合肥工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)答案

合肥工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)答案第一章行列式。1.求下列排列的逆序數(shù)，并確定它們的奇偶性.。(1)1347265；(2)w(w-l)--321.p解(1)r(1347265)=0+04-0+3+1+2=6,偶列；一(2)r(w(w—1)---321)=1+2+3-----n—\—

■-—^―—，當(dāng)n-4k或4允+1時(shí)，偶排列；當(dāng)??=4免+2或4炎+3時(shí)，2xx2.用行列式定義計(jì)算/(x)=1X3211121—1x11X中X4和的系數(shù)，解x4和X3的分別系數(shù)為2和-1.。奇排列.。并說(shuō)明理由.21112423.求D=336344482112【注意“行和相等的行列式的計(jì)算方法”】?=120.1111122111解Z)=2x3x4【分析】本行列式的特點(diǎn)是第2、3、4行元素均有公因子，可先提出公因子再計(jì)算行列式11jq—mn4.求D”=x^-m【分析】本行列式的特點(diǎn)是各行(列)元素之和相冋，故可把第2列至第n列加到第一列后，提取公因子(Xi+x.+.^-w),然后化為三角形行列式.【參見(jiàn)冋_P5-例4】00-m011101…05.求2^=10a2-“0,其中qa:…an^0.———......100…【分析】本行列式稱為箭型行列式，通常可化為三角形行列式來(lái)計(jì)算.【參見(jiàn)冋輔P5—例5.】，1cx

-(-)c.(J=+1)解g/-inI-Z丄110ai000(7；00012116.求Z)=1311141111117【分析】本行列式可將第一列拆分成兩項(xiàng)之和＞711111111200D=1+11030717006解+231171441二36+11=36+18+54=108.11111111113111311031—+141114101411711170111117111111414-041=36+03011701700607.求￡>=000a2b2b3a300A00【分析】本行列式各行（列）零元素足夠多，可按第一列（行）將行列式莪開(kāi).【沿邊展開(kāi)L000b、0解D=基*0b3a3000a4a，

b、0x>00Aj=a!?(-1)1+1a30+^4(-D4+la2b2000a4b.a;0=(t7ta4

-^Z>4)(o2a3

一b2b3).X-10000X-1…o000X…o08.證明=axx+a2xH-----Fa^x+a”?**■*■**■********000…X-1an~lan-2…a2°1【分析】考察本題的行列式，/\與￡^的結(jié)構(gòu)相冋，故可以3遞推的方法證明.p證明按第一列展開(kāi)。Dn=xDn-i+a”=^^-2

+?)+a”=x2Z\_2+an_xx+an。=?-?=X"-1!)!+a2xn~2+…+a^x+an=qx”—1+a2x^2+???+anAx+a”一12231221239.己知4階行列式￡>=343~33414243求+^22+A32

+A42,其中42（/=1,2,3,4）為Z）中第/行，第2列元素的代數(shù)余子式.【分析】直接計(jì)算的值.工作量大且容易出錯(cuò)，這類題目可根據(jù)行列式。的展開(kāi)性質(zhì)求解較簡(jiǎn)單.。解構(gòu)造新的行列式。11Di=3411121132142123334311121314122324212;33=-12（范德蒙行列式）。Xj+ax2+a~x3

-d,10.解方程組<x:+Z>x2+Z>:x3=J,其中a,b,c

互異.TTXj+cx2+c‘x3=a.【分析】本題考核克萊姆法則及范德蒙行列式.。1解因?yàn)橄禂?shù)行列式D=11bb2=(b-a)(c-a\c-b)^0t所以方程組有唯一解、又因?yàn)閐dbb2=dZ),1da2Z)2=11db2d?=0r\adD3=IbJ=0,led故由克萊姆法則得乂Xj+x，+Xj—0，11.當(dāng)義取何值時(shí).齊次線性方程組w；Ly:+x3=0,有非零解？。Xj+x2

4-Ax3

=0.【分析】本題考查克萊姆法則的推論及含參數(shù)的行列式的計(jì)算.。21解系數(shù)行列式D=

1A1111=(2+2XA-l)2,乂故當(dāng)又=-2或又=1時(shí)OD=0O齊次線性方程組有非零解＞【總結(jié)】。1.?階行列式共有一個(gè)元素，g開(kāi)后有7;!項(xiàng)，每項(xiàng)是來(lái)自不同行不同列元素的乘積的代數(shù)和/2.行列式常用記號(hào)\A\tdet(a);或乃表示.記號(hào)r2+kr｛表示第一行的炎倍加到第二行；c2

