同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件第四章

§1向量組及其線性組合定義1：n個(gè)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)稱為第i個(gè)分量。這里定義的n維向量就是指行(或列)矩陣。12/3/20231稱為行向量。稱為列向量。12/3/20232例.

3維向量的全體所組成的集合通常稱為3維Euclid幾何空間。稱為R3

中的一個(gè)平面。集合12/3/20233稱為n維Euclid空間Rn中的n-1維超平面。集合稱為n維Euclid空間。例.n維向量的全體所組成的集合12/3/20234例.非齊次線性方程組的解集合齊次線性方程組的解集合12/3/20235m×n陣A的列向量組:行向量組:

同一維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組。12/3/20236§2向量組的線性相關(guān)性定義1：設(shè)向量組及一組實(shí)數(shù)稱為向量組A的一個(gè)線性組合，稱為線性組合的系數(shù)。表達(dá)式12/3/20237定義2：設(shè)向量組和向量b若存在一組實(shí)數(shù)使得則稱向量b是向量組A的一個(gè)線性組合，或稱向量b能由向量組A線性表示。12/3/20238例如：則b能由線性表示.解方程組既解方程組12/3/20239所以，得12/3/202310記12/3/202311則方程組的向量表示為12/3/202312定理1:向量b可由向量組線性表示有解，其中12/3/202313則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，若B組中的每一個(gè)向量都能由向量組A線性表示，定義3:設(shè)向量組及則稱向量組A與向量組B等價(jià)。12/3/202314B能由A線性表示12/3/202315定理2:向量組能由線性表示有解，其中12/3/202316定理3:向量組能由線性表示，則R(B)≤

R(A)。其中證：根據(jù)定理2有R(A)=

R(A,B)而R(B)≤

R(A,B)，因此R(B)≤

R(A)。

12/3/202317定義4：12/3/202318n維向量組線性相關(guān)定理4:推論：n維向量組線性無(wú)關(guān)12/3/202319例2:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.12/3/202320解：設(shè)即系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)向量對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。12/3/202321例3:n維向量討論它們的線性相關(guān)性.結(jié)論:線性無(wú)關(guān)解:上述向量組又稱基本向量組或單位坐標(biāo)向量組.問題:n=3時(shí),分別是什么？12/3/202322一些結(jié)論：一個(gè)零向量線性相關(guān),一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；(2)兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)分量成比例;

(3)一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則增加其中每個(gè)向量的分量所得新向量組仍線性無(wú)關(guān)。(4)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。12/3/202323則向量組也線性相關(guān)。則向量組也線性無(wú)關(guān)。若向量組線性相關(guān)，定理5-1：定理5-2：m個(gè)n維向量(m>n)構(gòu)成的向量組一定線性相關(guān).特別地,n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).若向量組線性無(wú)關(guān)，推論：定理5-3：向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān),則b

能由向量組A線性表示，且表示式唯一.12/3/202324例4：已知向量線性無(wú)關(guān)，向量可以由向量線性表示，并且證明：線性無(wú)關(guān)的充要條件是R(K)=3證：線性無(wú)關(guān)。設(shè)Kx

=0，其中則故x

=0，即Kx

=0只有零解，于是R(K)=3=012/3/202325=0故Kx

=0，而R(K)=3，于是x

=0，12/3/202326例5：已知向量線性無(wú)關(guān)，證明：向量線性無(wú)關(guān)。證：線性無(wú)關(guān)。12/3/202327§3向量組的秩定義1:簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組,r稱為向量組A的秩，記作RA（ii）A的任意向量都可由A0線性表示.線性無(wú)關(guān),（i）那么稱部分組為向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，設(shè)A為一個(gè)向量組，A的部分組

滿足：向量組

的秩也記作12/3/202328注:（1）只含零向量的向量組沒有最大無(wú)關(guān)組，規(guī)定秩為0。（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的最大無(wú)關(guān)組就是其本身。（4）向量組A能由A0線性表示。（3）向量組的最大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。（5）任意一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。12/3/202329例如：在向量組中，首先線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，所以是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。12/3/202330例如：向量組的秩為2。注意：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組的秩為2。12/3/202331例：設(shè)矩陣矩陣A的行向量組是可以驗(yàn)證，是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，所以矩陣A的行向量組秩為3。12/3/202332矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組所以矩陣A的列秩是3。12/3/202333定理6：矩陣的秩=矩陣的行向量組的秩=矩陣的列向量組的秩證：矩陣A經(jīng)過初等變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形B又初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系，所以，A的秩＝A的列向量組的秩同理，AT的秩＝AT的列向量組的秩＝A

