由此得平面任意力系的平衡方程

通過本章學習，學生應知道結(jié)構(gòu)上荷載的分類及其代表值的確定，能夠進行一般結(jié)構(gòu)上荷載的計算，會利用靜力平衡條件求解簡單靜定結(jié)構(gòu)的支座反力。一般結(jié)構(gòu)上荷載的計算，利用平衡條件求解簡單靜定結(jié)構(gòu)的支座反力?！督ㄖY(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》（GB50009-2001）引例案例一和案例二中，教室的樓蓋，由梁和板組成，其上有桌椅家具和人群等荷載，其自身重量和外加荷載由梁和板承受，并通過梁、板傳遞到墻上，墻就是梁的支座，那么梁和板上的荷載是多少？由于荷載總是變化的，怎樣取值才能保證結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)構(gòu)件的可靠性？同時，梁和板傳到支座的壓力是多少？支座反力又是多少？都是我們要解決的問題。第一頁第二頁，共42頁。4.1結(jié)構(gòu)上的荷載

4.1.1荷載的分類建筑結(jié)構(gòu)在施工與使用期間要承受各種作用，如人群、風、雪、及結(jié)構(gòu)構(gòu)件自重等，這些外力直接作用在結(jié)構(gòu)物上；還有溫度變化、地基不均勻沉降等間接作用在結(jié)構(gòu)上；我們稱直接作用在結(jié)構(gòu)上的外力為荷載。1．荷載按作用時間的長短和性質(zhì)，可分為三類：永久荷載、可變荷載和偶然荷載；1)永久荷載是指在結(jié)構(gòu)設計使用期間，其值不隨時間而變化，或其變化與平均值相比可以忽略不計，或其變化是單調(diào)的并能趨于限值的荷載。例如，結(jié)構(gòu)的自重、土壓力、預應力等荷載，永久荷載又稱恒荷載。2)可變荷載是指在結(jié)構(gòu)設計使用期內(nèi)其值隨時間而變化，其變化與平均值相比不可忽略的荷載。例如，樓面活荷載、吊車荷載、風荷載、雪荷載等，可變荷載又稱活荷載。3)偶然荷載是指在結(jié)構(gòu)設計使用期內(nèi)不一定出現(xiàn)，一旦出現(xiàn)，其值很大且持續(xù)時間很短的荷載。例如，爆炸力、撞擊力等。第二頁第三頁，共42頁。2．荷載按結(jié)構(gòu)的反應特點分為兩類：靜態(tài)荷載和動態(tài)荷載；1）靜態(tài)荷載，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的加速度可以忽略不計的作用，如結(jié)構(gòu)自重、住宅和辦公樓的樓面活荷載等。2）動態(tài)荷載，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的加速度不可忽略不計的作用，如地震、吊車荷載、設備振動等。3．荷載按作用位置荷載可分為兩類：固定荷載和移動荷載。1）固定荷載——是指作用位置不變的荷載，如結(jié)構(gòu)的自重等。2）移動荷載——是指可以在結(jié)構(gòu)上自由移動的荷載，如車輪壓力等。第三頁第四頁，共42頁。4.1.2荷載的分布形式1．材料的重力密度：某種材料單位體積的重量（kN/m3），稱為材料的重力密度，用表示，詳見附表3.1。特別提示如工程中常用水泥砂漿的重力密度是20kN/m3，石灰砂漿的重力密度是17kN/m3，鋼筋混凝土的重力密度是25kN/m3，磚的重力密度是19kN/m3。第四頁第五頁，共42頁。2．均布面荷載：在均勻分布的荷載作用面上，單位面積上的荷載值，稱為均布面荷載，其單位為kN/m2或N/m2，如圖4.1所示的板的均布面荷載。圖4.1板的均布面荷載第五頁第六頁，共42頁。特別提示一般板上的自重荷載為均布面荷載，其值為重力密度乘以板厚。如一矩形截面板，板長為,板寬度為（m），截面厚度為（m），重力密度為（kN/m3）,則此板的總重量；板的自重在平面上是均勻分布的，所以單位面積的自重（kN/m2）。值就是板自重簡化為單位面積上的均布荷載標準值。

