專項六函數(shù)導數(shù)與不等式

考點13利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值命題分析考向趨勢這一題型在高考中,主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(特別是含參函數(shù)的單調(diào)性),會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值,能利用函數(shù)的單調(diào)性、極值求參數(shù)的取值范圍、參數(shù)值此題型常作為解答題的第一問,考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)性求參數(shù)的范圍,函數(shù)的極值求參數(shù)的值或取值范圍,是中檔題;假設作為第二問,那么?？疾楹瘮?shù)的極值或是利用單調(diào)性或極值探討函數(shù)與不等式的問題,難度較大【母題】(2021年全國Ⅱ卷,文T21)函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)假設f(x)≤2x+c,求實數(shù)c的取值范圍;(2)設a>0,討論函數(shù)g(x)=f(x【拆解1】函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1,那么f(x)的極大值為.

【拆解2】假設函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1-c的極大值是-3,那么實數(shù)c的值是.

【拆解3】假設函數(shù)f(x)=2lnx-2x+1-c有大于0的極大值,那么實數(shù)c的取值范圍是.

【拆解4】關(guān)于x的函數(shù)f(x)=2(ln【拆解5】當a>0時,假設f(x)=2(lnx-lna)x-a在(1.函數(shù)f(x)=exx-ax(1)當a=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.2.函數(shù)f(x)=ax2+lnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設?x∈(0,+∞)使f(x)>0成立,求實數(shù)a的取值范圍.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞增區(qū)間,解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論;劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論,還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點;個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)=x3,f'(x)=3x2≥0,f'(x)=0在x=0處取到,但f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).2.求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上極值的步驟1.(2021年河北省承德市質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值12(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.(2021年福建省高三第一次聯(lián)考)函數(shù)f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))處的切線為2x-2y-1=0.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.3.(2021年廣西南寧、梧州等八市高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ax2-x-2lnx(a∈R).(1)假設函數(shù)f(x)的一個極值點為x=1,求函數(shù)f(x)的極值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.4.(2021年福建省三明市模擬)設函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax.(1)當x=12時,f(x)取得極值,求實數(shù)a的值(2)假設f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.5.(2021年河北省高三月考)函數(shù)f(x)=lnx-ax-1(1)假設曲線y=f(x)存在斜率為-1的切線,求實數(shù)a的取值范圍;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設函數(shù)g(x)=x+alnx,求證:當-1<a<0時,g(x)在(1,6.(2021年山西省臨汾市考前適應性訓練)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲線y=f(x)上任意三點,求證:f(x27.(2021年貴州貴陽模擬)函數(shù)f(x)=12x2-ax+lnx(a∈R)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:假設函數(shù)f(x)有極大值,那么極大值小于-328.(2021年江西省景德鎮(zhèn)市第三次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=aex(a≠0),g(x)=12x2(1)當a=-2時,求曲線f(x)與g(x)的公切線方程.(2)假設y=f(x)-g(x)有兩個極值點x1,x2,且x2≥3x1,求實數(shù)a的取值范圍.考點14函數(shù)導數(shù)中的最值、恒成立問題命題分析考向趨勢主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)最值、不等式恒成立、能成立問題,題目以解答題的形式出現(xiàn),屬于壓軸題,難度較大此題型主要考查利用導數(shù)求函數(shù)最值,解決不等式恒成立問題,求參數(shù)的范圍或參數(shù)值,根據(jù)函數(shù)最值研究能成立問題【母題】(2021年新高考Ⅰ卷,T21)函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)假設f(x)≥1,求實數(shù)a的取值范圍.【拆解1】函數(shù)f(x)=ex-lnx+1,那么曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為.

【拆解2】直線y=(e-1)x+2與兩坐標軸圍成的三角形的面積為().A.1B.2e-1C.2【拆解3】函數(shù)f(x)=ex+x,那么不等式f(x2)>f(2-x)的解集為().A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【拆解4】假設lna+x-1≥lnx恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍是.

【拆解5】函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna(a是常數(shù),且a>1),那么f(x)的最小值是.

