%為溫飽，40?50%為小康，30?40%為富裕，低于30%為最富裕.2020年，

某地居民人均可支配收入32189元，2020年某地居民人均消費支出及構成如圖，則下列

說法不正確的是(

其他用品及服務

462元

醫(yī)療保健元

18432.2%

8.7%、

教育文化娛樂食品煙酒6397元

2032元一~30.2%

9.6%

交通通信2762兀

13.0%?

衣著1238元

生活用品及服務5.8%

元

1260居住5215元

5.9%

A.2020年某地居民人均消費各項支出的中位數(shù)是1937.5元

B.2020年某地居民人均消費支出中食品煙酒約是教育文化娛樂的3倍

C.根據(jù)恩格爾系數(shù)可知，2020年某地居民平均處于富裕階段

D.2020年某地居民人均可支配收入中消費支出所占比約是65.9%

解：對于A,2020年某地居民人均消費各項支出從小到大為：

462,1238,1260,1843,2032,2762,5215,6397,

1843+2032

中位數(shù)是：——-——=1937.5(元)，故A正確;

6397

對于8,2。2。年某地居民人均消費支出中食品煙酒約是教育文化娛樂的痂。3倍，故

8正確;

第12頁共28頁

6397

對于C,2020年某地恩格爾系數(shù)為-----x100%?19.87%,2020年某地居民平均處于

32189

最富裕階段，故C錯誤；

對于。，2020年某地居民人均可支配收入中消費支出所占比約是：

462+6397+1238+5215+1260+2762+2032+1843

X100%比65.9%,故。正確.

32189

故選：C.

6.在平面直角坐標系xOy中，角a的始邊為x軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點P(-3,-4),

…l+sin2a

則------:一=()

cosa-sina

49R49497

A.—B?一百c.——D.-

5255

解：因為角a的始邊為x軸非負半軸，終邊經(jīng)過點(-3,-4),

一44-33

所以sina=f=-c，cosa

J(-3)2+(-4)25J(-3)2+(—4)2

、/43、2

1+sin2a(sina+cosaY(一三一^)49

cosa-sinacosa-sina---f--)5

5i5，

故選：A.

7.設等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S?,若。5,。25是方程f-4x+3=0的兩根，則529=()

A.60B.116C.29D.58

解：。25是方程/-以+3=0的兩根，

?-4

.??。5+。25=----j-=4,

???{%}是等差數(shù)列，

.292929

529=-2~(。1+。29)—-2(〃5+。25)=-yX4=58.

故選：D.

8.已知正△ABC的邊長為2,4,8分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則兒?后

的最大值是()

l3>/3

A.V3B.3C.2D.—

2

解：設NBAO=e,則NCAx=120°-0,

OA=cos0,OB=sin。，

??.點A(2cos8,0),由此可得點C(2cos8+2cos(120°-6),2sin(120°-6)).

第13頁共28頁

可得：OC=(2cos0+2cos(120°-0),2sin(120°-0)).

：.OA-OC=(2cos0)[2cos0+2cos(120°-0)]+0X2cos(120°-0)

=2V3sin6cos0+2cos20=1+cos20+V3sin20

77

—2sin(20+z)+1,

6

因為0W0V?,所以:W20+^v\,

z6t>o

所以一看Vsin(20+5)Wl,

26

則品的最大值：3.

故選:B.

9.已知棱長為4的正四面體ABCQ,E,F,N分別是棱A8,AC,AO的中點，則正四面體

A8CZ）的外接球被△EFN所在的平面截得的截面面積是（）

781016

A.一兀B.-nC.---7TD.---7T

3333

解：過點A作平面BCO的垂線，垂足為”，交平面EFN于點。1

設該四面體外接球球心為O,連接08,BH,作圖如下所示,

因為四面體ABCO為正四面體，且4H_1面88,

故，點為△8CO的外心，則該四面體的球心一定在A”上，不妨設外接球球心為。;

因為E,F,N分別為A8,AC,AO的中點，則EF〃BC,FN//CD,

又EFCFN=F,BCCCD=C,

5.EF,FNU面EFN,BC,CDcffiBCD,故平面EFN〃平面88,

故AO」面E/W,又E為48中點，故O,也為AH中點.

