2021年吉林省長春市新區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試卷（ 含答案）

2021年吉林省長春市新區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試卷

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.計算6+“的結(jié)果是（）

A.B.2V3C.372D.逅

3

2.2020年長春市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值6638.03億元，同比增長3.6%.總體來看，經(jīng)濟(jì)保持平

穩(wěn)運(yùn)行.6638.03這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.6.63803X104B.6.63803X103

C.0.663803X105D.0.663803X104

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.長方體B.正方體C.球D.圓柱

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點（-2,-3）到x軸的距離是（）

A.-2B.-3C.2D.3

5.如圖，A8是。。的直徑，點C、。在。。上.若/A8￡>=15°，則NBC。的大小是（)

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.如圖，是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)02與墻MN平行且距

離為。米，一輛小汽車車門寬AO為6米，當(dāng)車門打開角度/AO8為a時，車門邊緣的

點A處與墻的距離為（）

A.a-/?sinaB.a-4anaD.a...-

tanO.

7.已知直線/及直線/外一點P.如圖,

(1)在直線/上取一點A,連接用；

(2)作山的垂直平分線MM分別交直線/,外于點B,0；

(3)以。為圓心，。8長為半徑畫弧，交直線MN于另一點Q；

(4)作直線P。.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是()

A./\OPQ^/\OABB.PQ//AB

C.AP=1BQD.若尸Q=B4,則/APQ=60°

2

8.如圖，菱形ABCO的兩個頂點8、。在反比例函數(shù)y=K的圖象上，對角線AC與的

交點剛好是坐標(biāo)原點0，已知點A(1,1),ZABC=60°,則k的值是()

A.-2B.-3C.-273D.-3&

二、填空題(每小題3分，共18分)

9.因式分解：2/-12/+18。=.

10.若亞彘在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

11.若一個多邊形內(nèi)角和為900°,則這個多邊形是邊形.

12.如圖，在半徑為2的圓形紙片中，剪一個圓心角為90°的最大扇形(陰影部分)，若將

此扇形圍成一個無底的圓錐(不計接頭)，則圓錐底面半徑為.

13.一副三角板按如圖方式擺放，得到△ABO和△BCD,其中乙4。8=/8。。=90°,ZA

=60°,ZCBD=45°,E為AB的中點，過點E作EF_LC￡＞于點?若AD=4a〃，則

EF的長為cm.

C

14.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=-，-2%+機(jī)（機(jī)為常數(shù)）與x軸的交點都在點A（-

4,0）、B（1,0）之間，則用的取值范圍是.

三、解答題（本大題共8小題，共78分）

15.（6分）先化簡，再求值：（a+1）2+a（1-a）-1,其中a=遙.

16.（6分）有A、B兩個不透明的盒子，A盒子里有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,B

盒子里有兩張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字4、5,這些卡片除數(shù)字外其余均相同.將卡片搖勻后，

從A、B盒子里各抽取一張卡片，請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求抽到兩張卡片上標(biāo)

有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

17.（6分）圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的

頂點稱為格點.點A、B、例、N均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要

求畫圖.

圖①圖②

（1）在圖①中的格線MN上確定一點P,使南與尸8的長度之和最小；

（2）在圖②中的格線MN上確定兩點C、。，使CZ）=2且AC+CQ+O8的值最小.

19.(7分)自新冠肺炎疫情爆發(fā)以來，我國人民上下一心，團(tuán)結(jié)一致，基本控制住了疫情.然

而，全球新冠肺炎疫情依然嚴(yán)重，境外許多國家的疫情尚在繼續(xù)蔓延，疫情防控不可松

懈.如圖是某國截止2020年5月31日新冠病毒感染人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖.根

據(jù)圖表信息，回答下列問題:

新冠病毒感染人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

"39歲

/周染快徐感染人數(shù)

航79人乙二年0歲以下

色染人數(shù)的0歲以［感染人數(shù)

\45%感染S

(1)截止5月31日該國新冠肺炎感染總?cè)藬?shù)累計為萬人，扇形統(tǒng)計圖中40-59

歲感染人數(shù)對應(yīng)圓心角的度數(shù)為.