表示第一列的k倍加到第二列，這一記號(hào)不滿足交換性.3.行列式有三種類型：數(shù)字型、抽象型、含參型，要會(huì)計(jì)算矩陣的行列式，如：。4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：5.代數(shù)余子式的性質(zhì)①

A和的大小無(wú)關(guān)，'和?的位置有關(guān)；*?②某行（列）的元素乘以其它行（列）元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和為0;③某行（列）的元素乘以該行（列）元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和為|、4|.6.行列式的重要公式。①主對(duì)角行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；。②

副對(duì)角行列式的值等于副對(duì)角線上元素的乘積x(-l)_;一③上、F三角行列式即0

.的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；。④ACAOAOOBCBOB(分塊矩陣的性質(zhì))V⑤范得蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積，共項(xiàng)的乘積；。2⑥|JB|=|5J|成立的前提是隼B為同階方陣；若j為w階方陣，則|/l4|=々”|j|，

A*-A

^1；

?1T

=|-4|;若4為《階可逆陣，則A'1=+.。⑦人，其中岑為d的特征值：。7.證明矩陣=0常用的方法：①證明p|=-|i4|；

=（先#1）**②用反證法.假設(shè)|、4卜0,則d可逆，……，得到矛盾/③構(gòu)造齊次線性方程組Anx=0，證明其有非零解.。$利用秩，證明r(An)<n^⑤

證明2=0是的特征值>⑥證明-4的列(行)向量組是線性相關(guān)的/第二章矩陣。r

10-nr1_21.設(shè)=214,B=-i3-325:.053、0，求(1)2.4B-3J2；

(2)ABr；

(3)\-2A\.f一10—820>解(1)2AB-3A2

=2611-38L3238-106；-1-2、(2)ABr

=12113920>(3)|-2z1|=(-2)3|J|=80.【注】本題意在考査矩陣的乘法，數(shù)乘矩陣，矩陣的冪運(yùn)算.矩陣的減法.矩陣的轉(zhuǎn)置及矩陣的。行列式的計(jì)算.一02.A=0A000,求zT.解=AE+B,而B(niǎo)1=0(n=2,3,---),則zl”=(乂￡+B)n=(義￡)”+n^AE^B=AnE+n^~xB=0、0rooz3.設(shè).4為3階方陣，|j|=—丄，求解因?yàn)?4^)_1=izl_I,故|(4.4)_1

+3A=(-|)3MI64(4zl)_1+3J*0PGioo、oor020—020+00000A、00義乂0oo?71I4設(shè)zl為W階可逆陣，試證zl的伴隨矩陣zf也可逆，并求(J*)'1.因?yàn)?為《階可逆陣，所以戸|*0,故A*=\A['X

0,則4?是可逆的，。證明5.證明5【注】對(duì)于*階矩陣A:A4*=A\4=\A\E恒成立.因?yàn)锳r=^=|^|E,且|^|*0,故有【注】若題設(shè)《階方蔦J滿足/U)=0,要證aA+b￡可逆.則先分解出因子a4+A￡.若有(aA+b￡)B=kE(k^O),則知矩陣aA+bE

可逆，且(a4故^1+4￡可逆，且(A+4Eyi=2E~A設(shè)W階矩陣.4滿足A2+2A-^E=Of證明.4及d+4￡均可逆，并求它們的逆.由A2+2A-3E=O^>A^^=E.故-4可逆，AA~l^-4^2E

；33、A—2E又由4‘+2』-3￡=0=>(zl+4￡).~=￡,一一5介.一皆r，貝…什介r

02-1、6.求矩陣112的逆矩陣/-1-1-1\7f135)J——-7?7j￡t02-1r

135、國(guó)為|.4|=112=一2本0，所以矩陣4是可逆的.又/=—1—1—1-1-1-1<°一2

'【注】求/要注意兩點(diǎn)：一(1)中第i行元素的代數(shù)余子式在A中是第/列：(2)求A.時(shí)不要忘記(-1)I+J.J-|211*|2111-20"IF故7.設(shè)矩陣zl，5滿足AB=2B^Ar

