人教版高數(shù)選修2第2講：方程與曲線

曲線與方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系；2了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡單性質(zhì)；3能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程．【重點知識梳理】1．曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上點的坐標(biāo)與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解滿足如下關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．2．求動點的軌跡方程的一般步驟(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)．(3)列式——列出動點P所滿足的關(guān)系式．(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．3．兩曲線的交點(1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．(2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題．類型一曲線與方程的關(guān)系例１：如果曲線C上點的坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0,則有()A.方程F(x,y)=0表示的曲線是CB.曲線C的方程是F(x,y)=0C.點集{P|P∈C}?{(x,y)|F(x,y)=0}D.點集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】選,B錯,因為以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點不一定在曲線C上,若以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上,則點集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D錯,選C.【答案】C.練習(xí)１：f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.由曲線與方程的概念可知,若點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,則必有f(x0,y0)=0;又當(dāng)f(x0,y0)=0時,點P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0對應(yīng)的曲線上,故選C.【答案】C.練習(xí)2.(2014?石家莊高二檢測)方程x2+y2=1(xy<0)的曲線形狀是()Ａ. B. C. D.【解析】選C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原點為圓心,1為半徑的圓在第二、四象限的部分?！敬鸢浮緾.類型二直接法求軌跡方程例2：已知動圓過定點A(4，0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.試求動圓圓心的軌跡C的方程．【解析】如圖設(shè)動圓圓心為O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點．∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化簡得y2＝8x(x≠0)．當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x，∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.【答案】動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.練習(xí)1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(a，b)(a＞b＞0)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點．已知△F1PF2為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BM,\s\up8(→))＝－2，求點M的軌跡方程．【解析】（1）解：設(shè)，由題意，可得，即，整理得，得（舍）或，所以；（2）解：由（Ⅰ）知，可得橢圓方程為，直線PF2方程為，A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，消去y并整理，得，

解得，得方程組的解，不妨設(shè)，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則，由，得，于是，，由，即，化簡得，將代入，得，所以x＞0，因此，點M的軌跡方程是?！敬鸢浮?1)(2)練習(xí)2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x－y＋1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為eq\r(6)，求圓O的方程?！窘馕觥恳驗镺點到直線x－y＋1＝0的距離為eq\f(1,\r(2))，所以圓O的半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\r(2)，所以圓O的方程為x2＋y2＝2.【答案】因為O點到直線x－y＋1＝0的距離為eq\f(1,\r(2))，所以圓O的半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\r(2)，所以圓O的方程為x2＋y2＝2.類型三定義法求軌跡方程例3：已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.【解析】由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為(x≠－2)．【答案】(x≠－2)．練習(xí)1：【2015江蘇高考，18】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解析】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為，二是右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得?！敬鸢浮坑深}意，得且，解得，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．練習(xí)2：在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|eq\o(BD,\s\up8(→))|－|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，求頂點A的軌跡方程．【解析】以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E、F分別為兩個切點．則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2eq\r(2)，∴點A的軌跡為以B，C的焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a＝eq\r(2)，c＝2，∴b＝eq\r(2)，∴軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x＞eq\r(2))。【答案】軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x＞eq\r(2)).類型四相關(guān)點法求軌跡方程例4：如圖，動圓C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，與橢圓C2：eq\f(x2,9)＋y2＝1相交于A，B，C，D四點．點A1，A2分別為C2的左，右頂點．求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程．【解析】設(shè)出、兩點坐標(biāo)，求得直線、的方程，聯(lián)立兩直線方程，得出交點坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可求得交點的軌跡方程（注意、的取值范圍）?！敬鸢浮吭O(shè)，，又知，，則直線的方程為，直線的方程為。兩式相乘可得：。由點在橢圓上可知：，故，代入得：。故直線與直線交點的軌跡方程為。練習(xí)1：設(shè)F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，當(dāng)點P在y軸上運(yùn)動時，求點N的軌跡方程．【解析】設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up8(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x【答案】設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up8(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x1.下面四組方程表示同一條曲線的一組是()=x與y= =lgx2與y=2lgx C.=1與lg（y+1）=lg（x-2） +y2=1與|y|=【答案】選C.2.【2015高考廣東，理7】已知雙曲線：的離心率，且其右焦點，則雙曲線的方程為（）A． B. C. D.【答案】B.3.(2014?天津高二檢測)點P(2,-3)在曲線x2-ay2=1上,則a=_____________.【答案】a=1/34.已知點A(a,2)既是曲線y=mx2上的點,也是直線x-y=0上的一點,則m=____________.【答案】1/45.已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為________．【答案】eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝16.已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長比為1∶2，則圓C的方程為________________．【答案】x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)7.【2015高考福建，理3】若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于（） 【答案】B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.(2014?青島高二檢測)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是()A.兩條直線 B.一條直線和一雙曲線 C.兩個點 D.圓【答案】C.2.【2015高考天津，理6】已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】D.3.已知M(－2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D.4.平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點A(3，1)，B(－1，3)，若點C滿足eq\o(OC,\s\up8(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up8(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up8(→))(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是()A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線【答案】A5.已知雙曲線C與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且離心率互為倒數(shù)．若雙曲線右支上一點P到右焦點F2的距離為4，則PF2的中點M到坐標(biāo)原點O的距離等于________．【答案】36.(2014·山東)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C與x軸所得弦的長為2eq\r(3)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝4能力提升7.與直線x－y－4＝0和圓A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半徑最小的圓C的方程是_______________________________________．【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝28．坐標(biāo)平面上有兩個定點A