2023屆河南省高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

1.函數(shù)/（無）=萬工+111%定義域為（）

A.(0,+<x>)B.(0,2)

C.(0,2]D.(-8,2]

2.已知直線”［：y=2x+l與直線〃：y=-2x+l,則（）

A.w,〃平行B.m,〃垂直

C.加，“關(guān)于x軸對稱DJ",N關(guān)于）'軸對稱

3.在長方體ABCD-中，44=0，=1,CG=1,則異面直線OB1與C,C所成角的大小是

A.30°B.450

C.60°D.90°

4.已知“力是定義在［—1,1］上的奇函數(shù)，且/（—1）=一1,當(dāng)力？［1,1］且"+4#（）時/（'?：；（"）＞0.已知

/jrTT\

,若/（x）＜4+3sin。-2cos2。對恒成立，則。的取值范圍是。

\乙乙）

4

5.函數(shù)〃x）=21nx——的零點位于區(qū)間（）

X

A.（0,l）B.（1,2）

C.（2,3）D.（3,4）

6.在空間給出下面四個命題（其中加、〃為不同的兩條直線），a、，為不同的兩個平面）

①加_La,〃//aLn

②mlln,n/lanm//a

③mlm,nJL0,m/lanaJ_0

④mcn=A,ml/a,mlIp.n!la.nl/p0a//0

其中正確的命題個數(shù)有

A.1個B.2個

C.3個D.4個

7.如果角。的終邊在第二象限，則下列結(jié)論正確的是

A.cosa>0B.sin2a<0

C.sintz<0D.tan2<z>0

8.若函數(shù)/(x)=log〃x(。>0,且QW1)在［2,4］上的最大值為4,且函數(shù)g(x)=(l—優(yōu))優(yōu)在R上是減函數(shù)，則

實數(shù)加的取值范圍為()

A./??>1B.m<l

C.m>0D.m<0

9.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

AJO］)B./(x)=x3

C./(x)=gD./(x)=-x|x|

hn

10.設(shè)4=—+,，其中。、匕是正實數(shù)，且#b,B=-X2+4X-2,則A與B的大小關(guān)系是()

ab

\.A>BB.A>3

C.A<BD.A<B

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

31

11.已知。>0,打>0,若3a+0=l,則—??一的最小值是_________.

ab

12.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個結(jié)論

?AC±BD；

②4ACD是等邊三角形；

(DAB與平面BCD成60。的角；

?AB與CD所成的角是60。.

其中正確結(jié)論的序號是

13.幕函數(shù)y=x”的圖像在第象限.

14.已知角1的終邊經(jīng)過點尸(一47",3加)("2<0),則2sina+cos(z的值是.

15.已知函數(shù)/(x)=rJi""，若〃/(O))=3a,則〃的值為____

X4-O￥,X>l,

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.已知函數(shù)/(x)=log4(x+2)+log4(x-4).

(1)求.f(x)的定義域；

(2)若函數(shù)g(x)=a4—2'M—a,且對任意的％e[5,6],%e口⑵，/&)<g(^)恒成立，求實數(shù)。的取值范

圍.

17.在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長.某地區(qū)2()19年底新能源汽車保有

量為15(X)輛，2020年底新能源汽車保有量為225()輛，2021年底新能源汽車保有量為3375輛

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從y=。力'(a>0,/?>0且871),y=a-logfcx,(.a>0,〃>0且〃r1),y-ax+b{a>0)

三種函數(shù)模型中選擇一個最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢(不必說明理由)，設(shè)從2019年底起經(jīng)過

x年后新能源汽車保有量為)'輛，求出新能源汽車保有量關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按(1)中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同，2019

年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，預(yù)計到2024年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計到哪一年底

新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.(參考數(shù)據(jù)：1g2Mo.30,1g3a0.48)

18.對于函數(shù)/(x),若實數(shù)/滿足/(面)=跖，則稱/是/(x)的不動點.現(xiàn)設(shè)/(x)=x2+a

(1)當(dāng)。=一2時，分別求/(%)與/(7(x))的所有不動點；

(2)若/(尤)與/(7(力)均恰有兩個不動點，求a的取值范圍；

⑶若有兩個不動點，/(/(力)有四個不動點，證明：不存在函數(shù)g(x)滿足〃x)=g(g(x))

19.已知全集0=1<,集合A=同x2+px+12=0},集合8={%,2-5%+4=0}

(1)若集合A中只有一個元素，求〃的值；

(2)若AcB={3},求AU8

20.如圖，在直三棱柱ABC—AUG中，點。為48的中點，ZABC=90°,AB=BC=2,A4,=273.

(1)證明：BC7/平面AOG.

(2)求三棱錐。-ABC的體積.