30l'j且A=110,求矩陣B.wJ)14,解由AB=A-^-2B

得(A-2E)B=Af

則B=(A-2EylAf/-?<2-1-O2-2-1e1121-1-1而(A-2E)'1X7<2-1-1、<30Pr5-2-2、所以B=2一2-11101

—4-3-2c11U14>-223<zzJJ【注】由AB=A^2B^>s\A-2E)B=Af

正確(A-2)B=A,錯(cuò)誤B(A-2E)=A.錯(cuò)誤.8.設(shè)/是矩陣、4的伴隨陣，矩陣X滿足AX=A^+2Xf求矩陣X,其中、|rl1-1、^4=-111-1*>解在AX

=.41+IX兩邊冋時(shí)左乘.4,見(jiàn)教材P45例,求zT1

及A4.p9.設(shè)4=解設(shè)3=由分塊對(duì)角陣的性質(zhì)可得.11-25<i-252212313>-2131~3（AC1

）<（匕,其中4=rl-2>M=（|4|-|^|）4=8l>10.設(shè).4為3階方陣，將，4的第1列與第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得到C..求滿足AQ=C的可逆矩陣解按題意.用初等矩陣描述，有?！?10、’100、’010、rl00、A100=B.B011=C.故4100011-C,001?0

b001X/oor從而'010、f\00、r01PQ=100011—100?1°0l>、001??0b11.求下列矩陣的秩。-1210、2-2420⑴A=306-111^03001J解（1）<1-12-2A=30、03246010、(\2-10010—>0V故R(A)=3.^-1033<111⑵0213-1ab4，其中a，Z＞為參數(shù).<3517>210、<1一1210000300101000?40，00000故.1f1111）rliir01—10i-1b解（2）B=?J23a40ia-12、351

L2-24;<1111、"111101-1b01-1b?00a-\2--b00a-10、0004-為Q004-2Z>?1)當(dāng)a*l且辦；t2時(shí)，R(B)=4；2)當(dāng)a=l且辦=2時(shí)，R

(^)=2；3)當(dāng)a=l但b本1或Z>=2而a*l時(shí)，R(5)=3.【注1】求矩陣秩的方法：4經(jīng)初等行變換化為行階梯型陣5,則矩陣4的秩R(A)=B的4溥行。的行數(shù)【注2】矩陣d經(jīng)初等變換化為矩陣陣5.應(yīng)記為A^B或4~方，不可寫(xiě)為A=B.^rl25、rl04、12.設(shè)/!=2a7023132kJI605>己知矩陣zlB的秩為2,求a的值.1解因?yàn)閨^|=060423=-38*0,所以矩陣可逆、05由于R(AB)=2,由秩的性質(zhì)知R(A)=R(AB)=2,所以|<=0,解得a=5.p【注】若尸，C可逆，R(A)=R(PA)==R(PAQ):<可逆矩陣不影晌矩陣的秩>以笫三章向量組。1.設(shè)3(6^+a)-5(a,+2a)=2(a；-a),一其中=(1,0,2,1/,%=(7,1,0,4)’,a;=(0,2，-l,2)r，求a.解3(a^+a)-5(a2

+la)

=2(a；-a)=>^-11Ta=一(3q—5a2-2吒)=-(-32,-9;8,2.設(shè)a,=a-i,D.<z2=a2,0),^=(1,0,3),^=(2-3,7).問(wèn)：⑴

ajao,是否線性相關(guān)？(2)久可否w由^，巧，％線性表示？若能表示，求其表示式.-解⑴因?yàn)?-11a.=120a.103=7*0a^a^'a^線性無(wú)關(guān);<2）由于0^,0^是四個(gè)三維向量，它們是線性相關(guān)的，又由于珥，6,珥線性無(wú)關(guān)，故洱一定可由wA,a；,咚線性表示，而且表示方法唯一liiijaj-aJ-aJ+laj,RPa,=-a.

+2<^.^3.己知向量組珥，％，…，久（附之2）線性無(wú)關(guān)，又向量|/?2=a2+a5.…，Pm^a7n^a^,試討論向量組我，於，…，久線性相關(guān)性.。rl

0因?yàn)椋ˋ，A,…，久）=（?!，《：!，…，:；vo0ot.:=（珥，a2,…,％）.尺利，一1>由于lAT^l+C-l)1**",p故當(dāng)w為奇數(shù)時(shí)，|尺卜2*0,此時(shí)及（我，蘆，…，久）=w，一故向量組Pvp.,,pm是線性無(wú)關(guān)的；“當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，|尺|=0,此時(shí)及（戶，A，，..，/3J<w，一故向量組鋒.於，…，A,是線性相關(guān)的4.已知問(wèn)量組洱線性相關(guān)，q，珥:0^4線性無(wú)關(guān)，討論久么介a；-洱的線性相關(guān)性.解方法1考察+Lcl.+1.0.

