四年級(jí)奧數(shù)(2)簡(jiǎn)單的數(shù)列求和

教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題〔一〕世界著名的數(shù)學(xué)家高斯〔1777年～1855年〕，幼年時(shí)代聰明過(guò)人。上小學(xué)時(shí)，有一天數(shù)學(xué)老師出了一道題讓全班同學(xué)計(jì)算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快地說(shuō)出了正確答案5050。那些正忙著把這100個(gè)數(shù)一個(gè)一個(gè)相加求和的同學(xué)大吃一驚!小高斯有什么竅門(mén)呢？原來(lái)小高斯通過(guò)細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)1～100這一串?dāng)?shù)中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。即：與這串?dāng)?shù)首末兩端距離相等的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和，都等于首末兩數(shù)的和，這樣的和為101的數(shù)共有100÷2＝50對(duì)。于是小高斯就把這道題巧算為：1＋2＋3＋…＋99＋100＝〔1＋100〕×100÷2＝5050像1，2，3，…，99，100這樣的一串?dāng)?shù)我們稱為“等差數(shù)列〞，下面介紹有關(guān)等差數(shù)列的概念。假設(shè)干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。從第一項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差，數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。例如：〔1〕5，6，7，8，…，100；〔2〕1，3，5，7，9，…，99；〔3〕4，12，20，28，…，804；〔4〕1，4，8，16，…，256。其中〔1〕是首項(xiàng)為5，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；〔2〕是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；〔3〕是首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為804，公差為8的等差數(shù)列；〔4〕中前后兩項(xiàng)的差都不相等，它不是等差數(shù)列。從高斯的故事我們知道，要想求出像1，2，3，…，99，100這一等差數(shù)列的和，只要用第一個(gè)數(shù)1與最后一個(gè)數(shù)100相加求和，再乘以這串?dāng)?shù)的個(gè)數(shù)100，最后除以2。由此，我們得到等差數(shù)列的求和公式為：數(shù)列和＝〔首項(xiàng)＋末項(xiàng)〕×項(xiàng)數(shù)÷2[例1]計(jì)算1＋2＋3＋…＋1999[分析與解]這串加數(shù)組成的數(shù)列1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，公差是1，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，項(xiàng)數(shù)是1999。根據(jù)等差數(shù)列求和公式可解得：原式＝〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000[例2]求首項(xiàng)是5，公差是3的等差數(shù)列的前1999項(xiàng)的和。[分析]等差數(shù)列中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系是：末項(xiàng)＝首項(xiàng)＋公差×〔項(xiàng)數(shù)－1〕[解]末項(xiàng)＝5＋3×〔1999－1〕＝5999和＝〔5＋5999〕×1999÷2＝6000998[例3]計(jì)算3＋7＋11＋…＋99[分析]這串加數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，公差是4，首項(xiàng)是3，末項(xiàng)是99，但是我們發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)從題中看不出來(lái)，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)上例中介紹的等差數(shù)列中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到：項(xiàng)數(shù)＝〔末項(xiàng)－首項(xiàng)〕÷公差＋1[解]項(xiàng)數(shù)＝〔99－3〕÷4＋1＝25原式＝〔3＋99〕×25÷2＝1275[例4]計(jì)算〔1〕2000－3－6－9－…－51－54〔2〕〔2＋4＋6＋…＋96＋98＋100〕－〔1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〕〔3〕1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2[分析與解]〔1〕利用第一講中的知識(shí)，“某數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，等于減去這幾個(gè)數(shù)的和〞，可將原式轉(zhuǎn)化為：2000－〔3＋6＋9＋…＋51＋54〕，所以，此題關(guān)鍵是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。3＋6＋9＋…＋51＋54＝〔3＋54〕×[〔54－3〕÷3＋1]÷2＝57×9＝513從而，原式＝2000－513＝1487?！?〕同學(xué)們可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法。這樣做，很自然，也比擬簡(jiǎn)便。有其他更為簡(jiǎn)單的解法嗎？再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加減法性質(zhì)，先做減法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它們的差都等于1，然后計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個(gè)。由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減〔以大減小〕，共得50個(gè)差數(shù)1，從而，原式＝〔2－1〕＋〔4－3〕＋…＋〔98－97〕×〔100－99〕＝50〔3〕利用求解題〔2〕的經(jīng)驗(yàn)，容易發(fā)現(xiàn)1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3這樣，此題就歸結(jié)為計(jì)算上述差的個(gè)數(shù)?？