21.如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，側(cè)棱CC'_L底面ABC,AB=AC,D,E,F分別為棱A4;BB；BC的中點

(1)求證：BC'lAFi

(2)若43=2,3。=。。'=2血,求三棱錐￡>—4￡尸的體積

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

1、C

【解析】由二次根式的被開方數(shù)非負和對數(shù)的真數(shù)大于零求解即可

2—xN0

【詳解】由題意得c,解得0<xW2,

x>0

所以函數(shù)的定義域為（0,2］,

故選：C

2、D

【解析】根據(jù)題意,可知兩條直線都經(jīng)過y軸上的同一點，且兩條直線的斜率互為相反數(shù)，即可得兩條直線的對稱關(guān)系.

【詳解】因為加，“都經(jīng)過y軸上的點（o,i），且斜率互為相反數(shù)，

所以〃?，〃關(guān)于y軸對稱.

故選:D

【點睛】本題考查了兩條直線的位置關(guān)系，關(guān)于y軸對稱的直線方程特征,屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】連接8。,；48//&。,，/。&8為異面直線。片與6。所成角，；幾何體是長方體，，八。48是

Rtb,BD=y5,B,B=\,.-.tanZDB,B=1ZDB}B=60,異面直線DB、與C】C所成角的大小是60°，故選C.

4、A

【解析】由奇偶性分析條件可得，（x）在［T1］上單調(diào)遞增，所以1rax=1，進而得1<4+3加夕一28526,結(jié)

合角的范圍解不等式即可得解.

【詳解】因為/（x）是定義在卜1,1］上的奇函數(shù)，

所以當(dāng)［1,1］且a+時/⑷+［（"〉0o〉0,

根據(jù)a,b的任意性，即a-b的任意性可判斷/（力在［-1,1］上單調(diào)遞增，

所以/（“厘="）=-/（T）=l，

若/（x）<4+3sin8-2cos26對Vxe［-1,1］恒成立，則1<4+3sin。-2cos?。，

整理得（sin。+l）（2sin。+1）>0,所以sin。〉—,，

2

由可后馬，可得呵4’3

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛，本題解題關(guān)鍵是利用"“）十—"）〉0O/（“）―/,（一"）〉0,結(jié)合變量的任意性，可判斷

a+ba-（-b）

函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

5、C

【解析】先研究y=/（x）的單調(diào)性，利用零點存在定理即可得到答案.

【詳解】."x）=21nx—1定義域為（0,+8）.

因為），=211和）；=—3在（0,+8）上單增，所以〃%）=21nx-3在（0,+8）上單增.

%X

當(dāng)xf0+時，/（x）<0;/（1）=^<0；/（x）=21n2-2=2（ln2-l）<0:

而〃3）=21113T>2—g>0；/（4）=21n4-l>0,

由零點存在定理可得：函數(shù)”x）=21nx-3的零點位于區(qū)間（2,3）.

故選：C

6、C

【解析】：①若根則加上〃，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知正確；

②若相||〃,〃||a,則加||a；不正確，也可能是m在a內(nèi)；錯誤；

③若加則a，4；據(jù)線面垂直的判定定理可知正確；

④若機c“=A,〃z||a,根||民〃廣，根據(jù)線面平行判定的定理可知正確

得到①③④正確，故選C

7、B

【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定所給結(jié)論是否正確即可.

【詳解】角a的終邊在第二象限，貝|]cosa<0,sina>0,AC錯誤；

sintz=2sinacosa<0,B正確;

當(dāng)a=150時，2a=300",tan2a<0,。錯誤

本題選擇8選項.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)符號，二倍角公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

8、A

【解析】由函數(shù)/(x)=log(,龍(。＞0,且。。1)在［2,4］上的最大值為4,分情況討論得到?＞1,從而可得函數(shù)y=優(yōu)

單調(diào)遞增，而g(x)=(l-〃。優(yōu)在R上是減函數(shù)，所以可得1-〃2＜0,由此可求得加的取值范圍

【詳解】當(dāng)。＞1時，函數(shù)/(x)=log“無單調(diào)遞增，據(jù)此可知：log”4=4,0="，滿足題意；

當(dāng)0＜。＜1時，函數(shù)/(x)=log〃x單調(diào)遞減，據(jù)此可知：log,2=4,a=2；，不合題意；

故函數(shù)y=“,單調(diào)遞增，

若函數(shù)g(x)=(l-m)a'在R上是減函數(shù)，貝也一機＜0,據(jù)此可得帆＞1

故選：A

【點睛】此題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

9,D

【解析】對于A：由定義法判斷出了(X)不是奇函數(shù)，即可判斷；

對于B：判斷出了(X)在R上為增函數(shù)，即可判斷;

對于C：不能說在定義域是減函數(shù)，即可判斷；

對于D：用圖像法判斷.