第六頁第七頁，共42頁。3．均布線荷載：沿跨度方向單位長度上均勻分布的荷載，稱為均布線荷載，其單位為kN/m或N/m如圖4.2所示的梁上的均布線荷載。圖4.2梁上的均布線荷載第七頁第八頁，共42頁。特別提示一般梁上的自重荷載為均布線荷載，其值為重力密度乘以橫截面面積。如一矩形截面梁，梁長為,其截面寬度為（mm），截面高度為（mm），重力密度為（kN/m3）,則此梁的總重量梁的自重沿跨度方向是均勻分布的，所以沿梁軸每米長度的自重（kN/m）。值就是梁自重簡化為沿梁軸方向的均布荷載標準值，均布線荷載也稱線荷載集度。第八頁第九頁，共42頁。4．非均布線荷載：沿跨度方向單位長度上非均勻分布的荷載，稱為非均布線荷載，其單位為kN/m或N/m，如圖4.3a所示的擋土墻的土壓力。圖4.3a擋土墻的土壓力圖4.3b柱子的自重第九頁第十頁，共42頁。5．集中荷載（集中力）：集中地作用于一點的荷載稱為集中荷載（集中力），其單位為kN或N，通常用或表示，如圖4.3b所示的柱子自重。特別提示一般柱子的自重荷載為集中力，其值為重力密度乘以柱子的體積，即?！局R鏈接】均布面荷載化為均布線荷載的計算在工程計算中，板面上受到均布面荷載（kN/m2）時，它傳給支撐梁為線荷載，梁沿跨度（軸線）方向均勻分布的線荷載如何計算？案例一：設板上受到均勻的面荷載（kN/m2）作用，板跨度為3.3（m）（受荷寬度)、L2梁跨度為5.1（m），那么，梁L2上受到的全部荷載梁L2自重（kN/m）,而荷載是沿梁的跨度均勻分布的。第十頁第十一頁，共42頁。圖4.4板上的荷載傳給梁示意圖第十一頁第十二頁，共42頁。4.1.3荷載的代表值