梢赃@樣計(jì)算，由于此數(shù)列為等差數(shù)列，公差是3，由求項(xiàng)數(shù)公式可求得項(xiàng)數(shù)為：〔1991－2〕÷3＋1＝664〔個(gè)〕這664個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)做減法運(yùn)算，共得到664÷2＝332個(gè)差數(shù)，因而＝3×332＝996[思考]還可以怎樣計(jì)算出差的個(gè)數(shù)？〔還可根據(jù)每個(gè)括號(hào)中被減數(shù)所組成的等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)?！砙例5]2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1[解]原式＝1999×〔2000－1998〕＋1997×〔1998－1996〕＋…＋3×〔4－2〕＋2×1＝〔1999＋1997＋…＋3＋1〕×2＝〔1999＋1〕×[〔1999－1〕÷2＋1]÷2×2＝2000×1000＝2000000[小結(jié)]解簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題，首先要判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列，再找出首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等相關(guān)量，最后運(yùn)用相應(yīng)公式正確求解?！灸芰τ?xùn)練】1．計(jì)算：〔1〕1＋2＋3＋…＋76＋77＋78〔2〕1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〔3〕2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210〔4〕4＋7＋10＋…＋292＋295＋2982．求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3．求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。4．計(jì)算：〔1〕4000－1－2－3－…－76－77－78〔2〕560－557＋554－551＋…＋500－497〔3〕204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6*5．計(jì)算：〔1〕〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕〔2〕1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28參考答案【能力訓(xùn)練】1．〔1〕〔1＋78〕×78÷2＝3081〔2〕〔1＋99〕×50÷2＝2500〔提示：1到100這一百個(gè)自然數(shù)中奇、偶數(shù)各一半〕〔3〕〔2＋210〕×[〔210－2〕÷4＋1]÷2＝5618〔4〕〔4＋298〕×[〔298－4〕÷3＋1]÷2＝149492．〔5＋93〕×[〔93－5〕÷4＋1]÷2＝11273．末項(xiàng)＝13＋〔30－1〕×5＝158和＝〔13＋158〕×30÷2＝25654．〔1〕4000－〔1＋2＋3＋…＋78〕＝4000－[〔1＋78〕×78÷2]＝4000－3081＝919〔2〕3×11＝33〔等差數(shù)列560，557，554，551，…，500，497，共有〔560－497〕÷3＋1＝22項(xiàng)〕〔3〕6×17＝102〔等差數(shù)列204，198，192，…，12，6，共有〔204－6〕÷6＋1＝34項(xiàng)〕*5．〔1〕1＋〔3－2〕＋〔5－4〕＋〔7－6〕＋〔1999－1998〕＝1＋999×1＝1000〔2〕〔1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28〕－2×〔4＋8＋…＋24＋28〕＝〔1＋28〕×28÷2－2×〔4＋28〕×[〔28－4〕÷4＋1]÷2＝29×14－16×14＝13×14＝182教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題〔二〕上一講中，我們學(xué)習(xí)了什么是等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和公式，以及求項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)的公式。這一講，我們介紹如何利用這些公式，解決與等差數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題。[例1]求所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和。[分析]首先應(yīng)分析一下被2除余數(shù)是1的三位數(shù)是哪些數(shù)。能被2整除的三位數(shù)中最小的是100，所以被2除余數(shù)是1的三位數(shù)中最小的是101。采用同樣的方法可知，三位數(shù)中最大的被2除余1的數(shù)是999，而且這樣的三位數(shù)前后兩數(shù)都差2，因此它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故可以利用等差數(shù)列求和公式求和。[解]所求的三位數(shù)的和是101＋103＋105＋…＋999項(xiàng)數(shù)＝〔999－101〕÷2＋1＝898÷2＋1＝450和＝〔101＋999〕×450÷2＝247500答：所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和是247500由例1可以看出，解這種類(lèi)型題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，然后求和。[例2]1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是多少？[分析與解]如果要直接找出1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)比擬麻煩，因此我們采用間接的方法來(lái)解?？梢韵确謩e找出能被5或9整除的數(shù)，并求出它們的和，然后再?gòu)?＋2＋3＋…＋100的和中減去它們的和，即為所求的解。1至100內(nèi)所有能被5整除的數(shù)是5，10，15，…，100，這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)＝〔100－5〕÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此5＋10＋15＋…＋100＝〔5＋100〕×20÷2＝105×20÷2＝10501至100內(nèi)所有能被9整除的數(shù)是9，18，27，…，99，這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)＝〔99－9〕÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝〔9＋99〕×11÷2＝108×11÷2＝594應(yīng)該注意到，1至100內(nèi)45，90這兩個(gè)數(shù)既能被5整除，又能被9整除，因此在上面兩個(gè)數(shù)列的求和中都有45、90這兩個(gè)數(shù)。所以，1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是：〔1＋2＋3＋…＋100〕－〔5＋10＋15＋…＋100〕－〔9＋18＋27＋…＋99〕＋〔45＋90〕＝5050－1050－594＋135＝3541由例2可以看出，解這種類(lèi)型的題目時(shí)，如果直接找數(shù)列比擬困難，那么可以采用間接的方法求解。