(2)請直接在圖中補(bǔ)充完整該國新冠肺炎感染人數(shù)的折線統(tǒng)計圖.

(3)在該國所有新冠肺炎感染病例中隨機(jī)地抽取1人，求該患者年齡為40歲以下的概

率.

(4)若該國感染病例中從低到高各年齡段的死亡率依次為1%、2.75%、3.5%、10%、20%,

求該國新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

20.(7分)如圖，在nABCQ中，ZACB=90°,過點。作。E_LBC交BC的延長線于點￡

(1)求證：四邊形ACM是矩形.

(2)連接AE交CD于點F,連接BF.若/A8C=60°,CE=\,則BF的長

為_______________.

21.(8分)甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到3地，甲先出發(fā)30分鐘，到達(dá)8地后原

路原速返回與乙在C地相遇.甲的速度比乙的速度快25%/人甲、乙兩人與A地的距離

y(km)和乙行駛的時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車速度為km/h,"的值為.

(2)求甲車到達(dá)8地后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)求8c兩地相距的路程是多少千米.

圖①圖②圖③

［性質(zhì)探究］如圖①，點尸在△A8C內(nèi)，將△4PC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點

B處，得到△AQB,連接。P.求證：是等邊三角形.

［理解運(yùn)用］如圖②，點尸在內(nèi)，若NAPC=150°,PA=\,PC=2,求PB的長度.

［類比拓展］如圖③，點P在aABC外，若用=1,PB=3,PC=?,則NAPC的度數(shù)

為

2021年吉林省長春市新區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.計算6+b的結(jié)果是（）

*萼&2氏C.372。?李

【分析】將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，然后進(jìn)行分母有理化即可.

【解答】解：6+遍=￡=幽1=2我.

V33

故選:B.

2.2020年長春市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值6638.03億元，同比增長3.6%.總體來看，經(jīng)濟(jì)保持平

穩(wěn)運(yùn)行.6638.03這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.6.63803X104B.6.63803X103

C.0.663803X105D.0.663803X104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：6638.03=6.63803X103.

故選:B.

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.長方體B.正方體C.球D.圓柱

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形是柱體，根據(jù)俯視圖是圓可判斷出這個幾何體

應(yīng)該是圓柱.

故選：D.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點（-2,-3）到x軸的距離是（）

A.-2B.-3C.2D.3

【分析】根據(jù)點的縱坐標(biāo)的絕對值是點到x軸的距離，可得答案.

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點（-2,-3）到x軸的距離為3.

故選：D.

5.如圖，AB是。。的直徑，點C、。在。。上.若/48D=15°,則NBCO的大小是（：）

【分析】根據(jù)圓周角定理及直徑所對圓周角為90°求解.

【解答】解：為直徑，

AZBCA=90°,

VZABD=\50,

；./ACQ=NA8Z）=15°,

NBCO=NAC￡）+NACB=105°,

故選：B.

6.如圖，是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)。3與墻平行且距

離為。米，一輛小汽車車門寬AO為6米，當(dāng)車門打開角度/AOB為a時，車門邊緣的

點A處與墻的距離為（）

A.a-/?sinaB.a-Z?tanaC.-___-——D.-___--

sinClatana

【分析】構(gòu)造直角三角形OAC,通過解直角三角形求出AC長度即可求解.

【解答】解：如圖，作ACLO8于點C,

M

*：AO=b,/AOB為a,

.".sina=-^.,

OA

；.AC=6sina,

車門邊緣的點A處與墻的距離為a-bsina.

故選:A.