+Z4(dL-a;)=0(l)假設(shè)^*0,則有0.-0^=^+Z.a.+,其中A,=-y-,i=1,2,3>>即ct=+JLa.+Zjcu+(2)因?yàn)?^4,0^05線性無(wú)關(guān)，則珥，^；，今線性無(wú)關(guān)；?-'又因?yàn)?，￡^，4，洱線性相關(guān)，則洱可由珥，0^珥樹(shù)生表示.即存在k^k,,^,使得，a^=+fca,+^03(3)?*將〈3)式代入(2)式，整理得?>a；

=(^+^)01+(>ij+A;)a,4-(^5+jt3)c^,*?故性相關(guān)，矛盾.故有Z4

=0.(1)式為/1?1+/:巧+/爽=0,又由于斗巧，今線性無(wú)關(guān)，^^=72=73=0^則A=/2=/3=/4=0,貝是線性無(wú)關(guān)的>方法2因?yàn)閍，，a；，％，4線性無(wú)關(guān)，則a；，a：，％線性無(wú)關(guān)，又向量組珥線性相關(guān)，故洱可由表示,故斯巧,今，巧,巧-￡0=及(巧，今.巧.00=4,則a^a^a^a；-&線性無(wú)關(guān).《■<5.求下列向量組的秩及其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，。（1）Oj=（l，2，l，0）’，a2=（4,5,0,5）r，a;=（l，-l，-3,5）’，a4=（0,3，l，l/;

?解進(jìn)行初等行變換.。=(A，A，A，A)=&。注意.五己為行最藺形，故由此可得：R(A)=3f且由萬(wàn)易知為=一3為+爲(wèi)，于是.a3

=-3aiA

=（a;.<z2.a3.ar4）=rl410、r\0-30、25-13r011010-310001、0551、、0000?o^,a:,a4

(或o^?a3?a4)是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.【注】初等行變換保持變換前后兩矩陣：(1)全體列向量組的線性相關(guān)性相冋；一(2)對(duì)應(yīng)若干列部分組的線性相關(guān)性相冋；。(3)對(duì)應(yīng)向量線性表示式相同.(2)珥=(1，1，2,2)，<1:=(2,5,3,4)，^=(0,3,2,3)，％=(2,2，1，1).p解廣1202、"1000>A=(alr,a2r,a3r,a4r)=12533221二0010011-143005是行最簡(jiǎn)形，及04)=3,且由B易知萬(wàn)4=瓦-民，于是.(為，A，A，A)=1^(或a^,a2,a4)是向量組aj;a2?a3?a4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.“6.已知向量組q=（l，2，-l，l），a:=（2,0，/，0），％=（0，-4,5，-2）的秩為2，求/的值.p<120、<120解A=(a,r,aJ9a/)=20-4T->011-1t5003，/10—2000因?yàn)榧?-4)=2,所以r=3>7.驗(yàn)證：Oi=（l，0，l）r，a:=（0，l,0）r,a3=（l，2,2）r為R3

的一個(gè)基.并求戶=（1，3,0）7

在.，

此基下的坐標(biāo).【分析】欲證a^.a^a^是的基.只需證線性無(wú)關(guān)；求戶在基下的坐標(biāo)，（X},X2,X3Y就是求方程組Ax=fl的解，其中J=（?!，?,.a3）,而這兩個(gè)問(wèn)題均可通過(guò)對(duì)増廣矩隊(duì)A=（Afl）作初等行變換冏時(shí)獲得解決.一解對(duì)增廣矩陣1作初等行變換：f\01|1、yrl00!2、A=(ax,a2,a39fl)=01213101015,垂U02；ojlo01Hu因?yàn)镽(A)=3f

即a^.a^a^

是及3的基：且/3=2a^5a2-a3,^即fl在基^a2,a3下的坐標(biāo)為(2,5，-l)r.8.己知向量組珥=(1，1，0/，兩=(l，O，l/，tf3=(_l，O,O)r.p(1)求內(nèi)積[a^.a.],[ava3]9(2)判斷它們是否兩兩正交？否則將a1?a2?a3正交化、單位化；。(3)將(2)所得向量分別記為pipw”令矩陣P=(Jh.P:，P山判斷戶是否為正交陣?解(1)[ava2]=l,[ava3]=-t