在后續(xù)進行結(jié)構(gòu)設計時，對荷載應賦予一個規(guī)定的量值，該量值即所謂荷載代表值。永久荷載采用標準值為代表值，可變荷載采用標準值、組合值、頻遇值或準永久值為代表值。1．荷載的標準值荷載標準值是荷載的基本代表值。為設計基準期內(nèi)（50年）最大荷載統(tǒng)計分布的特征值，是指其在結(jié)構(gòu)使用期間可能出現(xiàn)的最大荷載值。1)永久荷載標準值（），是永久荷載的唯一代表值。對于結(jié)構(gòu)自重可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的設計尺寸和材料的重力密度確定，《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》中列出了常用材料和構(gòu)件自重，見附表3-1。例4.1應用實例一中矩形截面鋼筋混凝土梁L2，計算跨度為5.1m，截面尺寸為b=250mm.，h=500mm，求該梁自重(即永久荷載)標準值。解：梁自重為均布線荷載的形式，梁自重標準值應按照計算，其中鋼筋混凝土的重力密度，，，故：梁自重標準值第十二頁第十三頁，共42頁。特別提示計算過程中應注意物理量單位的換算。梁的自重標準值用表示。例4.2案例一中樓面做法為：30mm水磨石地面，120mm鋼筋混凝土空心板（折算為80mm厚的實心板），板底石灰砂漿粉刷厚20mm，求樓板自重標準值。解：板自重為均布面荷載的形式，其樓面做法中每一層標準值均應按照計算，然后把三個值加在一起就是樓板的自重標準值。查附表3-1得：30mm水磨石地面：0.65kN/m2，鋼筋混凝土的重力密度，石灰砂漿的重力密度，故：第十三頁第十四頁，共42頁。樓面做法：30mm水磨石地面：0.65kN/m2120mm空心板自重：25kN/m3×0.08m=2kN/m2板底粉刷：17kN/m3×0.02m=0.34kN/m2板每平方米總重力（面荷載）標準值：例4.3案例一中鋼筋混凝土梁L5（7），截面尺寸，，且梁上放置120厚、1.2m高的欄桿，欄桿兩側(cè)20mm厚石灰砂漿抹面，求作用在梁上的永久荷載標準值。解：經(jīng)分析，梁L5（7）的自重及作用在梁上的欄桿、石灰砂漿抹面為梁的永久荷載，荷載計算如下：第十四頁第十五頁，共42頁。查附表3-1得：鋼筋混凝土的重力密度，石灰砂漿的重力密度，故：梁L5（7）的自重：25kN/m3×0.2m×0.3m=1.5kN/m梁上的欄桿及石灰砂漿抹面：1.2m×(0.12m×19kN/m3+0.02m×17kN/m3×2）=3.552kN/m梁上的永久荷載標準值:2)可變荷載標準值()，由設計使用年限內(nèi)最大荷載概率分布的某個分位值確定，是可變荷載的最大荷載代表值，由統(tǒng)計所得。我國《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》對于樓(屋)面活荷載、雪荷載、風荷載、吊車荷載等可變荷載標準值，規(guī)定了具體的數(shù)值，設計時可直接查用。第十五頁第十六頁，共42頁。(1)樓(屋)面可變荷載標準值見附表3-2。特別提示根據(jù)附表3-2，查得案例二：教學樓教室的樓面活荷載標準值為2kN/m2；樓梯上的樓面活荷載標準值為2.5kN/m2。(2)風荷載標準值（），風受到建筑物的阻礙和影響時，速度會改變，并在建筑物表面上形成壓力和吸力，即為建筑物所受的風荷載。根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》相關(guān)規(guī)定，風荷載標準值（）按下式計算：（4-1）第十六頁第十七頁，共42頁。式中：——風荷載標準值（kN/m2）；——高度處的風振系數(shù)，它是考慮風壓脈動對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，按《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》規(guī)定的方法計算；——風荷載體型系數(shù)，見《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》；——風壓高度變化系數(shù)，見《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》；——基本風壓（kN/m2）是以當?shù)仄教箍諘绲貛В?0m高處統(tǒng)計得到的50年一遇10min平均最大風速為標準確定的，按《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》中“全國基本風壓分布圖”查用。(3)此外雪荷載標準值、施工及檢修荷載標準值見《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》相關(guān)規(guī)定取值。【知識鏈接】應用實例一中根據(jù)上述風荷載計算方法，確定出框架結(jié)構(gòu)上的風荷載，示意圖如圖4.5示。第十七頁第十八頁，共42頁。圖4.5風荷載作用示意圖第十八頁第十九頁，共42頁。2．可變荷載組合值（）當結(jié)構(gòu)上同時作用有兩種或兩種以上可變荷載時，由于各種可變荷載同時達到其最大值（標準值）的可能性極小，因此計算時采用可變荷載組合值，所謂荷載組合值是將多種可變荷載中的第一個可變荷載（或稱主導荷載，即產(chǎn)生最大荷載效應的荷載），仍以其標準值作為代表值外，其他均采用可變荷載的組合值進行計算，即將它們的標準值乘以小于1的荷載組合值系數(shù)作為代表值，稱為可變荷載的組合值，用表示：（4-2）式中 —可變荷載組合值；—可變荷載標準值；—可變荷載組合值系數(shù)，一般樓面活荷載、雪荷載取0.7，風荷載取0.6，其他可變荷載取值見附表3-2和3-3。第十九頁第二十頁，共42頁。3．可變荷載頻遇值（）可變荷載頻遇值是指結(jié)構(gòu)上時而出現(xiàn)的較大荷載。對可變荷載，在設計基準期內(nèi)，其超越的總時間為規(guī)定的較小比率或超越頻率為規(guī)定頻率的荷載值。可變荷載頻遇值總是小于荷載標準值，其值取可變荷載標準值乘以小于的荷載頻遇值系數(shù)，用表示：（4-2）

式中 —可變荷載頻遇值；—可變荷載頻遇值系數(shù)，見附表3-2；第二十頁第二十一頁，共42頁。4．可變荷載準永久值（）可變荷載準永久值是指可變荷載中在設計基準期內(nèi)經(jīng)常作用（其超越的時間約為設計基準期一半）的可變荷載。在規(guī)定的期限內(nèi)有較長的總持續(xù)時間，也就是經(jīng)常作用于結(jié)構(gòu)上的可變荷載。其值取可變荷載標準值乘以小于的荷載準永久值系數(shù)，用表示：