1.函數(shù)f(x)=(x-1)lnx.(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)假設不等式exf(x)≥x+aex在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.2.函數(shù)f(x)=e-x-ax(a∈R).(1)當a=-2時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)假設ln[e(x+1)]≥2-f(-x)對任意的x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)a的取值范圍.1.利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的常用方法破解此類以函數(shù)為背景的不等式恒成立問題需要“一構(gòu)造、一分類〞.“一構(gòu)造〞是指通過不等式的同解變形,構(gòu)造一個與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù);“一分類〞是指在不等式恒成立問題中,常需對參數(shù)進行分類討論,求出參數(shù)的范圍.有時也可以利用別離參數(shù)法,即將不等式別離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,利用導數(shù)求該函數(shù)的最值.一般地,a>f(x)對x∈D恒成立,只需a>f(x)max;a<f(x)對x∈D恒成立,只需a<f(x)min.2.利用導數(shù)解決不等式存在性問題的策略(1)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題.(2)用導數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值.(3)構(gòu)建不等式求解.3.利用導數(shù)研究函數(shù)最值、不等式恒成立問題是高考的壓軸題,難度很大.利用觀察、分析、聯(lián)想類比的方法,拆解或結(jié)論,揭示隱含條件、抓住問題關(guān)鍵、開闊解題視野、尋找解題思路,到達事半功倍之效.1.(2021屆新疆烏魯木齊第三次質(zhì)檢)f(x)=ex-alnx+2a(a>0).(1)當a=e時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設x0是f(x)的極小值點,求f(x0)的最大值.2.(2021屆遼寧省沈陽市三模)函數(shù)f(x)=ebxax在x=2處取到極值,極值為(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設不等式x2f(x)≥kx+lnx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.3.(2021屆廣東省中山市高三期末)函數(shù)f(x)=ex-ex2+ax(a∈R).(1)假設f(x)在(0,1)上單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.(2)假設y=f(x)+exlnx的圖象恒在x軸上方,求實數(shù)a的取值范圍.4.(2021屆江西省南昌市高三適應性考試)函數(shù)f(x)=lnx-ax.(1)假設函數(shù)f(x)在定義域上的最大值為1,求實數(shù)a的值;(2)設函數(shù)h(x)=(x-2)ex+f(x),當a≥1時,h(x)≤b對任意的x∈13,1恒成立,求滿足條件的實數(shù)5.(2021屆河南省焦作市高三第四次模擬)函數(shù)f(x)=alnx+3x2(a∈R).(1)求f(x)的極值;(2)設g(x)=2x-m,當a=-4時,f(x)-g(x)≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.6.(2021屆廣東省珠海市一模)函數(shù)f(x)=ax(1)當a=b=1時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)假設f(1)=1,且方程f(x)=1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有解,求實數(shù)a的取值范圍.7.(2021屆江西省上饒市一模)函數(shù)f(x)=-alnx+x+4-(1)當a≥4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設g(x)=ex+mx2-6,當a=e2+2時,對任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[1,+∞),使得f(x1)+2e2≥g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.8.(2021屆福建省漳州市高三第三次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=(x+3)ex-2m,m∈R.(1)假設m=32,求f(x)的最值(2)假設當x≥0時,f(x-2)+2m≥1e2(mx2+2x+1),求實數(shù)m考點15利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題命題分析考向趨勢主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點(或方程根的)個數(shù)、函數(shù)零點(方程的根)求參數(shù)的取值范圍,題目以解答題的形式出現(xiàn),難度較大,是高考的熱點此題型主要從以下幾個方面考查:(1)零點個數(shù)或方程的根的個數(shù)的判斷與證明;(2)根據(jù)零點個數(shù)或方程的根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍【母題】(2021年全國Ⅰ卷,文T20)函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.【拆解1】假設函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)在[-1,2]上單調(diào)遞增,那么實數(shù)a的取值范圍是().A.a≤1e2B.a≤1eC.a≤1D.a【拆解2】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),討論f(x)的單調(diào)性.【拆解3】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),假設f(x)有大于零的極小值,那么實數(shù)a的取值范圍是.

【拆解4】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),假設f(x)恰有一個零點,那么a的值是.

【拆解5】函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)(x≠-2),假設f(x)不存在零點,那么實數(shù)a的取值范圍是.