[?2.0^]=-1,p(2)由于內(nèi)積不為零.故它們非兩兩正交，用施密特方法將其正交單位化＞A~a\=(i,i,o)r,(3)戶=(A，戶2，/h)是正交陣＞第四章線性方程組。1.解方程組、I(1)<Xj-x2+x3

-3x4=0,xi—x2

-2x,+3x4=0.解對(duì)方程組系數(shù)矩陣.4施行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形：p<1-1-11)<1-10-1>A=1一11一3001-2Ll"Id3Jk0000?可見(jiàn)，R(A)=2<4,故該方程組有非零解.且基礎(chǔ)解系含有n-r=2個(gè)解向量，原方程組同解于pfX1=X2+X4^I^3=2x4選文2，*4為自由未知量.于是原方程組的通解為i且分別取ex.}p、l〔0、A’V>得基礎(chǔ)解系、0=，乂2=k^+k2g2，即px2X3為任意常數(shù).解第一步，首先判斷該方程組是否有解.為此，_廣矩陣進(jìn)行初等行變換*1-1001001000017易見(jiàn)，R(Atb)=R(A)=2<4,故該方程組不僅有解且有無(wú)窮多解.w第二步，求非齊次線性方程組的一個(gè)特解.由以上變換得原方程組同解于。A=(A.b)=⑵’Xj—x2

—

Xj+x4

—0?義1一x，—+2Xj=

一1/2.2上20-11-11-1-110-1-2213-?112112++-t

1為求Ax=b的特解/；，取自由未知量x2=O，x4=O，得Xj=x3

=—,可得原方程組的一個(gè)特解Yp20丄2第三步，求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解.原方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組等價(jià)于。分別令"1、，門(mén)，得一?人JAA夕從而得.Ax

=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為w所以對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解為。=ro>100，備=1AJj卜去，其中心、為任意常數(shù).。第四步，求得暌非齊次線性方程組的通解為。x=rj-^c=其中為任意常數(shù).一Xj+Xj―又j2.試求2取何值時(shí)，線性方程組，4^+x2+2x3=2+2s有解？并且求出全部解.一6x,+x2+4Xj=2/14-301A01A、<1012、解A=4122+201-22-32—01一22-3Z<61422+3?、01-23—4人、0001-2;當(dāng)又=1時(shí)，R(A)=Rp)=2<3(未知量個(gè)數(shù))，方程組有無(wú)窮多解，1011、「1、，7=01-2-1x.=-x34-1

A“”一，特解；?=-1、000x-?=2x,-1人1f-1)對(duì)應(yīng)的齊次方程以，得基礎(chǔ)解系4=則全部解為f

1>-1+k2（眾為任意常數(shù)）Axj+x，+Xj=義一3,3.又取何值時(shí)，線性方程組lx^Ax2+x3=-2,Xj4-x2

4-Ax.

=-2.有惟一解.無(wú)解及無(wú)窮多解？P當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí).求其通解.。解法1對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換。(X11A-3>1A_2>A=(A,b)-1又1-21義17/?U1又—2>11/—3」1乂-2>「11又-2〕0A—11-20y02-11—A0/1Zl1~A1-A23(2-1)J1°0(1-2)(2+2)3(2-1)J討論：1)當(dāng)且2^-2時(shí)，R(A,b)=R(<A)=3,方程組有惟一解；2)當(dāng)2=-2時(shí)，R(A)=2^R(A,b)=3t

方程組無(wú)解；111-2'3）當(dāng)乂=1時(shí)，（減/>）=0000,即7fM）=A（^^）=l<3（未知量的個(gè)數(shù)），^0000?故方程組有無(wú)窮多解.此時(shí)原方程組的同解方程組為x.=-x2-x3-2f。特解可取為。7=0.一其對(duì)應(yīng)的齊次方程組Xj=-x2

-

x3的一個(gè)基礎(chǔ)解系為、?于是.原方程組的通解為-IX=r-2>0+*11+發(fā)2r-r0其中岣,灸2為任意常數(shù).。解法2（Cramer法則）系數(shù)行列式。1^1=1I11又1=

