幾何法求函數(shù)最值初探

目錄前言 -9-前言根據(jù)采用幾何知識(shí)的求最值的相關(guān)分析研究，清晰知道相關(guān)知識(shí)，對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用。幾種幾何知識(shí)的求最值的方法進(jìn)行總結(jié)和比較，以方便未來(lái)的學(xué)習(xí)提高。求最值問(wèn)題是一個(gè)常見和重要的問(wèn)題，也是日常生活，生產(chǎn)和科學(xué)研究中遇到的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于某些功能，使用常規(guī)方法太復(fù)雜，但如果可以巧妙地轉(zhuǎn)換，則可能難以通過(guò)使用幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。1一元函數(shù)最值1.1一元函數(shù)最值的概念定義1.1設(shè)函數(shù)在某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。如果隨便給一個(gè)數(shù)字，只要有一個(gè)是正數(shù)，如果可以滿足時(shí)有，就可以稱為函數(shù)為當(dāng)幾乎和接近時(shí)以為最值，用公式表示為或。若時(shí)，記作，稱為右最值;若時(shí)，記作，稱為左最值。單側(cè)最值通常包括左右最值。定義1.2設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，為常數(shù)。若對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論它怎么小)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，就可以稱為函數(shù)為當(dāng)滿足時(shí)以為最值。記做或。若我們把定義1.2中的改成()，則稱為函數(shù)當(dāng)取正值且無(wú)限增大(記作)時(shí)的最值，記作把定義1.2中的改成，則稱為函數(shù)當(dāng)取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大(記作)時(shí)的最值，記作1.2函數(shù)最值的特點(diǎn)函數(shù)最值的特點(diǎn)在求函數(shù)最值中有很大的作用，下面給出當(dāng)時(shí)的性質(zhì)。定理1.1(獨(dú)一特點(diǎn))如果存在最值，這個(gè)最值一定是獨(dú)一的，即唯一的。定理1.2(四則運(yùn)算法則)若，，則1);2);3)();4)(為常數(shù));5)。定理1.3(迫斂性)設(shè)在時(shí)有定義，且滿足:1)對(duì)任意的滿足時(shí)，有;2)，則。定理1.4設(shè)，，當(dāng)時(shí)，(1)假設(shè)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大量)，則=(或?yàn)闊o(wú)窮大量)。(2)假設(shè)有存在(或?yàn)闊o(wú)窮大量)，則=(或?yàn)闊o(wú)窮大量)。定理1.5函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且滿足，，則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即=。定理1.6(柯西準(zhǔn)則)設(shè)在時(shí)有定義。如果存在，則它的充要條件是:對(duì)于任意給出的數(shù)字，只要存在正數(shù)，讓對(duì)任意一個(gè)，，就會(huì)1.3一元函數(shù)最值的運(yùn)算方法通過(guò)上面介紹中提出了很多種關(guān)于一元函數(shù)最值的求解方法，本文在上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納了下面幾種常見的最值求法。（1）用定義求一元函數(shù)最值不可小看定義的重要性在數(shù)學(xué)分析中，最值定義也不例外。如果能透徹理解最值定義，就會(huì)大大降低很多題目的難度。通過(guò)下面的舉例來(lái)介紹一下用定義求函數(shù)最值的方法。例1.1用最值的定義求求解步驟對(duì)于任意給出的數(shù)字，在其中任意取出一個(gè)，在滿足的時(shí)候，只要存在，因此這是利用定義求函數(shù)最值比較簡(jiǎn)單一些的。但在平時(shí)的練習(xí)或?qū)嶋H生活中，遇到的題目難度要比這個(gè)例子大，往往需要借助一些其它的處理方法，如放縮法和含絕對(duì)值不等式，至于如何解決要具體問(wèn)題具體分析。利用定義求函數(shù)最值的方法適合于初學(xué)者，但是在平時(shí)的求最值過(guò)程中往往避免用定義來(lái)求，因?yàn)樗碾y度較大。