四年級奧數(shù)(2)簡單的數(shù)列求和

教學(xué)內(nèi)容：簡單的數(shù)列問題〔一〕世界著名的數(shù)學(xué)家高斯〔1777年～1855年〕，幼年時代聰明過人。上小學(xué)時，有一天數(shù)學(xué)老師出了一道題讓全班同學(xué)計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快地說出了正確答案5050。那些正忙著把這100個數(shù)一個一個相加求和的同學(xué)大吃一驚!小高斯有什么竅門呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)1～100這一串?dāng)?shù)中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。即：與這串?dāng)?shù)首末兩端距離相等的每兩個數(shù)的和，都等于首末兩數(shù)的和，這樣的和為101的數(shù)共有100÷2＝50對。于是小高斯就把這道題巧算為：1＋2＋3＋…＋99＋100＝〔1＋100〕×100÷2＝5050像1，2，3，…，99，100這樣的一串?dāng)?shù)我們稱為“等差數(shù)列〞，下面介紹有關(guān)等差數(shù)列的概念。假設(shè)干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。從第一項開始，后項與前項之差都相等的數(shù)稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差，數(shù)列中數(shù)的個數(shù)稱為項數(shù)。例如：〔1〕5，6，7，8，…，100；〔2〕1，3，5，7，9，…，99；〔3〕4，12，20，28，…，804；〔4〕1，4，8，16，…，256。其中〔1〕是首項為5，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；〔2〕是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；〔3〕是首項為4，末項為804，公差為8的等差數(shù)列；〔4〕中前后兩項的差都不相等，它不是等差數(shù)列。從高斯的故事我們知道，要想求出像1，2，3，…，99，100這一等差數(shù)列的和，只要用第一個數(shù)1與最后一個數(shù)100相加求和，再乘以這串?dāng)?shù)的個數(shù)100，最后除以2。由此，我們得到等差數(shù)列的求和公式為：數(shù)列和＝〔首項＋末項〕×項數(shù)÷2[例1]計算1＋2＋3＋…＋1999[分析與解]這串加數(shù)組成的數(shù)列1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，公差是1，首項是1，末項是1999，項數(shù)是1999。根據(jù)等差數(shù)列求和公式可解得：原式＝〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000[例2]求首項是5，公差是3的等差數(shù)列的前1999項的和。[分析]等差數(shù)列中首項、末項、公差的關(guān)系是：末項＝首項＋公差×〔項數(shù)－1〕[解]末項＝5＋3×〔1999－1〕＝5999和＝〔5＋5999〕×1999÷2＝6000998[例3]計算3＋7＋11＋…＋99[分析]這串加數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，公差是4，首項是3，末項是99，但是我們發(fā)現(xiàn)項數(shù)從題中看不出來，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)上例中介紹的等差數(shù)列中首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到：項數(shù)＝〔末項－首項〕÷公差＋1[解]項數(shù)＝〔99－3〕÷4＋1＝25原式＝〔3＋99〕×25÷2＝1275[例4]計算〔1〕2000－3－6－9－…－51－54〔2〕〔2＋4＋6＋…＋96＋98＋100〕－〔1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〕〔3〕1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2[分析與解]〔1〕利用第一講中的知識，“某數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，等于減去這幾個數(shù)的和〞，可將原式轉(zhuǎn)化為：2000－〔3＋6＋9＋…＋51＋54〕，所以，此題關(guān)鍵是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。3＋6＋9＋…＋51＋54＝〔3＋54〕×[〔54－3〕÷3＋1]÷2＝57×9＝513從而，原式＝2000－513＝1487?！?〕同學(xué)們可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的項成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法。這樣做，很自然，也比擬簡便。有其他更為簡單的解法嗎？再看題，你會冒出一個好想法：運(yùn)用加減法性質(zhì)，先做減法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它們的差都等于1，然后計算等于1的差數(shù)有多少個。由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減〔以大減小〕，共得50個差數(shù)1，從而，原式＝〔2－1〕＋〔4－3〕＋…＋〔98－97〕×〔100－99〕＝50〔3〕利用求解題〔2〕的經(jīng)驗，容易發(fā)現(xiàn)1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3這樣，此題就歸結(jié)為計算上述差的個數(shù)?？