2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題16 全等三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國通用）（學(xué)生版）

專題16全等三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1全等三角形的概念及其性質(zhì)】 1【考點(diǎn)2一次證明全等三角形】 3【考點(diǎn)3多次證明全等三角形】 4【考點(diǎn)4網(wǎng)格中的全等三角形】 6【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等三角形】 7【考點(diǎn)6利用倍長中線模型證明全等三角形】 9【考點(diǎn)7利用垂線模型證明全等三角形】 11【考點(diǎn)8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】 12【考點(diǎn)9連接兩點(diǎn)作輔助線證明全等三角形】 14【考點(diǎn)10全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】 15【要點(diǎn)1全等圖形的概念】能完全重合的圖形叫做全等圖形.【要點(diǎn)2全等圖形的性質(zhì)】兩個(gè)圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.【要點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)】全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）【考點(diǎn)1全等三角形的概念及其性質(zhì)】【例1】（2022·廣東揭陽·?？既＃┤鐖D是小明用七巧板拼成的一個(gè)機(jī)器人，其中全等三角形有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式1-1】（2022·廣西·校聯(lián)考一模）下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等形C．若兩個(gè)圖形的周長相等，則它們一定是全等形 D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等【變式1-2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【變式1-3】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C=______．【要點(diǎn)4全等圖形的判定】判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角角邊(AAS)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【考點(diǎn)2一次證明全等三角形】【例2】（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE中，AF⊥CD，則∠BAF的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【變式2-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【變式2-2】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【變式2-3】（2022·江蘇連云港·校聯(lián)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，點(diǎn)M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點(diǎn)M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．（1）求證：DE⊥DM；（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．【考點(diǎn)3多次證明全等三角形】【例3】（2022·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，以AE為一邊在AE的下方作正方形AEFG，連接ED，試判斷線段AH與DE的位置關(guān)系及線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系．（1）圖1中線段AH與DE的位置關(guān)系是，線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系是．（2）勤奮小組受到老師的啟發(fā)，在老師提出問題的基礎(chǔ)上將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，點(diǎn)D仍在正方形AEFG內(nèi)部，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）①創(chuàng)新小組在勤奮小組研究的基礎(chǔ)上延長線段ED交FG于點(diǎn)M，如圖3所示，發(fā)現(xiàn)DH=FM，請證明；②若圖3中線段GM是線段FM的2倍，請直接寫出線段ED與AH的長度的比值．【變式3-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【變式3-2】（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【變式3-3】（2022·河北·一模）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有（）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【考點(diǎn)4網(wǎng)格中的全等三角形】【例4】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【變式4-1】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中△ABC為格點(diǎn)三角形．請按要求作圖，不需證明．(1)在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點(diǎn)三角形，要求所作格點(diǎn)三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；(2)在圖2中，作出以BC為對(duì)角線的所有格點(diǎn)菱形．【變式4-2】（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），請用無刻度直尺按要求分別作圖：(1)在圖1中，過點(diǎn)C作與AB平行的線段CE（點(diǎn)E在格點(diǎn)上）；(2)在圖2中，以BC為邊作一個(gè)△BCE（點(diǎn)E在格點(diǎn)上），使它與△ABC全等；(3)在圖3中，在AB，BC邊上分別取點(diǎn)G，H，將△ABC沿著GH折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，畫出線段AH．【變式4-3】（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）如圖，在方格紙中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)及A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，（1）在圖甲中畫出一個(gè)三角形與△PQR全等；（2）在圖乙中畫出一個(gè)三角形與△PQR面積相等但不全等.【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等三角形】【例5】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【變式5-1】（2022·河南焦作·統(tǒng)考二模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取點(diǎn)C，E，分別以點(diǎn)O為圓心，OC，OE長為半徑作弧，交射線OB于點(diǎn)D，F(xiàn)；（2）連接CF，DE交于點(diǎn)P．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CE=DF B．PE=PFC．若∠AOB=60°，則∠CPD=120° D．點(diǎn)P在∠AOB的平分線上【變式5-2】（2022·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)．(1)在CD邊上求作一點(diǎn)F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若AB＝BC＝4，求BF的長．【變式5-3】（2022·福建·統(tǒng)考一模）求證：全等三角形對(duì)應(yīng)中線相等.要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A′B′，已知A′B②若點(diǎn)D、D′分別是兩個(gè)三角形的邊AC、A【考點(diǎn)6利用倍長中線模型證明全等三角形】【例6】（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D為邊BC的中點(diǎn)，若AD=1.5，則AC的長度為______．【變式6-1】（2022·全國·一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；(3)求證：CE＝12AB【變式6-2】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式6-3】（2022·山東日照·?？家荒＃┪覀兌x：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△A′B特例感知：（1）在圖2，圖3中，△A′B′C′是①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=________BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°,猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點(diǎn)7利用垂線模型證明全等三角形】【例7】（2022·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3，點(diǎn)E在AC上，AE=23AC，D是BC延長線上一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FE，當(dāng)AF∥BD時(shí)，線段【變式7-1】（2022·廣西玉林·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B，C在第一象限，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(52,2)．反比例函數(shù)y=kx（常數(shù)k>0，x>0【變式7-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，BC交l2于D點(diǎn)．（1）求AB的長．（2）求sin∠BAD的值．【變式7-3】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）老師在上課時(shí)，在黑板上寫了一道題：“如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE于F，請問圖中是否存在一組全等三角形？”小杰同學(xué)經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．理由如下：因?yàn)锳BCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因?yàn)镈F⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）所以∠DFA＝∠B（等量代換）又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在△ADF和△EAB中∠DFA=∠B所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖卻說這題是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)三角形根本不全等．你知道小杰的錯(cuò)誤原因是什么嗎？我們再添加一條線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請能說出此線段的做法嗎？并說明理由．【考點(diǎn)8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】【例8】（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5．將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)O與O′的距離為4 B．∠AOB=150°C．S四邊形AOBO′=6+43 D．【變式8-1】（2022·福建南平·一模）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接BE．（1）點(diǎn)C到AB的最短距離是_____；（2）BE的最小值是_____．【變式8-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點(diǎn)P，若∠APC=45°，則A點(diǎn)坐標(biāo)為______.【變式8-3】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC，連接BC，在線段BC上取一點(diǎn)D，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)12α得到AE(1)如圖1，若tanB=①當(dāng)BD>CD，且∠CAE=20°時(shí)，求∠DAC的度數(shù)；②試探究線段AD與CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若tanB=34，當(dāng)CE⊥BC【考點(diǎn)9連接兩點(diǎn)作輔助線證明全等三角形】【例9】（2022·河北·模擬預(yù)測）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點(diǎn).(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點(diǎn),仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結(jié)論不證明.【變式9-1】（2022秋·西安·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時(shí)，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．【變式9-2】（2022秋·湖南長沙·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，過點(diǎn)B作AB的垂線，使得BC＝AB，且點(diǎn)C在x軸的上方．（1）求證：∠CBD＝∠BAO；（2）如圖2，點(diǎn)A、點(diǎn)B在滑動(dòng)過程中，把AB沿y軸翻折使得AB'剛好落在AC的邊上，此時(shí)BC交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CN垂直y軸于點(diǎn)N，求證AH＝2CN；（3）如圖3，點(diǎn)A、點(diǎn)B在滑動(dòng)過程中，使得點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)C作CF垂直y軸于點(diǎn)F，求證：OB＝AO+CF．【變式9-3】（2022·浙江臺(tái)州·三模）把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于