（2）可以使用最值的四則運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)最值若，.根據(jù)定理1.2我們能夠很容易的計(jì)算出以下各種最值。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c為常數(shù)).以上特點(diǎn)在滿足于時(shí)候也是可以運(yùn)用此方法的。求函數(shù)最值的根本是最值的四則運(yùn)算，通常也是求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的和差積商的最值常用方法。要對(duì)最值的四則運(yùn)算很熟悉是學(xué)好求解函數(shù)最值的前提條件。例1.2求.解說(shuō)明在運(yùn)用最值的四則運(yùn)算的時(shí)候，首先要考慮適用條件。首先要保證各項(xiàng)最值都存在，假如遇到的是分式，分母最值則不能夠?yàn)榱?。例如，因?yàn)樽钪挡淮嬖?。?）利用重要最值求函數(shù)最值下面兩個(gè)是重要最值中最重要的:1)2).這兩個(gè)最值不僅最常見而且最重要，表達(dá)式(1)為自變量的正弦值與自變量的比的最值值。而且最值過(guò)程漸漸向趨勢(shì)發(fā)展，兩者都不可缺少。關(guān)于表達(dá)式(2)是以以自變量的倒數(shù)為冪的，且底數(shù)還要加上1的等等都是我們應(yīng)該注意的。對(duì)于兩個(gè)重要最值我們?cè)趯W(xué)習(xí)運(yùn)用過(guò)程中要學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，最好能夠自己去總結(jié)概括。對(duì)于，，通常我們可以對(duì)其系統(tǒng)的進(jìn)行推廣為(A);(B);(C)若則(D)若則除了上面這些外，下面還有幾個(gè)很重要的最值3)4)5)這三個(gè)重要最值是應(yīng)用非常普遍的?？傊覀円獙W(xué)會(huì)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，提高自己的數(shù)學(xué)素質(zhì)，從而總結(jié)出更普遍、更系統(tǒng)的結(jié)論。例1.3求的函數(shù)最值。解 對(duì)這幾個(gè)重要最值的熟悉掌握需要我們努力學(xué)習(xí)與探索，在這里例題就不一一列舉了。（4）采用洛比達(dá)法則也可以用來(lái)求解函數(shù)最值如果需要求“”或者“”這種樣式的未定式最值洛比達(dá)法則是應(yīng)用最普遍的方法。定理1.7設(shè)(或)，(或);當(dāng)?shù)目招泥徲騼?nèi)能夠滿足，同時(shí)，假設(shè)，則.當(dāng)中滿足有限數(shù)的條件，另外也可以當(dāng)作。例1.4求下列函數(shù)最值。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。上面這題連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要最值得出答案。(2)原式.(3)因?yàn)橐虼?，原?。(4)因?yàn)橐虼?，原?。（5）采用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求解函數(shù)最值當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小的(即最值為0)，且為相互等價(jià)，即有;。注意如果上面任意一個(gè)函數(shù)自變量x轉(zhuǎn)換時(shí)()，仍然可以滿足上面的等價(jià)關(guān)系，舉例說(shuō)明:滿足時(shí)，;通?？梢圆捎谩盁o(wú)窮小乘以有界量仍是無(wú)窮小量”來(lái)求解最值。一般無(wú)窮小代換的特點(diǎn)如下:如果函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且，，則當(dāng)存在時(shí)，也存在并且等于，也可以表示為=。例1.5求下列函數(shù)最值。(1)。(2).解(1)當(dāng)時(shí)，，，則原式=。(2)這是“”型，我們就利用無(wú)窮小代換及羅比達(dá)法則來(lái)求其最值。當(dāng)時(shí)，有，所以，原式。1.4用構(gòu)造法求函數(shù)最值構(gòu)造法是數(shù)學(xué)研究方法中很普通的一種方法，在求函數(shù)最值中經(jīng)常用到。1.4.1構(gòu)造矩形求函數(shù)最值在研究函數(shù)有關(guān)內(nèi)容時(shí)，有這樣的公式，這個(gè)和勾股定理比較相似。在矩形中就可以用到這個(gè)公式，所以可以構(gòu)造矩形。。例1.6：已知，，求的最小值。分析：這中間有三個(gè)未知量，取值范圍沒有明確，這里面有這個(gè)特殊編量，這可以涉及到均值不等式，但直接運(yùn)用無(wú)法求解。這個(gè)題目，假設(shè)構(gòu)造一個(gè)正方形就比較容易的求解。