因為正四面體ABCD的所有棱長為4,故BH=我苧'4=竽，

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則44=7AB2-BH2=小6_竽=殍,O'H=：AH=竽：

設該四面體的外接球半徑為凡即。4=O8=R,則。H=4H—R=孚一R,

在中，0吊+Bffi=O中,即（竽-R）2+（警產(chǎn)=R2,

解得R=V6,故。。'=R—AO'=V6—=整.

\/61-

即外接球球心0到平面EFN的距離為不，又外接球半徑為幾，

設平面aW截外接球所得圓的半徑為r,則*+咯2=（76）2,

解得N=學，故截面圓的面積為半兀.

故選：D.

C

/ao<%<-?

10.己知偶函數(shù)/（%）={2R——2,若方程f（X）-%=0有且只有6個不相

VX-2,%>5Z

等的實數(shù)根，則實數(shù)，〃的取值范圍是（）

IppI

A.（-2，0）B.（―/0]C.（―2/0）D.（一之，0]

解：當OWxW,時，/(x)=(JC2—1x)e*

f(x)=(2x-f)/+(/—*)/=3+3產(chǎn)-D?,

第15頁共28頁

所以當OWxWl時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當lWxw|時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

因為/(0)=0,f(1)=一*/(~)=0,

因為函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，所以其函數(shù)圖象大致如圖所示,

因為方程/(x)-m=Q有且只有6個不相等的實數(shù)根，

所以函數(shù)y=f(x),y="圖象有且只有6個不同的交點，

所以根據(jù)圖象，實數(shù)，〃的取值范圍是(一表0).

故選：A.

11.己知雙曲線C：~~^=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Q,尸2,過點F2的直線

與雙曲線C的右支交于兩點，點。在線段BQ±.,iLZF\AD=ZBAD,AF1+2AF2=

2元)，則雙曲線C的離心率為()

A.\[2B.V3C.2D.V5

解：根據(jù)題意，作圖如下：

因為4、+2AF2=2AD,故可得4%=2{AD-AF2)=2F》，

故可得AQ〃。/2，且|。尸21=；|4F/,故。，出分別為FiB,A8的中點;

又/為AO=/BAD,故可得AD既是三角形ABB的中線又是角平分線，

故可得|4尸1|=以3|;又入為AB中點，由對稱性可知：AB垂直于x軸.

故△AF18為等邊三角形，則NAFi尸2=30°；

c2y2,2,2

令x=c,可得解得y=±R，故可得|/尸2|=方，

aa

第16頁共28頁

則=2|4BI=詈，由雙曲線定義可得:|AFi|-\AF2\=2a,

12.在△ABC中，角4,8,C所對的邊分別為a',c,sin4(l-2cosB)=&sinBgcosA-1),

a=V6.當角C取最大值時，△ABC外接圓的直徑是()

A.2V3B.3V3C.3V6D.3V6-3V3

解：因為sin4(l—2cosB)=y[2sinB(>f2cosA—1),所以sinA+V2sinB=2sinC.

根據(jù)正弦定理可知a+?6=2c,因為a=&，所以c="

61廬6+2層+4同

b2-243b+91.,9、夜、1

所以“SC、一嬴L二4后=乖但”一溝2乖Xn2jbx972

5一彳=

\/6—A/2

-4~，

當且僅當6=看即人=3時取等號，所以。=與2,

所以cosC取最小值如盧時C取最大值，此時sinC=J1_(^^)2=粵生，

瓜中3叵

所以出△ABC外接圓的直徑為三==2V3.

stnCV6+V2

4

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.碳14年代檢測方法是指通過測定被測物中碳14的含量，并通過該含量來推測被測物的

第17頁共28頁

大致年齡的方法.已知被測物中碳14的質(zhì)量N隨時間”單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=

No二-麻（No表示碳14原有的質(zhì)量）.2021年3月23日，四川省文物考古研究院聯(lián)合

北京大學對三星堆4號坑年代，使用碳14年代檢測方法進行了分析.經(jīng)過測定，被測物

中碳14的質(zhì)量約是原來的工，據(jù)此推測三星堆4號坑距今約3094年（結果四舍五

入保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：Iog22944.86,log25=2.32.）

N_t20

解：由題意可得，一=25730=一,

No29

則1。。2瑞=一冊，解得，=-5730X（log220-log229）=-5730X（log24+log25-log229）

?-5730X（2+2.32-4.86）々3094（年）.