梢赃@樣計算，由于此數(shù)列為等差數(shù)列，公差是3，由求項數(shù)公式可求得項數(shù)為：〔1991－2〕÷3＋1＝664〔個〕這664個數(shù)兩兩配對做減法運(yùn)算，共得到664÷2＝332個差數(shù)，因而＝3×332＝996[思考]還可以怎樣計算出差的個數(shù)？〔還可根據(jù)每個括號中被減數(shù)所組成的等差數(shù)列的項數(shù)?！砙例5]2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1[解]原式＝1999×〔2000－1998〕＋1997×〔1998－1996〕＋…＋3×〔4－2〕＋2×1＝〔1999＋1997＋…＋3＋1〕×2＝〔1999＋1〕×[〔1999－1〕÷2＋1]÷2×2＝2000×1000＝2000000[小結(jié)]解簡單的數(shù)列問題，首先要判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列，再找出首項、末項、項數(shù)等相關(guān)量，最后運(yùn)用相應(yīng)公式正確求解?！灸芰τ?xùn)練】1．計算：〔1〕1＋2＋3＋…＋76＋77＋78〔2〕1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〔3〕2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210〔4〕4＋7＋10＋…＋292＋295＋2982．求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3．求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4．計算：〔1〕4000－1－2－3－…－76－77－78〔2〕560－557＋554－551＋…＋500－497〔3〕204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6*5．計算：〔1〕〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕〔2〕1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28參考答案【能力訓(xùn)練】1．〔1〕〔1＋78〕×78÷2＝3081〔2〕〔1＋99〕×50÷2＝2500〔提示：1到100這一百個自然數(shù)中奇、偶數(shù)各一半〕〔3〕〔2＋210〕×[〔210－2〕÷4＋1]÷2＝5618〔4〕〔4＋298〕×[〔298－4〕÷3＋1]÷2＝149492．〔5＋93〕×[〔93－5〕÷4＋1]÷2＝11273．末項＝13＋〔30－1〕×5＝158和＝〔13＋158〕×30÷2＝25654．〔1〕4000－〔1＋2＋3＋…＋78〕＝4000－[〔1＋78〕×78÷2]＝4000－3081＝919〔2〕3×11＝33〔等差數(shù)列560，557，554，551，…，500，497，共有〔560－497〕÷3＋1＝22項〕〔3〕6×17＝102〔等差數(shù)列204，198，192，…，12，6，共有〔204－6〕÷6＋1＝34項〕*5．〔1〕1＋〔3－2〕＋〔5－4〕＋〔7－6〕＋〔1999－1998〕＝1＋999×1＝1000〔2〕〔1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28〕－2×〔4＋8＋…＋24＋28〕＝〔1＋28〕×28÷2－2×〔4＋28〕×[〔28－4〕÷4＋1]÷2＝29×14－16×14＝13×14＝182教學(xué)內(nèi)容：簡單的數(shù)列問題〔二〕上一講中，我們學(xué)習(xí)了什么是等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和公式，以及求項數(shù)、末項的公式。這一講，我們介紹如何利用這些公式，解決與等差數(shù)列有關(guān)的問題。[例1]求所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和。[分析]首先應(yīng)分析一下被2除余數(shù)是1的三位數(shù)是哪些數(shù)。能被2整除的三位數(shù)中最小的是100，所以被2除余數(shù)是1的三位數(shù)中最小的是101。采用同樣的方法可知，三位數(shù)中最大的被2除余1的數(shù)是999，而且這樣的三位數(shù)前后兩數(shù)都差2，因此它們構(gòu)成一個等差數(shù)列，故可以利用等差數(shù)列求和公式求和。[解]所求的三位數(shù)的和是101＋103＋105＋…＋999項數(shù)＝〔999－101〕÷2＋1＝898÷2＋1＝450和＝〔101＋999〕×450÷2＝247500答：所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和是247500由例1可以看出，解這種類型題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，然后求和。[例2]1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是多少？[分析與解]如果要直接找出1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)比擬麻煩，因此我們采用間接的方法來解?？梢韵确謩e找出能被5或9整除的數(shù)，并求出它們的和，然后再從1＋2＋3＋…＋100的和中減去它們的和，即為所求的解。