7.已知直線/及直線/外一點P.如圖,

(1)在直線/上取一點4,連接雨;

(2)作出的垂直平分線分別交直線/,用于點8,0；

(3)以。為圓心，08長為半徑畫弧，交直線MN于另一點°；

(4)作直線PQ.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是()

A./\OPQ^/\O\BB.PQ//AB

C.AP=^BQD.若PQ=B4,則/APQ=60°

【分析】連接AQ,BP,如圖，利用基本作圖得到BQ垂直平分以，OB=OQ,則可根

據(jù)“SAS”判斷△O4B絲△OPQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得/ABO=NPQO,于是可判斷

PQ//AB；由BQ垂直平分PA得到QP=QA,若PQ=PA,則可判斷△以、為等邊三角形，

于是得到/AP0=6O°,從而可對各選項進(jìn)行判斷.

【解答】解：連接A。，BP,如圖，

由作法得BQ垂直平分B4,OB=OQ,

.../POQ=NAO8=90°,OP=OA,

.?.△0A始△OPQ（SAS）；

ZABO=ZPQO,

J.PQ//AB；

：8。垂直平分以，

：.QP=QA,

若PQ=必，則PQ=QA=%,此時△以。為等邊三角形，貝叱”。=60°.

故選：C.

8.如圖，菱形48C。的兩個頂點8、。在反比例函數(shù)），=K的圖象上，對角線AC與8。的

x

交點剛好是坐標(biāo)原點O,已知點A（1,1）,NA8c=60°,則k的值是（）

A.-2B.-3C.-2-/3D.-372

【分析】根據(jù)OA所在直線解析式求出OA長度及OB所在直線解析式，再通過解直角三

角形求出OB的長度，設(shè)出點8坐標(biāo)，求出坐標(biāo)即可求出上

【解答】解：???點A坐標(biāo)為（1,1）,

所在直線解析式為＞=X，且。4=我，

'：BO±AO,

：.B0所在直線解析式為y=-x,

VZABC=60°,

，/ABO=30°,

80=V^A0=近，

設(shè)點B坐標(biāo)為（“，-in）,

則后舍近，

解得〃7=±J5，

:.k=-m2--3.

故選:B.

二、填空題(每小題3分，共18分)

9.因式分解：2/-12/+18。=2。(”-3)2.

【分析】此多項式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項式進(jìn)行觀察，有3項，

可采用完全平方公式繼續(xù)分解.

【解答】解：2a3-解d+i8a

=2a(J-6a+9)

—2a(a-3)2.

故答案為：2a(a-3)2.

10.若亞獲在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x23.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【解答】解：:使t2x-6在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

：.2x-6^0,

解得x23.

故答案為：x23.

11.若一個多邊形內(nèi)角和為900°,則這個多邊形是七邊形.

【分析】根據(jù)多邊形的外角和公式(n-2)-180°,列式求解即可.

【解答】解：設(shè)這個多邊形是〃邊形，根據(jù)題意得，

(〃-2)780°=900°,

解得n=7.

故答案為：七.

12.如圖，在半徑為2的圓形紙片中，剪一個圓心角為90°的最大扇形(陰影部分)，若將

此扇形圍成一個無底的圓錐(不計接頭)，則圓錐底面半徑為返.

-2一

【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形的弧長等于底面周長求得底面半徑即可.

【解答】解：連接BC,

VZBAC=90°,

??.8C為。。的直徑，

：.BC=4,

在RtZ\ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2A/5,

.?.扇形的弧長為：90兀X2返=揚(yáng),

180

設(shè)底面半徑為r,則2TU*=MTT,

解得：r=返，

2

故答案為：返.

2

13.一副三角板按如圖方式擺放，得到△A8D和△BCD,其中乙4。8=/38=90°,ZA

=60°,ZCBD=45°,E為A8的中點，過點E作EF_LCO于點F.若A￡）=4c/n,則

EF的長為（、萬+\而）cin.