1.設函數(shù)f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設函數(shù)f(x)在13,3上有兩個零點,求實數(shù)2.函數(shù)f(x)=lnx-aex+1(a∈R).(1)當a=1時,討論f(x)極值點的個數(shù);(2)假設函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.1.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點的個數(shù)問題即函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)問題.(2)別離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為a=g(x),根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間上的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點的個數(shù)問題即直線y=a與函數(shù)y=g(x)圖象交點的個數(shù)問題.只需要將a與函數(shù)g(x)的極值和最值進行比較即可.2.利用導數(shù)研究方程解的個數(shù)問題的一般思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題,進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y=k)在該區(qū)間上的交點問題.(2)利用導數(shù)研究出該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì),進而畫出其圖象.(3)結(jié)合圖象求解.方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念,解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等性質(zhì)畫出函數(shù)圖象的走勢,通過數(shù)形結(jié)合思想直觀求解.3.利用導數(shù)探究函數(shù)的零點難度比較大,可以以題目的條件和結(jié)論為切入點,也可以通過分析表達式的結(jié)構(gòu)特征,利用拆數(shù)、拆式等技巧進行猜想嘗試,揭示數(shù)學問題的隱蔽關(guān)系,尋找隱含條件,進而解決問題.1.(2021屆江西重點中學高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=sinx+lnx-1.(1)求函數(shù)f(x)在點π2,(2)當x∈(0,π)時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).2.(2021屆黑龍江省雞西市高三期末)函數(shù)f(x)=ex-2x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)假設函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈[-1,1]上恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.3.(2021屆河南商丘模擬)函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)x-lnx.(1)假設函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實數(shù)a的值;(2)當0<a<1時,求f(x)零點的個數(shù).4.(2021屆東北三校高三模擬)函數(shù)f(x)=2xex-ax-alnx(a∈R).(1)假設曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l過點(0,-2e-1),求實數(shù)a的值;(2)假設函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.5.(2021屆河南高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=xsinx+acosx+x,a∈R.(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)當a>2時,假設方程f(x)-3=0在區(qū)間0,π2上有唯一解,求實數(shù)6.(2021屆山西省長治市高三質(zhì)檢)設f(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.(1)討論f(x)在[-π,π]上的單調(diào)性;(2)令h(x)=g(x)-4f(x),試證明h(x)在R上有且僅有三個零點.7.(2021屆天津市二模)函數(shù)f(x)=12ax-a+1-lnxx,其中a(1)假設f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)假設f(x)有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.8.(2021屆山東省泰安市高三四模)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+x+2,f'(x)是f(x)的導數(shù).證明:(1)當x>0時,f(x)>0;(2)g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2在(-π,π)上有且只有3個零點.考點16函數(shù)、導數(shù)與不等式的綜合問題命題分析考向趨勢由于不等式具有較好的考查邏輯推理能力的功能,我們發(fā)現(xiàn)高考題中有許多與不等式證明有關(guān),其工具就是構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證明不等式,滲透了分類與整合的思想,是高考的熱點,難度較大此題型主要利用導數(shù)證明代數(shù)不等式.涉及的主要方法:(1)參變量別離,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;(2)直接構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決;(3)適當變形后構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題解決【母題】(2021年全國Ⅱ卷,文T21)函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點;(2)f(x)=0有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).【拆解1】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,求證:f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.【拆解2】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,證明f(x)存在唯一的極值點.【拆解3】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,討論f(x)的零點個數(shù).【拆解4】函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1有且僅有兩個零點x1,x2,證明:x1x2=1.1.設函數(shù)f(x)=(x-a)ex+a+1,a∈R.(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0]上的最小值;(2)假設函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在零點,證明:a>2.2.函數(shù)f(x)=(x+sinx-cosx)ex,f'(x)為f(x)的導數(shù).(1)設g(x)=f'(x)-f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設x≥0,證明:f(x)≥x-1.1.利用導數(shù)證明不等式的根本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)利用導數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值.(4)根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.2.構(gòu)造輔助函數(shù)的4種方法3.用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性:假設f(x)在[a,b]上是增函數(shù),那么①?x∈[a,b],那么f(a)≤f(x)≤f(b);②對?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,那么f(x1)<f(x2).對于減函數(shù),有類似的結(jié)論.(2)利用最值:假設f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),那么對?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)證明f(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)<0.1.(2021屆陜西西安高三模擬)函數(shù)f(x)=x+asinx+b,g(x)=ex-x+f(x).