故答案為：3094.

X-y+1>0

(x-y+1>0

今一4，。表示的平面區(qū)域為S2,則

14.記x+2y-4W0表示的平面區(qū)域為Si，

(y>0

{y>0

在Si內(nèi)任意取一點恰好取自S2的概率是_二.

聯(lián)3-y+1=025

解:聯(lián)%+2y-4=0A3,3

/x-y+l>0

：.\x+2y-4<0對應的三角形ABC的面積Si=之x5x2=今,

ly>0236

%—y+1>0

：［3-4，。對應的ACOD的面積52=SI-S^BOD=華一/1義1=稱,

y>0

a

—22

則根據(jù)幾何概型的概率公式可知在Si內(nèi)任意取一點恰好取自S2的概率為：-k=~

—25

6

22

故答案為：—

第18頁共28頁

15.已知圓C：(x-2)2+(y-2)2=4,過點P(xo，70)的直線/交圓C于不同的兩點

A,B,使得屬1=n，則xo的取值范圍是—[-E,V14]_.

解:如圖所示，由圓的切割線定理可得，|/利?『8|=|PD|?|PE|=(|PC|+r)(|PC|-r)=|PQ2

"：PA=AB,

：.\PA\=\AB\,\PA\^PB\=\AB\-2\AB\=2\AB^，

2r=4,

.?.2|48隈32,

2222

\PC\=(x0-2)+(-x0-2)=2詔+8,\PC\-N=2瞪+8-4=2詔+4,

；.2就+4<32,解得殉6[-V14,V14].

故答案為：[一舊，V14].

16.已知函數(shù)/(x)=Acos(2x+(p)+b(A>0,0<cp<ir)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將函

第19頁共28頁

17

數(shù)/(x)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一倍，再向右平移一兀個單位長度，然后

224

再向下平移。個單位長度，就得到函數(shù)g(X)的圖象，當X6號，舞時，記方程g(x)=

onon147r

77萬7的根從小到大依次為xi，必…，%,則用+2X2+2X3+…+2x〃-1+式〃=二一.

ZUZ1—3—

解：由圖象知：4=3-彖1.)=2,b=3-尸)=1,

則/(x)=2cos(2x+(p)+1,

因為點(0,2)在函數(shù)圖象上，

所以2coscp+l=2,即cose/?=

因為0V(pVm

所以W—p

即/(%)=2cos(2%+引+1,

由題意得g(x)=2cos(4%一等),

因為工￡■，翳]，

所以4%-6[-5,4TT],

令0=4%-^,

則方程g(x)=磊即為cos。=疆，

在同一坐標系中作出函數(shù)y=cos。，、=黑!的圖象，如圖所示,

由圖象知：在[一號，4捫上，兩個函數(shù)有5個交點，即〃=5,

其中01+02=0,02+03=211,03+04=471,04+05—61T,

第20頁共28頁

.5n,.57r八)5TT,.57r.5TT..57r

即4%]—g-+4%2—=0,4%2—+4%3-g-=27r,4%3—g-+4%4-g-=

4TT,4%4—+4%5—=6TT,

々〃用,57r,117T,17n,237r

解得％1+%2='%2+%3=]2，的+%4=]2'*+久5=^2f

所以+2%2+2%3+2%4+%5=~~2~

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某社區(qū)倡導“天天健身，天天快樂”，為了調(diào)查本社區(qū)的社員每天鍛煉的時間

與性別的關系，分別調(diào)查了男女各100人，把每天鍛煉時間不少于120分鐘的人稱為“樂

健者”，否則稱為“善健者”，得到如下統(tǒng)計表:

樂健者善健者合計

男士9010100

女士7030100

合計16040200

（1）若用頻率表示概率，求在20位男士中“樂健者”的人數(shù)的期望是多少？

（2）能否有99.9%把握認為每天鍛煉的時間與性別有關系？

2

n(ad-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

P(4%)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：（1）由數(shù)表可得，每個男士為“樂健者”的概率估計值為二二二0.9,

100

20位男士中“樂健者”的人數(shù)為X,任取一個男士的試驗，有“樂健者”和“善健者”

兩個結果，

第21頁共28頁

9

故乂~8(20,—),

10

Q

故E(X)=20xm=18,

故在20位男士中“樂健者”的人數(shù)的期望是18.

