§6 距離的計(jì)算、看

§6

距離的計(jì)算空間兩點(diǎn)間的距離公式或dA,B＝理解運(yùn)用向量求空間中點(diǎn)到直線的距離及點(diǎn)到平面的距離的方法；（重點(diǎn)）會用直線的方向向量和平面的法向量求空間中的各種距離；（難點(diǎn)）進(jìn)一步體會向量方法在解決立體幾何問題中的作用.探究點(diǎn)1

點(diǎn)到直線的距離因?yàn)橹本€和直線外一點(diǎn)確定一個平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題就是空間中某一個平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題.lPAAlP空間一點(diǎn)A到直線l的距離的算法框圖如下在直線l上任取一點(diǎn)P確定直線l的方向向量s計(jì)算向量PA計(jì)算向量PA在向量s上的投影PA

s0計(jì)算點(diǎn)A到直線l的距離dCDBxyA1B1C1D1例1

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=1，BC=2，AA1=3，z求點(diǎn)B到直線A1C的距離.解：因?yàn)?/p>

AB=1，BC=2，AA1=3,所以1A

(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0)

(A)

OCD(A)

OBxyzA1B1C1D1CD(A)

OBxyzA1B1C1D1已知點(diǎn)A(1,-1,2),直線l過原點(diǎn)O，且平行于向量=(0,2,1).求點(diǎn)A到直線l的距離d.【變式練習(xí)】探究點(diǎn)2.點(diǎn)到平面的距離設(shè)

是過點(diǎn)P垂直于向量的平面,

A是平面

外一定PA1An的距離d

等于設(shè)AA1⊥

,垂足為A1

,則點(diǎn)A到平面線段AA1的長度,PA1An空間一點(diǎn)A到平面的距離的算法框圖如下在平面

上任取一點(diǎn)P找到平面的法向量n計(jì)算向量PA計(jì)算PA在向量n上的投影PA

n0計(jì)算點(diǎn)A到平面的距離d例2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)證明

是平面A1BD的法向量；(2)求點(diǎn)C1到平面A1BD的距離.(A)CDOBxyzA1B1C1D1解：據(jù)題意有A1(0,0,1),

B(1,0,0)，D(0,1,0),C1(1,1,1).(A)CDOBxyzA1B1C1D1(A)CDOBxyzA1B1C1D1已知點(diǎn)M(-1,2,3),平面C(0,2,2).求點(diǎn)M到平面經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,0),B(-2,0,1的距離.【變式練習(xí)】解析：求點(diǎn)M到平面

的距離思考：如何將線面距、面面距等轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距？提示：直線與平面平行時，直線上的點(diǎn)到平面的距離均相等；平面與平面平行時，一個平面上的點(diǎn)到另一個平面的距離均相等，而異面直線間的距離可以構(gòu)造線面平行轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因此，尋找一個特殊點(diǎn)，求此點(diǎn)到另一個平面的距離是解答的基本思路.【拓展總結(jié)】其中

為斜向量，為法向量.問題1：如何求與平面平行的直線到該平面的距離？l問題2.如何求平面間的距離？1.已知向量=(1,0,-1)與直線l垂直，且l經(jīng)過點(diǎn)解析：

=(-2,0,-1),又

與l垂直，∴P與l的距離為A(2,3,1)，則P(4，3，2)到l的距離為(B

)2.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離是(D

)3.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是

.解析：分別以PA，PB，PC所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，平面ABC的一個法向量是

=(1,1,1),練習(xí)：4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.解析:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則E(0,

,1),A1(1,0,

1),B(1,1,0),B1(1,1,1).設(shè)面A1BE的法向量n=(x,y,z),由=(1,2,2).因?yàn)樗曰仡櫛竟?jié)課你有什么收獲？AlPPA1An3.利用法向量來解決立體幾何題目，最大的優(yōu)點(diǎn)就是不用像在進(jìn)行幾何推理時那樣去確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決問題.但是也有局限性，用