【分析】過A作AGLZJC于G,得到/4OG=45°,進(jìn)而得到AG的值，在30°的直角

三角形A3。和45°直角三角形3C￡）中，計算出BO,CB的值.再由AG〃EF〃BC,E

是AB的中點，得到F為CG的中點，①最后由梯形中位線定理得到EF的長.②連接

DE,根據(jù)勾股定理得到A8,根據(jù)直角三角形中位線定理得到OE,再根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系求得DF,根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：過點A作AGLOC于G.

:,NCDB=NCBD=45°,NADB=90°,

.?./AOG=45°.

DG=AG=.^=2y/2cm.

V2

VZABD=30°,

BD—V3AO=.

VZCBD=45°,

.?.C8=g&=2加cm.

V2

：AG_LCG,EFLCG,CBLCG,

J.AG//EF//BC.

又是AB的中點，

尸為CG的中點,

?.-.EF=A（AG+BC）=A（2&+2捉）=（V2+V6）cm.

22

②連接DE,

AB=Scm9

DE=4cm,

CD='ZyJ^cfnf

DF=（2A/6-2V2）4-2=（A/6-V2）cm,

EF={DE2-DF2=cm.

故答案為：（。分

14.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y=-/-2x+m("為常數(shù))與x軸的交點都在點A(-

4,0)、B(b0)之間，則q的取值范圍是-.

【分析】根據(jù)拋物線開口朝下，△》()時拋物線與x軸有交點，點8距離對稱軸更近,

所以將X=1代入拋物線解析式小于0,從而求解.

【解答】解：???拋物線開口朝下，對稱軸為直線x=-l,-1-（-4）>1-（-1）,

2

二拋物線與直線X=1交點在X軸下方，且方程-x-2JC+?7=0,△》（），

即1—0,

14+4m）0

解得"1

故答案為：-lW/n<3,

三、解答題（本大題共8小題，共78分）

15.（6分）先化簡，再求值：（a+1）2+〃（1-°）-1,其中。=遙.

【分析】原式利用完全平方公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最

簡結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計算即可求出值.

【解答】解:原式=。2+2。+1+。-/-1

—3a,

當(dāng)a=泥時，原式=3泥.

16.（6分）有A、B兩個不透明的盒子，A盒子里有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,B

盒子里有兩張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字4、5,這些卡片除數(shù)字外其余均相同.將卡片搖勻后，

從4、8盒子里各抽取一張卡片，請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求抽到兩張卡片上標(biāo)

有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，抽到兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的

結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可.

積458101215

共有6種等可能的結(jié)果，抽到兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的結(jié)果有4種，

...抽到兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率為芻=2.

63

17.（6分）圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的

頂點稱為格點.點4、B、M、N均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要

求畫圖.

圖①圖②

（1）在圖①中的格線MN上確定一點P,使以與P8的長度之和最??；

（2）在圖②中的格線MN上確定兩點C、D,使C￡）=2且AC+CC+OB的值最小.

【分析】（1）作點4關(guān)于直線MN對稱點然后連接點8,與MN交點即為所求.

（2）先做點A對稱點，然后點B向左移動2個單位連接兩點，將點A對稱點右移2個

單位連接點8即可求出C,D.

【解答】解：（1）如圖，作點A關(guān)于直線MN對稱點然后連接點B,

交MN于點、P,

（2）先做點A對稱點，然后點B向左移動2個單位連接兩點，將點A對稱點右移2個

單位連接點8即可求出C,D.

19.（7分）自新冠肺炎疫情爆發(fā)以來，我國人民上下一心，團(tuán)結(jié)一致，基本控制住了疫情.然

而，全球新冠肺炎疫情依然嚴(yán)重，境外許多國家的疫情尚在繼續(xù)蔓延，疫情防控不可松

懈.如圖是某國截止2020年5月31日新冠病毒感染人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖.根

據(jù)圖表信息，回答下列問題：

新冠病毒感染人額扇形統(tǒng)計圖

覆〉\20*39歲

/蹩%?感染人數(shù)

’60-79氯乙旦今20歲以下

辭染人數(shù)恤歲以］感染人數(shù)

\45%感染加

（1）截止5月31日該國新冠肺炎感染總?cè)藬?shù)累計為，萬人，扇形統(tǒng)計圖中40-59

歲感染人數(shù)對應(yīng)圓心角的度數(shù)為72。.