2_200x(90x30-70x10)2

(2)K=160x40x100x100=12.5>10.828,

???有99.9%把握認為每天鍛煉的時間與性別有關系.

18.(12分)已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S?,滿足。1=1,an+2-Sn+i=an-Sn-\Cn

22).記—=10g242(w+1).

(1)求數(shù)列｛斯｝，｛5｝的通項公式;

(2)設數(shù)列｛柒｝前n項和求使得不等式Tn>9成立的n的最小值.

解：(1)設正項等比數(shù)列｛斯｝的公比為4>0,

?Clfi+2一S〃+]=0?-Sn-1(〃22),

an+2=2?！?即+1(〃22),

*0

??ClnQ=2?！?Cinq，

化為：/-q-2=3q>0,

解得q=2.

，斯=2"I

??C125+1)=2?"+1,

?"?bn—log2^2(〃+1)=2〃+1,

**?Ckn=2"?,bn=2〃+1.

“、空_2n+1

an2-1

*,?數(shù)歹lJ{*}前n項和7j；=3+搟+5+...+2：)心,

.17_3,5,7,^2n-l2n+l

../，尸2+/+/+....++~^n~'

1111

.T?z,,,x2n+l1J2n+l

??尹—3+21+m+……+布)一丁一3+2X-^---------

幾+

r?=io-25

2n-1

不等式加>9化為：猾vi,

解得：

第22頁共28頁

，使得不等式T“>9成立的〃的最小值為5.

19.(12分)已知直四棱柱ABC。-481cmi的所有棱長均為2,ACnB￡>=O,點F是棱

A4i的中點.

(1)證明：平面平面AOF；

(2)若直線FC與底面48CO所成角的正切值為點求二面角8-FC-5的余弦值.

(1)證明：因為直四棱柱所有棱長為2,所以底面ABC。為菱形，

BDA.AO,A4i_L底面ABCD,則△以8△用。，F(xiàn)B=FD,

又。為8。中點，所以BOJ_F。，AOHFO=O,所以BO_L平面4。凡

又因為BQu平面BFD中，所以平面平面AOF；

(2)解：因為PC在底面ABC。的投影為AD所以FC與底面48CZ)所成角為NFCA,

tan^.FCA=FA=1,求得AC=2,

所以△ABC為等邊三角形，/ABC=60°,

則以A為原點，設BC中點為E,過BC中點E的AE方向為x軸，A。方向為y軸，AAt

方向為z軸建立空間直角坐標系，

B

求得B(b，-1,0),C(V3,1,0),F(0,0,1),D\(0,2,2),

第23頁共28頁

設平面2FC的法向量為元=(x「zi),FB=(V3,-1,-1),FC=(V3,1,-

則加?W，即1品-%一為=0,

、元.BC=0l遍%]+yi-Z1=0

令xi=l得Zi=W，則4=(1,0,V3)；

設平面FC￡>1的法向量為A=(次，丫2,Z2),FC=(V3,1,一1),FR=(0,2,1),

TT/—

則,n2-FC=0g|](V3x2+y2-Z2=0t

兄.FD1=012y2+z2=0

—3\/3_—

22々一8'

_3y/~G

即二面角B-FC-D\的余弦值為一［.

4A/3

20.(12分)已知曲線C上任意一點到Fi(-1,0),Fi(1,0)距離之和為丁，拋物線

E：?=2px的焦點是點F2.

(1)求曲線C和拋物線E的方程；

(2)點Q(刈，網(wǎng))(孫(0)是曲線C上的任意一點，過點。分別作拋物線E的兩條切

線，切點分別為M,N,求△QA7N的面積的取值范圍.

解：(1)依題意，曲線C是以Fi(-1,0)