=的定義域為R"(r)=(1

【詳解】對于A：.所以/(x)不是奇函數(shù)，故A錯誤;

對于B：/(x)=V在R上為增函數(shù).故B錯誤；

對于C：/(x)=:在(-GO)為減函數(shù)，在(0,+8)為減函數(shù)，但不能說在定義域是減函數(shù).故C錯誤;

/、I?f-x2,x＜0

對于D：f(x)=-x\x\=\,作出圖像如圖所示：

lx,x＞0

所以/(x)既是奇函數(shù)又是減函數(shù).故D正確.

故選：D

10、B

【解析】利用基本不等式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出A與3的大小關(guān)系.

【詳解】因為。、人是正實數(shù)，且加b,則4=2+0>2、々.0=2,

ah\ab

B+4x—2=—（九一2）+242,因此，A>JB?

故選:B.

二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）

11、16

31

【解析】士+:乘1后借助已知展開，然后由基本不等式可得.

ab

【詳解】因為a>0力>0,3a+b=i

31z3l、s,、1A3b_（3b_3a

所以—i—=（—I—）（3。+8）=IOH---1---->10+2、/——x——=16

abahab\ab

3b_3a

當(dāng)且僅當(dāng)，\a~b，即a=b='時，取“=”號，

4

[3a+b=\

31

所以己+7的最小值為16.

ab

故答案為：16

12、①?④

【解析】①取BD的中點O,連接OAQC,所以。4,8。,0。，80,所以3。，平面0人（：，所以AC_L5。；②設(shè)正

方形的邊長為a,則在直角三角形ACO中，可以求得OC=a,

所以△AC。是等邊三角形；③AB與平面3CD成45角；④分別取8C,AC的中點為M,N,連接ME,NE,MN.則

MN//AB,且MN=—AB=—a,ME//CD,且ME=—CD=—a,：.NEMN是異面直線AB,CD所成的角.在RtAAEC

2222

Bii

中，AE=CE=—a,AC=a,...他=—4。=—%，4W代是正三角形，/.ZEMN=6d°,故④正確

222

考點：本小題主要考查平面圖形向空間圖形的折疊問題，考查學(xué)生的空間想象能力.

點評：解決此類折疊問題，關(guān)鍵是搞清楚折疊前后的變量和不變的量.

13、【解析】根據(jù)幕函數(shù)的定義域及對應(yīng)值域，即可確定圖像所在的象限.

【詳解】由解析式知：定義域為（F,0）U（0,+8）,且值域（0,+8）,

.?.函數(shù)圖像在一、二象限.

故答案為：一、二.

2

14、——##-0.4

5

34

【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到sin。=-弓，cos?=-,進而得到答案.

【詳解】角a的終邊經(jīng)過點3M(加<()),

八.3m3-4m4

m<()sma--------=——，cosa------二—,

5|根|551ml5

?

c2sina+cosa=——2.

5

2

故答案為：一

15、4

【解析】根據(jù)自變量所屬的區(qū)間，代入相應(yīng)段的解析式求值即可.

【詳解】由題意可知"0)=2°+1=2,f(2)=^+2a=3a,解得a=4,

故答案為：4

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16、(1)(4,+oo).(2)(2,+oo).

【解析】(1)使對數(shù)式有意義，即得定義域；

(2)命題等價于/*),恤<gMmin,如其中一個不易求得，如g(X)min不易求，則轉(zhuǎn)化/(%)max<g。)恒成立,

再由其它方法如分離參數(shù)法求解或由二次不等式恒成立問題求解

【詳解】(1)由題可知x+2>0且X—4>0,

所以x>4.

所以/(x)的定義域為(4,+8).

(2)由題易知.f(x)其定義域上單調(diào)遞增.

所以“X)在xe[5,6]上的最大值為/(6)=log416=2,

對任意的王e[5,6],x2e[l,2],/(%)<8(與)恒成立等價于/(?max=2<g(x)恒成立.

由題得g(x)=a?(2'『-2-2'—a.

令2*=t(te[2,4]),則h(t)=a-t2-2t—a>2恒成立.

當(dāng)。=0時，t<-\,不滿足題意.

a-22-4—a>2

當(dāng)a<0時,

a-42-8-a>2

解得a>2,因為。<0,所以舍去.

當(dāng)a>()時，對稱軸為

a

當(dāng)一<2,即?時，a-22-4—tz>2?所以a>2；

a2

111/iV7

當(dāng)24—W4,即一WaK—時，a]----a>2,無解，舍去;

a421aJa

112

當(dāng)一>4,即0<a<一時，￡7-42—8—a>2?所以a>—,舍去.

a43

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(2,+oo).

【點睛】本題考查求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，不等式恒成立問題.解題時注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

17、(1)應(yīng)選擇的函數(shù)模型是y=(a>0,b>0且人工1),函數(shù)關(guān)系式為y=1500?二；

(2)2028年底.

