工程力學(xué)9-組合變形

9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.2桿件承受拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.1組合變形的概念與實(shí)例第9章組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

工程力學(xué)9.5廣義胡克定律9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力9.7圓軸承受彎扭組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.1組合變形的概念與實(shí)例一、基本變形1.軸向拉伸與壓縮2.剪切3.扭轉(zhuǎn)4.平面彎曲二、組合變形由兩種或兩種以上基本變形組合而成的變形稱為組合變形，將其強(qiáng)度計(jì)算稱為組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。壓彎組合壓彎組合彎扭組合9.1組合變形的概念與實(shí)例自測(cè)題45自測(cè)題45-3直角折桿ABCD如圖所示，外力F作用在BCD平面內(nèi)且平行于BC，則CD段為

變形，BC段為

變形，AB段為

變形。CD段為彎曲變形BC段為拉彎組合變形AB段為彎扭組合變形自測(cè)題45-4如圖所示，則：圖a所示為

變形；圖b所示為

變形；圖c所示為

變形；圖d所示為

變形。自測(cè)題45拉彎組合彎扭組合扭轉(zhuǎn)彎曲三、組合變形的分析方法9.1組合變形的概念與實(shí)例解決組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題通常采用疊加法。

構(gòu)件在外力作用下，若在小變形且材料服從胡克定律的條件下，可以認(rèn)為各載荷的作用彼此獨(dú)立，互不影響，即任一載荷作用所引起的應(yīng)力和變形不受其他載荷的影響。9.1組合變形的概念與實(shí)例分析組合變形時(shí)強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題的一般步驟：(1)將載荷分解為若干簡(jiǎn)單載荷，使構(gòu)件在各簡(jiǎn)單載荷下只產(chǎn)生基本變形(2)分析基本變形時(shí)的內(nèi)力,確定危險(xiǎn)截面(3)確定危險(xiǎn)點(diǎn)，應(yīng)用疊加原理進(jìn)行應(yīng)力疊加(4)對(duì)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析(5)利用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算四、組合變形類型9.1組合變形的概念與實(shí)例第一類組合變形是危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力疊加后為單向應(yīng)力狀態(tài)

如：拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形、斜彎曲等第二類組合變形是危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力疊加后為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

如：彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形、拉伸（壓縮）與扭轉(zhuǎn)的組合變形等可以使用單向應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件需要使用復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件9.2桿件承受拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.2.1拉（壓）與彎曲組合變形的受力方式拉彎組合變形偏心拉伸

9.2.2拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的應(yīng)力拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的內(nèi)力：軸力和彎矩桿件的危險(xiǎn)截面：軸力FN和彎矩Mmax

所在截面軸力FN引起的正應(yīng)力：彎矩Mmax引起的正應(yīng)力：

危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力：為正應(yīng)力，應(yīng)用疊加法求。9.2桿件承受拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.2.3拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度條件拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的危險(xiǎn)點(diǎn)是單向應(yīng)力狀態(tài)。強(qiáng)度條件為：對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不等的材料，強(qiáng)度條件為：9.2桿件承受拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算例9-1：圖示梁，承受集中載荷F作用，試校核該梁的強(qiáng)度。已知：載荷F=10kN，梁長(zhǎng)l=2m，載荷作用點(diǎn)與梁軸線的距離e=0.2m，方位角α=45o，梁為No.16工字鋼，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。解：

(1)梁的外力分析(2)梁的內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面畫(huà)梁的軸力圖和彎矩圖危險(xiǎn)截面在固定端A截面。例9-1(3)梁的應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)（4）強(qiáng)度校核查型鋼表可得NO.16工字鋼：故該梁強(qiáng)度足夠。例9-1解：

例9-2：圖示為鉆床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，若F=15kN，材料的許用拉應(yīng)力[σ]+=35MPa，許用壓應(yīng)力[σ]-=120MPa。試求圓截面立柱所需的直徑d。

解：（1）確定危險(xiǎn)截面（2）確定立柱橫截面上的內(nèi)力（3）確定最大應(yīng)力例9-2（4）強(qiáng)度計(jì)算例9-2解：先按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初選直徑d。取d=121mm。再按拉伸與彎曲組合變形校核強(qiáng)度。例9-2強(qiáng)度足夠。作業(yè)9-19-49.3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.3.1梁斜彎曲的概念9.3.2產(chǎn)生斜彎曲的加載方式9.3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.3.3梁斜彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力9.3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算9.3.4梁斜彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力和強(qiáng)度條件9.3梁斜彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件例9-3：圖示矩形截面懸臂梁。已知：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN。試確定危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)所在位置，并計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力值。若將截面改成直徑的圓形，試計(jì)算最大正應(yīng)力。解：（1）外力分析（2）內(nèi)力分析例9-3（3）應(yīng)力分析例9-3解：（4）若將截面改成的圓形例9-3解：例9-4：一般生產(chǎn)車間所用的吊車大梁，兩端由鋼軌支撐，可以簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，如圖所示。吊車大梁由No.25a熱軋普通工字鋼制成，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，跨度l=4m。起吊的重物的重量F=40kN，作用在梁的中點(diǎn)，作用線與y軸之間的夾角θ=5°，并且通過(guò)截面的形心。試校核吊車大梁的強(qiáng)度。