(A-1)‘(A+2)**1A1）當(dāng)且2^-2時(shí)，由Cramer法則知原方程組有惟一解；。2）當(dāng)2=-2時(shí)，<一211-5、1-2-2>(d，A)=1-21-2->01-10I11_2001因R（A）=2^R{A,b）=3f所以方程組無(wú)解：“3）當(dāng)2=1時(shí)，?f\11-2、rl11-2>111-20000J11'、0000?因?yàn)??(zl)=A(^/?)=l<3,故方程組有無(wú)窮多解，同解方程組丸|Xj4-x2

+x3

=-2.一因此原方程組的通解為。0+灸:1+k、0山其中么，久為任意常數(shù).。比較解法1與解法2,顯見(jiàn)解法2較簡(jiǎn)單.但解法2的方法僅適用于系數(shù)矩陣為方陣的情形.。對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，例如在本例中對(duì)矩陣G4，d)作初等變換時(shí)，由于2_1，2+2。等因式可以等于0,故不宜作諸如ex-!—，r2x(A+2)4-lc這樣的變換.如果作了這種。a—1A—1變換.則需對(duì)2+2=0(或A-l=0)的情形另作討論.因此，對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換計(jì)算。量較大.。4.己知非齊次線性方程組。x!+x2

-2x3

+3x4

=0,2xj+x2

-6x3+4x4=-1,3xj+2x:

-8x;+7x4=-1.Xj—x->—6xj—X4=—2.(1)求對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)求該非齊次線性方程組的通解.。"1121-2-6340"(\001-421-P21解A=(A,b)=32一87-100000U-1-6-11°0000；因?yàn)镽(A)=R(A,b)=2<4f故非齊次方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)的同解方程組為。r1=4X?_X4_1?

非齊次方程組的一個(gè)特解云=(_1，1，0,0)。|ACj一+1.(x,

=4x,-X,,對(duì)應(yīng)的齊次方程134,取"AKX4；w得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，右=（4，一2山0廣，委=（-1，一2,0，1）。故該非齊次線性方程組的通解為：（Xi，x2，x3，x4）’=（-l，l，0,0f+勾（4，-2，1，0）7+久（-1，一2,0，1）’.（其中勾人為任意實(shí)數(shù)）設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：+a2,a2

+a；

+Oj?>也是Ar=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.正明顯然a,+a:，a:+a3，A+Gq是dx=0的解向量.又因?yàn)閜0P(q+a2.a2

++<Xj)=(?!.1101b101而110=2*0,且珥，％，％線性無(wú)關(guān)，故a+a2?a2+a3?fl^+a1也是線性無(wú)關(guān)的，011則aj+a2?a2+a3?a3+fl^也是Jx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.p6.設(shè)三元非齊次線性方程組=A的系數(shù)矩陣的秩為2,且它的三個(gè)解向量"3"滿足q=1%+免=0，求Ar=b的通解.解由于三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2,故該方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的?；A(chǔ)解系只有3-2=1個(gè)解向量.因此，只要求出對(duì)應(yīng)的齊次方程組的任一個(gè)非零解向量即為其基礎(chǔ)?解系.由題設(shè)知，乏=-"2)+d"3)=坤-("2+%)2(2>0一2_7k)~2)A是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ar=0的解，故原方程組的通解是「4、x=+r]{=k2+1處為任意常數(shù).7.設(shè)if是”元非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解.H?人r是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的。一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中r=R(A)f證明：⑴

d吞，…，4-r線性無(wú)關(guān);<2)rf，dd.，d線性無(wú)關(guān).一證明(1)反證法設(shè)m…，線性相關(guān)，一由于各，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，n人r是/lx=o的解且是線性無(wú)關(guān)的，則可由各，么，…，I線性表示，則if是《元齊次線性方程組▲=()的一個(gè)解，矛唾故，…，線性無(wú)關(guān)；。(2)考察+4MW+4>-+<(>f+O=0,。整理得，|(A)+A+

■?'+

4i.r)^7*+Ail+^2+'"

+Aj.r4?.r=0，一由(1)知，，A)+A+…+又”彳=0，A=^2=，"=又嘆=o=>^)=Z1=A2=--=2>!.r=0^故；7>*+K+4:，…^+么_。是線性無(wú)關(guān)的.-第五章特征值與特征向量。1.求下列矩陣的特征值和特征向量：Wr