（4-2）式中 —可變荷載準永久值—可變荷載準永久值系數(shù)，按《荷載規(guī)范》的規(guī)定取值，見附表3-2。第二十一頁第二十二頁，共42頁。4.1.4荷載分項系數(shù)1．荷載分項系數(shù)荷載分項系數(shù)用于結(jié)構(gòu)承載力極限狀態(tài)設計中，目的是保證在各種可能的荷載組合出現(xiàn)時，結(jié)構(gòu)均能維持在相同的可靠度水平上。荷載分項系數(shù)又分為永久荷載分項系數(shù)和可變荷載分項系數(shù)，其值見表4.1。表4.1基本組合的荷載分項系數(shù)永久荷載分項系數(shù)可變荷載分項系數(shù)其效應對結(jié)構(gòu)不利時其效應對結(jié)構(gòu)有利時由可變荷載效應控制的組合1.2一般情況1.0一般情況1.4由永久荷載效應控制的組合1.35對結(jié)構(gòu)的傾覆、滑移或漂浮驗算0.9對標準值大于4KN/m2的工業(yè)房屋樓面結(jié)構(gòu)的荷載1.3第二十二頁第二十三頁，共42頁。2荷載的設計值一般情況下，荷載標準值與荷載分項系數(shù)的乘積為荷載設計值，也稱設計荷載，其數(shù)值大體上相當于結(jié)構(gòu)在非正常使用情況下荷載的最大值，它比荷載的標準值具有更大的可靠度。永久荷載設計值為；可變荷載設計值為。例4.4實例二中，現(xiàn)澆鋼筋混凝土樓面板板厚h=100mm，板面做法選用：即8～10厚地磚，25厚干硬水泥砂漿，素水泥漿，其重量0.7KN/m2，板底為20厚石灰砂漿粉刷，永久荷載及可變荷載分項系數(shù)分別為1.2和1.4，確定樓面永久荷載設計值和可變荷載設計值。解：（1）永久荷載標準值第二十三頁第二十四頁，共42頁。板自重：25kN/m3×0.10m=2.5kN/m2樓面做法：0.7kN/m2板底粉刷：17kN/m3×0.02m=0.34kN/m2板每平方米總重力（面荷載）標準值：=3.54kN/m2（2）永久荷載設計值（3）可變荷載標準值查附表3.2知:辦公樓可變荷載標準值為：=2kN/m2（面荷載）（4）可變荷載設計值第二十四頁第二十五頁，共42頁。4.2靜力平衡條件及構(gòu)件支座反力計算物體在力系的作用下處于平衡時，力系應滿足一定得條件，這個條件稱為力系的平衡條件。4.2.1平面力系的平衡條件1．平面任意力系的平衡條件在前面的力學概念中我們知道，一般情況下平面力系與一個力及一個力偶等效。若與平面力系等效的力和力偶均等于零，則原力系一定平衡。則平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸上的投影的代數(shù)和等于零，力系中所有各力對于任意一點O的力矩代數(shù)和等于零。由此得平面任意力系的平衡方程：第二十五頁第二十六頁，共42頁。特別提示即力系中所有力在X方向的投影代數(shù)和等于零；即力系中所有力在Y方向的投影代數(shù)和等于零；即力系中所有力對任意一點o的力矩代數(shù)和等于零平面任意力系的平衡方程,還有另外兩種形式：1）二矩式：其中，A、B兩點之間的連線不能垂直x軸。2）三矩式：其中，A、B、C三點不能共線。

第二十六頁第二十七頁，共42頁。2幾種特殊情況的平衡方程1）平面匯交力系若平面力系中的各力的作用線匯交于一點，則此力系稱為平面匯交力系，根據(jù)力系的簡化結(jié)果知道，匯交力系與一個力（力系的合力）等效，由平面任意力系的平衡條件知，平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：力系的合力等于零，即：2）平面平行力系若平面力系中的各力的作用線均相互平行，則此力系為平面平行力系。顯然，平面平行力系是平面力系的一種特殊情況，由平面力系的平衡方程推出，由于平面平行力系在某一坐標軸x軸（或y軸）上的投影均為零，因此，平衡方程為：（或）

當然，平面平行力系的平衡方程也可寫成二矩式：其中，A、B兩點之間的連線不能與各力的作用線平行。第二十七頁第二十八頁，共42頁。4.2.2構(gòu)件的支座反力計算求解構(gòu)件支座反力的基本步驟如下：（1）以整根構(gòu)件為研究對象進行受力分析，繪制受力圖；（2）建立直角坐標系；（3）依據(jù)靜力平衡條件，根據(jù)受力圖建立靜力平衡方程，求解方程得支座反力。特別提示直角坐標系，一般假定軸以水平向右為正，軸以豎直向上為正；繪制受力圖時，支座反力均假定為正方向；求解出支座反力后，應標明其實際受力方向。例4.5如圖4.6所示簡支梁，計算跨度為，承受的均布載，求梁的支座反力。（a）計算簡圖（b）受力圖圖4.6梁的支座反力計算第二十八頁第二十九頁，共42頁。解：（1）以梁為研究對象進行受力分析，繪制受力圖，如圖4.6b所示；（2）建立如圖4.6b所示的直角坐標系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得：;