【解析】(D根據(jù)題中的數(shù)據(jù)可得出所選的函數(shù)模型，然后將對應(yīng)點的坐標代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)的值，即可得

出函數(shù)解析式；

(2)設(shè)傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為「，根據(jù)題意求出廠的值，可得出設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后的傳

統(tǒng)能源汽車保有量)'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意得出關(guān)于*的不等式，解之即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是

y=a-bx(a>0,h>0S.h^\).

a?=1500/=1500

由題意得｛.°C八，解得，3，所以y=1500?引.

a-b'=2250b=-[2)

iI2

【小問2詳解】

解：設(shè)傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為廣，

依題意得，50000(1-r)5=50000(1-10%),解得[一八二。/，

設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為丁輛,

(iY

貝!J有>=50000。一廠)”=50000O.95,

\7

設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車，則有

/1v

1500目

>500000.95

(￡VV*

化簡得>1000.95所以Ig3+x(lg3—Ig2)>2+^(21g3—1),

V7

、2-lg3

x>-----------..?..8.....0.9

解得.13....

-+-Ig3-lg2

故從2019年底起經(jīng)過9年后，即2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車.

-l-x/5-1+喬

18、(1)%(=2,x=-1,x=

2322

(3)見詳解.

【解析】【小問1詳解】

因為。=一2,所以/0)=》即為2一%一2=0，所以西=2,々=一1,

所以F(x)的不動點為M=2,々=T；

解/(/(幻)=x，/(/(%))=/(x2—2)=(Y_2)2_2=Y_4/+2=x,

所以_?一4/7+2=0，

因為/(x)=x是/(/(x))=x的解，所以上述四次方程必有因式f一x-2,

利用長除法或者雙十字相乘法因式分解得(x2-x-2)(/+x-1)=o,

所以玉=2,4=—1,七4=~I

所以/(7(x))的不動點為％=2,&=-1,占.4=>芋

【小問2詳解】

由f(x)=x2+a=x^x2-x+a=0>

由/(/(x))=/(x2+a)=(x2+a)2+a=x4+2ax2+a2+a=x>

得d+2ox2—x+a2+a=o，因為/。)=%是/(/(為)=尤的解，

所以上述四次方程必有因式W-x+a，

利用長除法或者雙十字相乘法因式分解得(x2-x+a)(x2+x+a+l)=O,因為/(%)與/(/(%))均恰有兩個不動點,

所以①△]=1—4tz>0,A2=1—4?！?=—3—4。<0

或②4=1-4。>0且l2_1+。=0和12+X+Q+]=0有同根，

3113

由①得一廣②中兩方程相減得21=0,所以5‘故"一"

31、

綜上，a的取值范圍是一二,二；

_44J

【小問3詳解】

(3)設(shè)/(幻的不動點為。力，/(/(幻)的不動點為a,8,c,d,

所以/(a)=aJS)=AJ(c)工c43)工d,

設(shè)〃(x)=/(/(x)),則h(c)=/(/(c))=c,

所以〃(/⑹)=/(/(/⑹)=f(c),所以/(c)是h(x)=/(/(%))的不動點,

同理，/(d)也是〃(乃=/(/(幻)的不動點，只能f(c)=d,f(d)=c,

s(d)=ag(a)=b

假設(shè)存在/(x)=g(g(x)),貝!I〉二L

[gS)=〃g(b)=a

因為3=f(x)過點(c,d),(d,c),所以g(c)*c,g(d)豐d,

否則/(c)=g(g(c))=g(c)=c矛盾,

且g(c)Hd,g(d)豐c,否則/(c)=g(g(c))=g(d)=d,

所以一定存在g(c)==d,g(d)=s,g(s)=c,S,t與cd均不同，

所以g(g(g(f))=f，所以/(/?))==所以/(/(功有另外不動點，矛盾,

故不存在函數(shù)g(x)滿足/(%)=g(g(x))

19、(1)±473

（2）{2,3,4}

【解析】（1）對應(yīng)一元二次方程兩根相等，A=0.

（2）先由已知確定"、4的值，再確定集合A、B的元素即可.

【小問1詳解】

因為集合A中只有一個元素，所以△='2—4x12=0,p=±4g

【小問2詳解】

32+px3+12=0

當(dāng)AcB={3}時，,

p=-7,q=6f

3?—5X3+(7=0

此時A={3,4},8={2,3},AUB={2,3,4}

20、(1)證明見解析

【解析】（1）在平面AOG內(nèi)作出輔助線然后根據(jù)線面平行判定定理證明即可；

（2）作出三棱錐ABC的高，將△ABC看作三棱錐的底面，利用三棱錐體積公式計算即可.

【小問1詳解】

證明：連