解：且構(gòu)造一個(gè)正方形，讓兩條鄰邊的一條長(zhǎng)度分別為，另外一條是其大致圖像如下：由上圖可知，，；由圖上觀察和兩點(diǎn)之間直線最短可知：（長(zhǎng)度）即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，最小值為。求函數(shù)最值除了用以上方法外，還可以用三維圖形進(jìn)行解題。1.4.2構(gòu)造矩形求函數(shù)最值例1.7：已知均為銳角且，求的最小值。分析：三角函數(shù)計(jì)算一般比較繁瑣，這個(gè)題目把三角函數(shù)轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)度來(lái)進(jìn)行計(jì)算，而于是構(gòu)造立體圖形。解：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)它的長(zhǎng)、寬、高分別為，如圖：由圖易知，，；==（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）即的最小值為。

2多元函數(shù)最值2.1多元函數(shù)最值的概念定義2.1設(shè)函數(shù)在以為聚點(diǎn)的集合上有定義，若對(duì)任何的存在，使得只要及[其中為和二點(diǎn)間的距離，則，我們就說(shuō)重點(diǎn)注意，遇到時(shí)，就會(huì)解得不會(huì)產(chǎn)生理解錯(cuò)誤的前提條件下，通?？梢杂孟旅婧?jiǎn)單地方式來(lái)表示當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí)，也可以這樣表示說(shuō)明二元函數(shù)最值的另一種叫法叫做二重最值。它與一元函數(shù)最值有很大不同，，一元函數(shù)與二元函數(shù)最值的主要區(qū)別是二元函數(shù)最值中自變量趨于點(diǎn)的方向的任意性及方式的多樣性，也是導(dǎo)致二元函數(shù)最值、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念間關(guān)系區(qū)別于一元函數(shù)相關(guān)概念間關(guān)系的根本所在。2.2多元函數(shù)最值的運(yùn)算方法和一元函數(shù)的常見求法有很多類似，多元函數(shù)也有類似的求法，其中包括部分解法在文獻(xiàn)中被提及到。在此以二元函數(shù)為例簡(jiǎn)單闡述一下.（1）利用定義求最值例2.1求.解因?yàn)?，所以于隨便給出，滿足，遇到假設(shè)因此（2）運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性求最值定義2.2(二元函數(shù)的不間斷性)若滿足定義存在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，(它可能是的聚點(diǎn)，也可能是的孤立點(diǎn))。隨便給出的正數(shù)，一定會(huì)有與之對(duì)于的正數(shù)，假設(shè)滿足因此，就把稱作關(guān)于集合D在點(diǎn)連續(xù)。在不會(huì)出現(xiàn)誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù).例2.2求.求解由于在是不間斷的，因此（3）運(yùn)用兩邊夾定理求最值例2.3求.解因?yàn)?，而，所?（4）利用重要最值求最值例2.4求.解，而，所以，原式.（5）利用有理化的方法求最值例2.5求求解讓分子分母同時(shí)乘以，便得出（6）運(yùn)用無(wú)窮小與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小求最值例2.6求解因?yàn)?，所以，原?/p>

3求解函數(shù)最值的容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方3.1洛比達(dá)法則的運(yùn)用一般常用的、有效的求最值的方法是洛比達(dá)法則，舉例說(shuō)明用來(lái)求解“”、“”、“”、“”形式等其他各式各樣的最值。洛比達(dá)法則通常能求解出很多函數(shù)最值，但不是所有的函數(shù)最值都能應(yīng)用洛必達(dá)法則，不是對(duì)任何函數(shù)在求最值中都適用。例3.1求.解釋假設(shè)此題采用洛比達(dá)法則，因此，但當(dāng)時(shí)，的取值不確定，所以就得出此最值不存在，而原來(lái)最值卻是存在的。正確做法如下:對(duì)二元函數(shù)求最值時(shí)洛比達(dá)法則也是不能隨便運(yùn)用的，但對(duì)于二元函數(shù)我們有下列類似于洛比達(dá)法則的定理.定理3.1若二元函數(shù)滿足:(i)為有限點(diǎn);(ii);(iii)滿足點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)可微，而且和最多有一個(gè)為零;(iv)，使得(當(dāng)條件(ii)換做=時(shí)結(jié)論依舊可以使用).