另外，解題時(shí)分析思考要周密細(xì)致，列算式時(shí)不要重復(fù)，也不要遺漏。[例3]用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖4－1所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形，如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴？[分析與解]如果把圖中最上端的一個(gè)三角形看作第一層，與第一層緊相連的3個(gè)三角形〔向上的三角形2個(gè)；向下的三角形1個(gè)〕看作第二層，那么這個(gè)圖中一共有10層三角形。這10層三角形每層所需火柴根數(shù)，自上而下依次為：3，6，9，…，3×10。它們成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為3，公差為3，項(xiàng)數(shù)為10。求火柴的總根數(shù)，也就是求這個(gè)等差數(shù)列各項(xiàng)的和，即3＋6＋9＋…＋30＝〔3＋30〕×10÷2＝33×5＝165〔根〕所以，一共要放165根火柴。[例4]15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？[分析與解]我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的五個(gè)連續(xù)奇數(shù)求和的情況。例如，3＋5＋7＋9＋11＝35可以看出，用這五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的中間一項(xiàng)7乘以項(xiàng)數(shù)5也可以得到和為35。反過(guò)來(lái)，用和35除以項(xiàng)數(shù)5就可以得到它們的中間項(xiàng)7。根據(jù)這一經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于例4，15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995，可求得這個(gè)等差數(shù)列的中間一項(xiàng)為哪一項(xiàng)1995÷15＝133?，F(xiàn)在如果把中間一項(xiàng)看作是第1項(xiàng)，那么原來(lái)的末項(xiàng)，即第15項(xiàng)就是現(xiàn)在的第8項(xiàng)。這一項(xiàng)，也就是最大的奇數(shù)為：133＋〔8－1〕×2＝133＋14＝147[思考]仿照此例題的解法，求這15個(gè)連續(xù)奇數(shù)中最小的奇數(shù)。[例5]盒子里放有1只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只球？[分析與解]一只球變成4只球，實(shí)際上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球……第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，多了3×1＋3×2＋…＋3×10＝3×〔1＋2＋…＋10〕＝3×55＝165〔只〕加上原有的1只球，盒子里共有球165＋1＝166〔只〕。[例6]有10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面時(shí)如果每人和其余的每個(gè)人只握一次手，那么10個(gè)人共握手多少次？[分析]設(shè)10個(gè)人分別為，我們從開(kāi)始按順序分析：這9個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手9次；由于已和握過(guò)手，所以只能和這8個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手8次；由于已和握過(guò)手，所以只能和這7個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手7次；以此類(lèi)推……只能和握手1次。將以上的握手次數(shù)求和即可。[解]這10個(gè)人總共握手的次數(shù)為1＋2＋3＋…＋8＋9＝〔1＋9〕×9÷2＝45〔次〕這題我們采用按順序逐個(gè)分析，從中找出規(guī)律的思考方法，這是個(gè)重要的方法。[小結(jié)]我們通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)知道，解與等差數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，解題時(shí)分析思考要仔細(xì)，多算一項(xiàng)、少算一項(xiàng)都將造成結(jié)果的錯(cuò)誤。【能力訓(xùn)練】1．求所有的除以4后余1的兩位數(shù)的和。2．在1～100這100個(gè)數(shù)中，所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少？3．用相同的立方體擺成如圖4－2的形式，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個(gè)立方體？4．有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣如圖4－3，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊三個(gè)點(diǎn)……這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，求這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？5．24個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1992，其中最大的一個(gè)偶數(shù)是幾？6．時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)也敲一下。求時(shí)鐘一晝夜總共敲打多少次？7．平面上共有10個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，求過(guò)這些點(diǎn)最多可以畫(huà)出多少條直線？8．在北京與上海之間開(kāi)行的火車(chē)，除起點(diǎn)站和終點(diǎn)站外，還要停靠8個(gè)火車(chē)站，問(wèn)一共要準(zhǔn)備多少種火車(chē)票？9．小明計(jì)算從1開(kāi)始假設(shè)干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，結(jié)果不小心把1當(dāng)作10來(lái)計(jì)算，得出的錯(cuò)誤結(jié)果恰好是100，你知道小明算的是哪些自然數(shù)的和嗎？正確的結(jié)果應(yīng)該是多少？*10．一次朋友聚會(huì)，大家見(jiàn)面時(shí)總共握手28次，如果參加聚會(huì)的每個(gè)人和其余的每個(gè)人只握手一次，問(wèn)參加聚會(huì)的共有多少人？【能力訓(xùn)練】1．13＋17＋…＋97＝〔13＋97〕×[〔97－13〕÷4＋1]÷2＝