（↑）

例4.6如圖4.7所示懸臂梁，計算跨度，承受的集中荷載設計值，求支座反力。（a）計算簡圖（b）受力圖圖4.7懸臂梁受力圖第二十九頁第三十頁，共42頁。解：（1）以梁為研究對象進行受力分析，繪制受力圖，如圖4.7b所示；（2）建立如圖4.7b所示的直角坐標系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得：（↑）（）例4.7如圖4.8所示簡支梁，計算跨度，承受的集中荷載設計值，作用在跨中C點，求簡支梁的支座反力。（a）計算簡圖（b）受力圖圖4.8簡支梁受力圖第三十頁第三十一頁，共42頁。解：（1）以梁為研究對象進行受力分析，繪制受力圖，如圖4.8b所示；（2）建立如圖4.8b所示的直角坐標系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解得：；（↑）例4.8如圖4.9所示外伸梁，簡支跨計算跨度，承受均布荷載；外伸跨計算跨度，承受均布荷載,承受的集中荷載值為，求外伸梁的支座反力。（a）計算簡圖（b）受力圖圖4.9外伸梁受力圖第三十一頁第三十二頁，共42頁。圖4.9外伸梁受力圖解：（1）以梁為研究對象進行受力分析，繪制受力圖，如圖4.9b所示；（2）建立如圖4.9b所示的直角坐標系；（3）建立平衡方程，求解支座反力：解;

（↑）（↑）第三十二頁第三十三頁，共42頁?！局R鏈接】靜定與超靜定問題在研究單個物體或物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知量的數(shù)目少于或等于獨立的平衡方程數(shù)目，就能夠直接利用平衡方程求解出全部未知量，這類問題稱為靜定問題，例如本節(jié)中例4.5~4.8中的簡支梁、懸臂梁及外伸梁，他們的支座反力未知數(shù)目為3個，平衡方程也為3個，故為靜定結(jié)構(gòu)。但在實際工程中，有時為了提高構(gòu)件的剛度或調(diào)整其內(nèi)力分布，常給結(jié)構(gòu)或構(gòu)件增加一些“多余”約束，從而使得在研究單個物體或物體系統(tǒng)的平衡問題時，這些結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的未知量的數(shù)目超過了獨立的平衡方程數(shù)目，無法直接利用平衡方程求解出全部未知量，這類問題稱為超靜定問題，如圖4.10示的連續(xù)梁及圖4.5所示的框架結(jié)構(gòu)均屬于超靜定結(jié)構(gòu)。圖4.10連續(xù)梁計算簡圖第三十三頁第三十四頁，共42頁?！揪C合應用案例1】

【綜合應用案例1】例1應用案例一中鋼筋混凝土矩形截面梁L1如圖4.11所示，已知梁跨度樓面做法為：30mm水磨石地面，120mm鋼筋混凝土空心板，板底石灰砂漿粉刷厚20mm，梁的跨度，梁的截面寬度，截面高度，求梁L1的恒載標準值及活載標準值產(chǎn)生的支座反力。

（a）梁L1

(b)計算簡圖（c）受力圖圖4.11梁L1第三十四頁第三十五頁，共42頁。解：（1）確定計算簡圖按照第3章內(nèi)容，梁L1簡化為簡支梁，其計算簡圖如圖4.11b所示。（2）荷載計算①樓面荷載標準值樓面做法：30mm水磨石地面0.65kN/m2120mm空心板自重：25×0.08=2kN/m2板底粉刷：17×0.02=0.34kN/m2樓面荷載標準值2.99kN/m2板傳給梁的恒載標準值：2.99×3.3=9.867kN/m（大梁的受荷范圍是3.3m）②梁L1自重：25×0.25×0.5=3.125kN/m兩側(cè)粉刷2×17×0.5×0.02=0.34kN/m則梁L1上的恒荷載標準值：=9.867+3.125+0.34=13.332kN/m③查附表3-2知：教學樓教室樓面可變荷載標準值為2kN/m2則梁L1上的活載標準值為：=2×3.3=6.6kN/m（大梁的受荷范圍是3.3m）第三十五頁第三十六頁，共42頁。（3）求解支座反力以梁為研究對象進行受力分析，繪制受