1至100內(nèi)所有能被5整除的數(shù)是5，10，15，…，100，這個等差數(shù)列的項數(shù)＝〔100－5〕÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此5＋10＋15＋…＋100＝〔5＋100〕×20÷2＝105×20÷2＝10501至100內(nèi)所有能被9整除的數(shù)是9，18，27，…，99，這個等差數(shù)列的項數(shù)＝〔99－9〕÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝〔9＋99〕×11÷2＝108×11÷2＝594應(yīng)該注意到，1至100內(nèi)45，90這兩個數(shù)既能被5整除，又能被9整除，因此在上面兩個數(shù)列的求和中都有45、90這兩個數(shù)。所以，1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是：〔1＋2＋3＋…＋100〕－〔5＋10＋15＋…＋100〕－〔9＋18＋27＋…＋99〕＋〔45＋90〕＝5050－1050－594＋135＝3541由例2可以看出，解這種類型的題目時，如果直接找數(shù)列比擬困難，那么可以采用間接的方法求解。另外，解題時分析思考要周密細(xì)致，列算式時不要重復(fù)，也不要遺漏。[例3]用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖4－1所示鋪滿一個大的等邊三角形，如果這個大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴？[分析與解]如果把圖中最上端的一個三角形看作第一層，與第一層緊相連的3個三角形〔向上的三角形2個；向下的三角形1個〕看作第二層，那么這個圖中一共有10層三角形。這10層三角形每層所需火柴根數(shù)，自上而下依次為：3，6，9，…，3×10。它們成等差數(shù)列，且首項為3，公差為3，項數(shù)為10。求火柴的總根數(shù)，也就是求這個等差數(shù)列各項的和，即3＋6＋9＋…＋30＝〔3＋30〕×10÷2＝33×5＝165〔根〕所以，一共要放165根火柴。[例4]15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？[分析與解]我們先來看一個簡單的五個連續(xù)奇數(shù)求和的情況。例如，3＋5＋7＋9＋11＝35可以看出，用這五個連續(xù)奇數(shù)的中間一項7乘以項數(shù)5也可以得到和為35。反過來，用和35除以項數(shù)5就可以得到它們的中間項7。根據(jù)這一經(jīng)驗，對于例4，15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995，可求得這個等差數(shù)列的中間一項為哪一項1995÷15＝133?，F(xiàn)在如果把中間一項看作是第1項，那么原來的末項，即第15項就是現(xiàn)在的第8項。這一項，也就是最大的奇數(shù)為：133＋〔8－1〕×2＝133＋14＝147[思考]仿照此例題的解法，求這15個連續(xù)奇數(shù)中最小的奇數(shù)。[例5]盒子里放有1只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只球？[分析與解]一只球變成4只球，實際上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球……第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，多了3×1＋3×2＋…＋3×10＝3×〔1＋2＋…＋10〕＝3×55＝165〔只〕加上原有的1只球，盒子里共有球165＋1＝166〔只〕。[例6]有10個朋友聚會，見面時如果每人和其余的每個人只握一次手，那么10個人共握手多少次？[分析]設(shè)10個人分別為，我們從開始按順序分析：這9個人的每個人握手1次，共握手9次；由于已和握過手，所以只能和這8個人的每個人握手1次，共握手8次；由于已和握過手，所以只能和這7個人的每個人握手1次，共握手7次；以此類推……只能和握手1次。將以上的握手次數(shù)求和即可。[解]這10個人總共握手的次數(shù)為1＋2＋3＋…＋8＋9＝〔1＋9〕×9÷2＝45〔次〕這題我們采用按順序逐個分析，從中找出規(guī)律的思考方法，這是個重要的方法。[小結(jié)]我們通過這一講的學(xué)習(xí)知道，解與等差數(shù)列有關(guān)的問題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，解題時分析思考要仔細(xì)，多算一項、少算一項都將造成結(jié)果的錯誤?！灸芰τ?xùn)練】1．求所有的除以4后余1的兩位數(shù)的和。2．在1～100這100個數(shù)中，所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少？3．用相同的立方體擺成如圖4－2的形式，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個立方體？4．有一個六邊形點陣如圖4－3，它的中心是一個點，算做第一層，第二層每邊兩個點，第三層每邊三個點……這個六邊形點陣共100層，求這個點陣共有多少個點？5．24個連續(xù)偶數(shù)的和是1992，其中最大的一個偶數(shù)是幾？6．時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點也敲一下。求時鐘一晝夜總共敲打多少次？7．平面上共有10個點，沒有3個點在一條直線上，求過這些點最多可以畫出多少條直線？8．在北京與上海之間開行的火車，除起點站和終點站外，還要?？?個火車站，問一共要準(zhǔn)備多少種火車票？9．小明計算從1開始假設(shè)干個連續(xù)自然數(shù)的和，結(jié)果不小心把1當(dāng)作10來計算，得出的錯誤結(jié)果恰好是100，你知道小明算的是哪些自然數(shù)的和嗎？正確的結(jié)果應(yīng)該是多少？*10．一次朋友聚會，大家見面時總共握手28次，如果參加聚會的每個人和其余的每個人只握手一次，問參加聚會的共有多少人？【能力訓(xùn)練】1．13＋17＋…＋97＝〔13＋97〕×[〔97－13〕÷4＋1]÷2＝