例3.2求.解由定理3.1可知3.2不同的函數(shù)最值的逼近方式通常情況下一元函數(shù)，是最值存在的充要條件，和都是可以應(yīng)用的。但是如果是對(duì)二元函數(shù)來(lái)說(shuō)要復(fù)雜得多，換句話說(shuō)假如動(dòng)點(diǎn)通過(guò)平行軸或通過(guò)平行于軸兩條直線的方式逐漸趨于定點(diǎn)時(shí)有最值并且相等，也可以用以下方式表示:時(shí)，也不能保證。就算是動(dòng)點(diǎn)以無(wú)窮多種方式趨近于定點(diǎn)時(shí)有最值并且相等，到底有沒有最值是不能保證的。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在平面區(qū)域上是可以任意的趨于定點(diǎn)的方式。下面以例題加以說(shuō)明.例3.3通過(guò)求解來(lái)證明二元函數(shù)在原點(diǎn)沒有最值.求解步驟假設(shè)動(dòng)點(diǎn)是隨著直線(為常數(shù))趨于原點(diǎn)時(shí)，因此.通過(guò)上式便可以解得，最值值是和直線的改變緊密相連的;因此通過(guò)定義可知，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在最值.3.3區(qū)分二元函數(shù)最值與累次最值定義3.2假設(shè)是的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在集合上有定義，任意對(duì)每一個(gè)會(huì)有最值因?yàn)榇俗钪狄话闩c有關(guān)，所以用如下來(lái)表示而且進(jìn)一步存在最值則稱此最值為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次最值，并記作.或可稱為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次最值，簡(jiǎn)記作累次最值與二重最值是有區(qū)別的，它們的存在性沒有必然的因果關(guān)系。通過(guò)下面的兩個(gè)例子還解釋這一點(diǎn)。例3.4若，分別求出關(guān)于原點(diǎn)的二重最值與累次最值.解類似于例3.3的解釋，滿足時(shí)沒有二重最值。但當(dāng)時(shí)有從而有同理可得因此同時(shí)存在并且相等的兩個(gè)累次最值.例3.5若分別求關(guān)于原點(diǎn)的二重最值與累次最值.求解步驟以下是關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次最值，是由于，因此沒有累次最值.假設(shè)存在沿斜率不同的直線時(shí)，所得最值也不同是很好驗(yàn)證的，因此該函數(shù)沒有二重最值.但是累次最值與二重最值之間可能存在著一些特殊的因果關(guān)系.推論3.1若累次最值，和二重最值都存在，則三者相等.推論3.2若累次最值與存在最值但是最值不相等，因此二重最值肯定沒有.

4結(jié)論關(guān)于函數(shù)的最值，解決幾何知識(shí)問(wèn)題的背景是函數(shù)或者它的轉(zhuǎn)換是不是有相關(guān)的幾何含義。所以，搜索幾何意義是解決幾何知識(shí)問(wèn)題的重要的問(wèn)題。根據(jù)挖掘問(wèn)題的幾何含義和構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，將函數(shù)最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，找到一個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案。對(duì)于大多數(shù)最值問(wèn)題，函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換，可以獲得幾何含義，這就要求我們觀察和學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，從而可以快速知道函數(shù)的幾何含義。相比之下，對(duì)于更復(fù)雜的功能，我們應(yīng)該有進(jìn)取的精神，經(jīng)過(guò)仔細(xì)的分析結(jié)構(gòu)，全面挖掘的潛在幾何意義的功能，從而解決問(wèn)題，同時(shí)培養(yǎng)聯(lián)想和想像力。雖然可以使用幾何知識(shí)來(lái)解決最小的功能，但它只是一個(gè)最小的功能類。但是使用這種方法可以簡(jiǎn)單方便地解決問(wèn)題。它還可以培養(yǎng)幾何可視化的能力，增加思維的主動(dòng)性和靈活性，提高解決問(wèn)題的能力。

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