（2）請直接在圖中補(bǔ)充完整該國新冠肺炎感染人數(shù)的折線統(tǒng)計圖.

（3）在該國所有新冠肺炎感染病例中隨機(jī)地抽取1人，求該患者年齡為40歲以下的概

率.

（4）若該國感染病例中從低到高各年齡段的死亡率依次為1%、2.75%、3.5%、10%、20%,

求該國新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

【分析】（1）由60-79歲的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，再用3600乘以40-59

歲感染人數(shù)所占比例即可得；

（2）先求出20-39歲人數(shù)，再補(bǔ)全折線圖；

（3）利用頻率估計概率即可得；

（4）利用加權(quán)平均數(shù)的定義求解可得.

【解答】解：（1）截止5月31日該國新冠肺炎感染總?cè)藬?shù)累計為9945%=20（萬人），

扇形統(tǒng)計圖中40-59歲感染人數(shù)對應(yīng)圓心角的度數(shù)為360°X_?=72°,

20

故答案為：20,72；

（2）20-39歲人數(shù)為20*10%=2（萬人）,

補(bǔ)全的折線統(tǒng)計圖如圖所示；

新冠病毒感染人數(shù)統(tǒng)計圖

20-39歲以下60-79歲以下

(3)該患者年齡為40歲以下的概率為：2+0.5=4

208

(4)該國新冠肺炎感染病例的平均死亡率為：

0.5X1%+2><2.75%+443.5%+9X4%+4.5義20隈100%=10%

~20°°-

20.(7分)如圖，在口488中，/ACB=90°,過點。作。E_L8C交BC的延長線于點E.

(1)求證：四邊形ACE￡>是矩形.

(2)連接AE交C￡>于點凡連接BF.若乙48c=60°,CE=1,則B尸的長為

【分析】(1)由DABCD,ZACB=90°可得NACE=/CA￡>=90°,再由。E_L8C可得

ZDEC=90°從而證明.

(2)又矩形對角線互相平分且相等及A8〃C￡>,ZABC=60°可證明△8FE為直角三角

形，再通過特殊三角函數(shù)值可求解.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。為平行四邊形,

J.AD//BC,

VZACB=90°,

...NACE=NCAD=9O°,

XVDE1BC,

N￡)EC=90°,

，NACE=ZCAD=ZD￡C=90°,

四邊形ACE。是矩形.

(2)如圖，

,:AB〃CD,

：.ZDCE=ZABC=60°,

<CF=EF,

...△CFE為等邊三角形，

:.CF=CE=AD=BC=1,

.../C8F=NCFB=60+2=30°,

/.NBFE=ZCFB+ZEFC=90°,

.?.△BFE為直角三角形，

/.tan30°=^-=^3-,

BF3

:.BF=?EF=?.

21.(8分)甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到B地，甲先出發(fā)30分鐘，到達(dá)8地后原

路原速返回與乙在C地相遇.甲的速度比乙的速度快25加/力，甲、乙兩人與4地的距離

y(km)和乙行駛的時間x(力)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車速度為50km/h,〃的值為125.

(2)求甲車到達(dá)B地后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)求BC兩地相距的路程是多少千米.

【分析】(1)由速度=路程+時間，路程=時間X速度求解.

(2)先由甲車速度為50kmih得出y=kx+b中A=-50,再代入點坐標(biāo)求解.

(3)聯(lián)立甲乙兩車所在直線方程求出y,再用總路程-所求y即可.

【解答】解：(1)由題意可得甲行駛30分鐘路程為25姐?，

即甲的速度為25+0.5=50h”//i,

.?.50X(2+0.5)=125km,

即a=1