解：

（1）外力分析（2）內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面例9-4（3）應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)，并校核梁的強(qiáng)度

由型鋼表查得No.25工字鋼的兩個(gè)抗彎截面系數(shù)分別為

故此梁強(qiáng)度不夠。例9-4解：

（4）討論例9-4解：

作業(yè)9-79-89.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？鑄鐵拉伸實(shí)驗(yàn)為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o螺旋面斷開(kāi)？低碳鋼扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念微元

單元體單元體邊長(zhǎng)無(wú)窮?。粦?yīng)力沿邊長(zhǎng)無(wú)變化；單元體各個(gè)面上的應(yīng)力是均勻分布的；兩個(gè)平行面上的應(yīng)力大小相等。9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念原始單元體用橫截面和與之正交的縱向截面截取的單元體回顧橫力彎曲時(shí)橫截面上點(diǎn)的應(yīng)力:考慮中性層上的A點(diǎn)：正應(yīng)力等于0，切應(yīng)力最大。考慮梁邊緣上的B點(diǎn)：正應(yīng)力最大，切應(yīng)力為0。

同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同。此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？指明

過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念例9-5：如圖所示的受軸向拉伸的直桿，已知拉力為F，橫截面面積為A，試用原始單元體表示M點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，并確定應(yīng)力的大小。解：（1）求內(nèi)力（2）取原始單元體（3）求應(yīng)力例9-5例9-6：如圖所示簡(jiǎn)支梁上A、B點(diǎn)位于跨中截面左側(cè)，C點(diǎn)位于跨中截面右側(cè)。已知：F=2kN，l=1m。試用原始單元體表示A、B、C三點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。解：（1）作內(nèi)力圖（2）取原始單元體例9-6（3）求應(yīng)力例9-6解：

主單元體：

各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。

主平面：

切應(yīng)力為零的平面。

主應(yīng)力：

主平面上的正應(yīng)力。

主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小若9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于0

單向應(yīng)力狀態(tài)9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于0

二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念三個(gè)主應(yīng)力都不等于0

三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.1應(yīng)力狀態(tài)的概念9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定已知一平面應(yīng)力狀態(tài)：efanaxyzabcdtxtysxsytysysxtxdabctxtytxxsxsxsysytyy斜截面的外法線與x軸間的夾角為

的截面。

截面--9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析應(yīng)力的正負(fù)和斜截面夾角的正負(fù)規(guī)定：1）正應(yīng)力

拉為正，壓為負(fù)；2）切應(yīng)力

使單元體產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)為正；反之為負(fù)；3）對(duì)

角，x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)這一角度而與斜截面外法線重合時(shí)，其值為正；反之為負(fù)。efbtytxatasasxsy9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定由此可得，任一斜截面上的應(yīng)力分量為：利用三角函數(shù)公式9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定xyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxefanadabctxtytxx(b)sxsxsysytyy任一斜截面上的應(yīng)力分量為：9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析9.4.2任意方向面上應(yīng)力的確定例9-7：分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力作用面，說(shuō)明低碳鋼試件拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。

解：9.4.3應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大切應(yīng)力sa和ta隨著a的變化而變化，是a的函數(shù)，對(duì)a求導(dǎo)數(shù)可得到其極值。

若a=a0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0通過(guò)上式可以求出相差π

/2的兩個(gè)角度a0

，它們確定兩個(gè)相互垂直的面，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在平面。9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析若將a0的值代入切應(yīng)力公式:可得:ta0=0得到以下結(jié)論:1)切應(yīng)力為0的平面上，正應(yīng)力為極值；2)切應(yīng)力為0的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力是主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是正應(yīng)力極值。將a0代入sa的計(jì)算公式，計(jì)算得到正應(yīng)力極值。9.4.3應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大切應(yīng)力9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析采用同樣的方法對(duì)ta式求導(dǎo)若a

=a1時(shí)，則a1確定的斜截面上的切應(yīng)力極值。代入公式:9.4.3應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大切應(yīng)力9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析最大正應(yīng)力所在的平面:最大和最小切應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45°。最大切應(yīng)力所在的平面:9.4.3應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大切應(yīng)力9.4平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析進(jìn)一步分析可知，過(guò)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的最大切應(yīng)力為例9-8：某原始單元體各面上的應(yīng)力如圖所示（應(yīng)力單位為MPa）。試求：(1)ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；(2)該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：(1)求

ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力

(2)求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力例9-8作業(yè)9-10b9-119.5廣義胡克定律1、廣義胡克定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)前面談到的胡克定律:單向拉伸條件下桿件產(chǎn)生橫向應(yīng)變:純剪切情況下:最一般情況下，描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要九個(gè)應(yīng)力分量，如圖所示:根據(jù)切應(yīng)力互等定理：則獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)。對(duì)于各向同性材料:

小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只和正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無(wú)關(guān)；而切應(yīng)變只和切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無(wú)關(guān)。

利用疊加法可求得各方向上的線應(yīng)變。1、廣義胡克定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)9.5廣義胡克定律=++++1、廣義胡克定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)9.5廣義胡克定律利用同樣的方法可以求得

y和

z方向上的線應(yīng)變。最后可得:切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，

與正應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此:以上被稱為廣義胡克定律。1、廣義胡克定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)9.5廣義胡克定律當(dāng)單元體的周圍六個(gè)面皆為主平面時(shí):ε1、ε2、ε3為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向是重合的。1、廣義胡克定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)9.5廣義胡克定律例9-9：圖示圓軸直徑為d，其兩端承受外力偶矩Me作用。今由實(shí)驗(yàn)測(cè)得軸表面與軸線成45°方向的線應(yīng)變?chǔ)?5°。試求外力偶矩Me之值。材料的彈性常數(shù)E、ν均為已知。

解：例9-9：圖示圓軸直徑為d，其兩端承受外力偶矩Me作用。今由實(shí)驗(yàn)測(cè)得軸表面與軸線成45°方向的線應(yīng)變?chǔ)?5°。試求外力偶矩Me之值。材料的彈性常數(shù)E、ν均為已知。

解：例9-10：已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，且單元體的邊長(zhǎng)，試求沿其對(duì)角線方向的線應(yīng)變。

解：作業(yè)9-129-149.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力

前面建立了桿件在基本變形下危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，但是實(shí)際桿件，并非都是單向或者純剪切，而是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，人們不再通過(guò)試驗(yàn)來(lái)建立強(qiáng)度條件，而是根據(jù)一定的試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)失效現(xiàn)象加以觀察、分析和歸納，尋找失效的規(guī)律，從而對(duì)失效的原因作一些假說(shuō)，這些假說(shuō)通常就稱為強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論認(rèn)為:

無(wú)論何種應(yīng)力狀態(tài)，也無(wú)論何種材料，只要失效形式相同，則失效原因就是相同的，且這個(gè)原因是應(yīng)力、應(yīng)變或變形能等中的一種。這樣，造成失效的原因就與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，從而便可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，來(lái)建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。失效現(xiàn)象主要有兩種:屈服和斷裂。相應(yīng)的強(qiáng)度理論大致也分為兩類:一類是解釋斷裂失效的；另一類是解釋屈服失效的。9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力四種主要的強(qiáng)度理論：1、第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）2、第二強(qiáng)度理論（最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論）3、第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）4、第四強(qiáng)度理論（形狀改變比能理論）9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力9.6.1第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。斷裂判據(jù):強(qiáng)度條件:

適用條件：鑄鐵等脆性材料，在單向拉伸、扭轉(zhuǎn)或雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)下。存在問(wèn)題：沒(méi)有考慮

2、

3對(duì)脆斷的影響，無(wú)法解釋石料單壓時(shí)的縱向開(kāi)裂現(xiàn)象。9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力9.6.2第二強(qiáng)度理論（最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論）

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。斷裂判據(jù):強(qiáng)度條件:適用條件：混凝土或石料等脆性材料軸向受壓。9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力9.6.3第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）

認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大切應(yīng)力引起的。當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限切應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。單向拉伸情況下:屈服判據(jù):強(qiáng)度條件:9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力

僅適用于拉壓性能相同的材料。9.6.4第四強(qiáng)度理論（形狀改變比能理論）

認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就破壞了。單向拉伸情況下屈服判據(jù):任意應(yīng)力狀態(tài)下:強(qiáng)度條件:9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力

僅適用于拉壓性能相同的材料。上述四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫(xiě)成如下統(tǒng)一的格式sri稱為相當(dāng)應(yīng)力。9.6強(qiáng)度理論和相當(dāng)應(yīng)力

但是，必須指出材料的失效形式還與其所處的應(yīng)力狀態(tài)、強(qiáng)度等有關(guān)。例如，低碳鋼在三向拉伸時(shí)，呈現(xiàn)脆性斷裂，應(yīng)用第一強(qiáng)度理論；鑄鐵在三向壓縮時(shí)，呈現(xiàn)屈服，應(yīng)用第三或第四強(qiáng)度理論。即無(wú)論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，呈現(xiàn)斷裂失效，應(yīng)用第一強(qiáng)度理論；而在三向壓應(yīng)力相近的情況下，呈現(xiàn)屈服失效，應(yīng)用第三或第四強(qiáng)度理論。因此，即使同一種材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)，也