123^(1)A=-1

40；，1°0

U1-A2(l)-兒E|=—14—20030=(l-2XA-2X2-3)=0^1-2=>4=1，^2=2,為=3為特征值.對(duì)應(yīng)A=1,解齊次方程組(4-￡)x=0,。<023、fl09/2、f'A-￡=-130^013/2,<°01°00;原方程組同解于9Xj=—x323X2=-~X3，取X3=~^f

得'3、k}

1Of0）為J的對(duì)應(yīng)冬=1的特征向量：?對(duì)Z=2,解齊次方程組（J-2￡）x=0,"-12r>"1-20>A—IE=-120r->0010X04、00原方程組斷Ah1（k.0）為矩陣d的對(duì)應(yīng)A=2的特征向量；w對(duì)為=3,解齊次方程組U~3￡)x=0,。原方程組冋解于r-22一3、<1一10、A-3￡=-110->0010一2>1°02’取x2

=1,得^k3

1(k3*0)為矩陣J的對(duì)應(yīng)為=3的特征向量：。(1-11)(2)A=24_2*3_31-2-11解\a-^e\=24—A-2=(又一6)(2~A—0-3-35—=>4=6，2)=2；=2為A

的特征值.對(duì)應(yīng)人=6,解齊次方程組(A-6￡)x=df

一廣-5-11、廣1一1A-6E—2-2-2032C3-3-b0(n則k}—2(么關(guān)0)為矩降4的對(duì)應(yīng)冬=6的特征向量；IV原方程組冋解于、X,—-x；

=0_-*，取Jt3

=3,得(=(1)-23xy

+2x；

=0I3

J對(duì)應(yīng)^=^=2,解齊次方程組（A-2￡）x=0f<-1-11、V"11-1、A—2E=22-2r->000<-3-33>0原方程組同解于x{

=-x2

+x；,取rn「0、得，rn則k2il°J0Id（免2,&不全為零）為矩陣d的對(duì)應(yīng)A=^=2的特征向量）2.設(shè)又為A?階可逆矩陣.4的一個(gè)特征值，證明：(1)+為J*1的特征值；。(2)\A\A^為A的伴隨陣.4*的持征值；p⑶根據(jù)以上結(jié)論，當(dāng)2=2,|^|=1時(shí)，求解(1)設(shè)又為W階可逆矩陣.4的一個(gè)特征值，則有Ax=Ax

,兩邊同乘A^,椿廠“i即J為，的特征L|\\a-e的一個(gè)特征值.一(2)在Ax=Ax

兩邊冋乘d*，得A*Ax=A*Ax=>\A\Ex=AA*x=>A*x=⑶當(dāng)A=2，\A\=1時(shí)，gp

的伴隨陣扇賺(|A2)—+^A-E的一個(gè)特征值為Ml;-AA3.設(shè)W階可逆陣,4,滿足A^2AX-3E=O,求.4的特征值.x解設(shè)又為N階可逆矩陣d的一個(gè)特征值，一7A+2Al-3E=O的特征值應(yīng)滿足A+--3=0二＞又2-3義+2=0=＞義=1或2.A4.己知3階矩陣-4,滿足\A\=-2,\A-E\=0,AB=2B,求\A2-2A-A^-E\.解由AB=2B本O，將矩陣萬(wàn)寫(xiě)成列向量得、j（AJ2,^）=2（aJ2J3）,其中3=（^，瓦，戎）,W即有Afl,=i=1,2,31其中m不全為零。于是人=2為矩陣，4的一個(gè)特征值；又由\A-E\=

0可得弋=1,由\A\

=-2=-2A=-1?一A^-1A-X-E的特征值可由'一22-0-1得到，其中義為.4的一個(gè)特征值＞又當(dāng)又分別取2,1-1時(shí)，A2-2A-A^-E的特征值分別為0,0,0,。則A-—2A—A*

—^|=0.3有一個(gè)持征向量^=（l,l,-l）r.（1）求參數(shù)a,Z＞的值。0.I-1及考所對(duì)應(yīng)的特征值；（2）.4能否相似于對(duì)角陣？說(shuō)明理由.解（1）設(shè)特征向量＜?=（l,l;-l）r對(duì)應(yīng)的特征值為2,由定義有.4^=24,即p(*)解（*）得-a=—3，b