的行向量組的秩但是，A的秩＝AT的秩12/3/202334例1：向量組求向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。12/3/202335解：12/3/202336是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。12/3/202337例2：求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余的向量用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組線性表示。12/3/202338解:12/3/20233912/3/202340是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.12/3/202341最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義:線性無(wú)關(guān)；（i）那么稱部分組為向量組A的一個(gè)設(shè)A為一個(gè)向量組，A的部分組

滿足：（ii）A的任意向量都能由線性表示。最大無(wú)關(guān)組。12/3/202342證：只需證明A中的任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)。設(shè)為A中的r+1個(gè)向量，由(ii)知，這r+1個(gè)向量能由A0線性表示，故因此，這r+1個(gè)向量線性相關(guān)。12/3/202343線性表示的充要條件是定理2’：向量組能由向量組線性表示，則定理3’：若向量組能由向量組12/3/202344§4線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)齊次線性方程組或12/3/2023451.解的性質(zhì)則仍然是的解。性質(zhì)1：若是的解，則仍是的解。性質(zhì)2：若是的解，12/3/2023462.基礎(chǔ)解系設(shè)是的解，滿足線性無(wú)關(guān)；的任一解都可以由線性表示。則稱是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。12/3/202347定理7：設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。證明分三步:1.以某種方法找個(gè)解。2.證明這個(gè)解線性無(wú)關(guān)。3.證明任一解都可由這個(gè)解線性表示。12/3/202348證明:化為行最簡(jiǎn)形12/3/202349與B對(duì)應(yīng)的方程組12/3/202350（1）令依次為得方程組的通解12/3/202351（2）向量組線性無(wú)關(guān)。綜合(1)(2)得,向量組(C)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(C)12/3/202352的通解是記則是令為所得。12/3/202353例4:求下列齊次方程組的通解。解：12/3/202354初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為是自由變量。(2)12/3/202355法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系令則即12/3/202356法2：先求基礎(chǔ)解系，再求通解。在(2)中令得則通解為12/3/202357解：例5:求下列齊次方程組的通解。12/3/202358初等行變換令得通解12/3/202359(2)非齊次性線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組12/3/202360例8:線性方程組在三維直角坐標(biāo)系中分別表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線。在三維直角坐標(biāo)系中分別表示不經(jīng)過原點(diǎn)的平面。和和12/3/202361性質(zhì)1：是的解，則是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。性質(zhì)2：是的解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解，則是的解。12/3/202362分析:若有解，則其通解為其中是的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解。1.證明是解；2.任一解都可以寫成的形式。12/3/202363例6:求解非齊次方程組解：12/3/20236412/3/202365令得12/3/202366令得基礎(chǔ)解系所以原方程組的通解是12/3/202367例7:求下列方程組的通解。解：12/3/202368令得得基礎(chǔ)解系令所以通解是12/3/202369例:設(shè)問u,v=?方程組(1)有唯一解;(2)無(wú)解;(3)有無(wú)窮多解.解:當(dāng)u≠2時(shí)有唯一解;12/3/202370當(dāng)u=2,v≠3時(shí),無(wú)解;當(dāng)u=2,v=3時(shí),有無(wú)窮多解;通解12/3/202371§5向量空間定義：設(shè)

V為n維向量的非空集合，若

V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，則稱集合

V為向量空間．說明:集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指注意.0必是向量空間V的元素，即12/3/202372例：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。n維向量的全體也是一個(gè)向量空間。例：齊次線性方程組的解集合是一個(gè)向量空間。不是一個(gè)向量空間。但非齊次線性方程組Ax=b的解集合12/3/202373例：判別下列集合是否為向量空間.12/3/202374不是向量空間。解：所以，是向量空間。12/3/202375是否為向量空間.V稱為由向量a,b生成的向量空間。例：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合解：V是一個(gè)向量空間。12/3/202376由向量組所生成的向量空間為一般地12/3/202377定義