=0；A=

一1?=_（義+1）3蘭是三重特征根，(2)\A-AE\=-1—3—A02-25-12xl+(-l)xl+2x(-l)=25xl+axl+3x(-l)=2(-l)xl+^xl+(-2)x(-l)=-2f2-1設(shè)3階方陣A-5ab-Vf2-12、(\>5a31=2i，即，'2J原方程組同解于x1=-x3一取X3=l,得古i=r-iy則t-1(k^O)為矩陣4的對(duì)應(yīng)人=-1的特征向量：。<U由子三重待征根A)=-1只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.即無(wú)三個(gè)線性無(wú)關(guān)的持征向量.。解齊次方程組(>1-人￡)5=6,r

3-l2、riorA-A^E=5-23<0ll「I0-I、000、1A故d不能相似于對(duì)角陣>rl06.設(shè)矩陣zi=12U1使P-^AP為對(duì)角陣.(P2,問(wèn)矩陣d可否相似對(duì)角化？若能相似對(duì)角化，則求正交陣P，1-義解|d-A￡|=11002-22=(2-l)2(4-A)=013—A=>^=>^=1,為=4為A的特征值.對(duì)應(yīng)冬=>?2=1，，解齊次方程組c<-z:)i=6,r000、JF<112、A—E=112->000J12>、000?原方程組同解于rnXj=-x2

-2x3

,取I*CV3>得，r-n-i’^2=0Id則lx=lI（~2\0為矩陣A的對(duì)應(yīng)人=兒=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.IU對(duì)應(yīng)4=4,解齊次方程組（^-4￡）J=0,00、尸<100>-4￡=1-22->01-1J1-l0原方程組冏解于得么=1為矩陣J的對(duì)應(yīng)為=4的特征向量，。WXl=0，取X3=h=X3矩陣j有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量H志，故a可以相似對(duì)角化，即存在可逆陣》______卜1-20、戶=(HS)=101，(01ljrl00、使得P^AP=A=

010.Xb04j7.己知々，…，人是H階方陣A=(aA

的《個(gè)特征根，證明：p人2+￥+".+<=z〒戶.證明因?yàn)槎?，々，…，人是W階方陣A=(aA

的w個(gè)特征根，"所以々(/=1，2,…，《)是/的《個(gè)特征根.由特征值的性質(zhì)即有。A"+

AT十…十7^=zr(^o=XaijaJip8.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣」的特征值為4=一1，乂2=為=1，應(yīng)于4=一1的特征向量為4i=（04J）r（1）求對(duì)應(yīng)于七=為=1的特征向量；（2）求矩陣.4.。解（1）設(shè)對(duì)應(yīng)于Z>=^=1的特征向量為（x1；x2?x3）r^由于實(shí)對(duì)稱矩陣的不冋特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定是正交的，故有x2+x3=O,'(0)^2=0，6=-iIU(2)由于4，&己正交，故再將么，&單位化，得.(0)(0yi/萬(wàn)，Pi=h=0，P3=-仙(IILiMjw毛I(xiàn)IUmJ<01求出正交陣P=(px,p2,p3\=l/x/20*1^1/7200-l/V2，則P-?=Pr

.因此。IMJr010r-l00、foi/VIlMlrl00、A=P.\PT=l/>/20-1/5/2010100=00-1j/710l/^2?1°0Jko-1/^/2l/也1°-1Va07^Mi9‘設(shè).4=010，求A1°0-d1一A02瞬|/l_A￡j—01-20=-(l-2)2(l+A)=0‘00-1-2=>>^==1,為=_1為/的特征值.《?對(duì)應(yīng)4=^=1，，解齊次方程組G4-￡)x=0?A-E=z原方程組同解于x3=0,取^2=Iro>1000z002、000、00'r00，得<?!=00，V<o>對(duì)應(yīng)4=-l.解齊次方程組(J+￡)x=O,f2

02、<10PJ+￡=020->010000.000原方程組同解于X!=AS=0，取X3

=1,體0為矩陣J的對(duì)應(yīng)^=-1的特征向量，IU則有rlo1°求出P=^j,^25^3)—100ljP^AP=A^>a

=PAP^=P^P'1,注意尸到為初等方陣>則A9=PA9P-^rio-rf\00rl0-1、0100100101°0u<°0~bLo0lj0、rl0-1、0010-1Jb0lj0002^100-lj第六童二次型、I(2)用正交變換把二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.。解(1)/*(又1，M，.丈3)=

(.W，.丈3)一2—A'+6A~

一3A一10=

(A+1)(2—A)(A一5)=0，?*1.己知二次