數(shù)值分析習(xí)題(含答案)分解

數(shù)值分析習(xí)題參考解答江世宏編PAGEPAGE48第一章緒論姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：有效數(shù)字的計(jì)算、計(jì)算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計(jì)算。1若誤差限為,那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）解：，故具有3位有效數(shù)字。2具有4位有效數(shù)字的近似值是多少？（有效數(shù)字的計(jì)算）解：，欲使其近似值具有4位有效數(shù)字，必需，，即即取（3.14109,3.14209）之間的任意數(shù)，都具有4位有效數(shù)字。3已知，是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問，有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）解：，，而，故至少具有2位有效數(shù)字。故至少具有2位有效數(shù)字。4設(shè)，的相對誤差為，求的誤差和相對誤差？（誤差的計(jì)算）解：已知，則誤差為則相對誤差為5測得某圓柱體高度的值為，底面半徑的值為，已知，，求圓柱體體積的絕對誤差限與相對誤差限。（誤差限的計(jì)算）解：絕對誤差限為相對誤差限為6設(shè)的相對誤差為,求的相對誤差。（函數(shù)誤差的計(jì)算）解：，7計(jì)算球的體積，為了使體積的相對誤差限為，問度量半徑時(shí)允許的相對誤差限為多大？（函數(shù)誤差的計(jì)算）解：球體積為，欲使，必須。8設(shè)，求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步增大；反向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步減小。（計(jì)算方法的比較選擇）解：如果初始誤差為，若是向前遞推，有可見，初始誤差的絕對值被逐步地?cái)U(kuò)大了。如果是向后遞推，其誤差為可見，初始誤差的絕對值被逐步減少了。

第二章插值法姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：拉格朗日插值法的構(gòu)造，均差的計(jì)算，牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造，插值余項(xiàng)的計(jì)算和應(yīng)用。1已知，求的拉氏插值多項(xiàng)式。（拉格朗日插值）解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，由插值條件，有解得：。故。解法二（基函數(shù)法）：由插值條件，有2已知，用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）解：由插值節(jié)點(diǎn)與被插函數(shù)，可知，，，其線性插值函數(shù)為的近似值為。3若為互異節(jié)點(diǎn)，且有試證明。（拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)）解：考慮輔助函數(shù)，其中，，。是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)（）處，有這表明，有n+1個(gè)互異實(shí)根。故，從而對于任意的均成立。4已知，用拋物線插值計(jì)算的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。（拉格朗日二次插值）解：由插值條件，其拋物線插值函數(shù)為將代入，計(jì)算可得：。其余項(xiàng)為：其中，故誤差的上界為：。5用余弦函數(shù)在，，三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值，寫出二次拉格朗日插值多項(xiàng)式,并近似計(jì)算及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。（拉格朗日二次插值）解：由插值條件，二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為絕對誤差為：相對誤差為：余項(xiàng)為：，其中，其余項(xiàng)的上界為：比較可知，實(shí)際計(jì)算所得的絕對誤差較余項(xiàng)公式所估計(jì)出的值要小一些。6已知函數(shù)值，求函數(shù)的四階均差和二階均差。（均差的計(jì)算）解：采用列表法來計(jì)算各階均差，有xy一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15從表中可查得：。xy一階均差二階均差48211072/3346186故。其實(shí)，根據(jù)均差的對稱性，，該值在第一個(gè)表中就可以查到。7設(shè)求之值，其中，而節(jié)點(diǎn)互異。（均差的計(jì)算）解：由均差可以表示成為函數(shù)值的線性組合，有而，故。8如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項(xiàng)式。（牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造）解：先構(gòu)造均差表xf(x)一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8-11/4故。9求一個(gè)次數(shù)小于等于三次多項(xiàng)式，滿足如下插值條件：，，，。（插值多項(xiàng)式的構(gòu)造）解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，則，由插值條件，有解得：。故解法二（帶重節(jié)點(diǎn)的均差法）：據(jù)插值條件，造差商表xy一階差商二階差商三階差商122422431312852故10構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式，使它滿足條件（埃爾米特插值）。解：設(shè)，利用插值條件，有解得：。11設(shè)。(1)試求在上的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，使得，以升冪形式給出。(2)寫出余項(xiàng)的表達(dá)式。（埃爾米特插值及其余項(xiàng)的計(jì)算）。解：，，，，設(shè)，解得：，，，。故。，其中，。12若，試證明：（插值余項(xiàng)的應(yīng)用）解：以為插值條件，作線性插值多項(xiàng)式，有其余項(xiàng)為故。13設(shè)求使；又設(shè)，則估計(jì)余項(xiàng)的大小。（插值誤差的估計(jì)）解：由插值條件，有解得：從而其余項(xiàng)為

第三章函數(shù)逼近姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多項(xiàng)式的構(gòu)造。1設(shè)，求于上的線性最佳平方逼近多項(xiàng)式。（最佳平方逼近）解：，，，法方程組為解得：，線性最佳平方逼近多項(xiàng)式為：。2令，且設(shè),求使得為于上的最佳平方逼近多項(xiàng)式。（最佳平方逼近）解：，，，法方程組為解得：，線性最佳平方逼近多項(xiàng)式為：。3證明：切比雪夫多項(xiàng)式序列在區(qū)間上帶權(quán)正交。（正交多項(xiàng)式的證明）解：對于，有對于，有故，序列在[-1，1]上帶權(quán)正交。4求矛盾方程組：的最小二乘解。（最小二乘法）解法一：求與，使得達(dá)到最小。于是，令即：，其最小二乘解為：。解法二：，記作，該矛盾方程組的最小二乘解，應(yīng)滿足以下方程組，即解之，得。5已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)22.53455.544.5688.59試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(計(jì)算過程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）解：作矩陣，法方程為即解得：，。其直線擬合函數(shù)為。6用最小二乘原理求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合.19253138441932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）解：等價(jià)于對數(shù)據(jù)表361625961144419361932.34973.397.8作線性擬合。其法方程組為：解得：，故經(jīng)驗(yàn)公式為。

第四章數(shù)值積分姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：代數(shù)精度的計(jì)算，構(gòu)造插值型求積公式（梯形，辛甫生公式），復(fù)化求積的計(jì)算，高斯公式的構(gòu)造。1給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算）解：分別取，使上述數(shù)值積分公式準(zhǔn)確成立，有；解得：。故求積公式為。再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=此求積公式的最高代數(shù)精度為3。2求積公式，試確定系數(shù),及，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算）解：分別取，使求積公式準(zhǔn)確成立，有解得：。求積公式為。再取，左邊=右邊故該求積公式的最高代數(shù)精度為2。3數(shù)值積分公式，是否為插值型求積公式，為什么？又該公式的代數(shù)精確度為多少？（插值型求積公式特征）解：令，，，故代數(shù)精度為1。由于求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，代數(shù)精度達(dá)到1次，故它是插值型的求積公式。4如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得到的結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。（梯形求積）解：梯形求積公式是由過點(diǎn)，的線性插值函數(shù)在[a,b]上的定積分。注意到：在區(qū)間[a,b]上，，而，有從而。其幾何意義可作以下解釋：在區(qū)間[a,b]上，，故曲線下凹，直線位于曲線之上，因此，曲邊梯形的面積小于梯形面積。5用的復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。（復(fù)化梯形求積）解：，取求積節(jié)點(diǎn)為因，則誤差大約為：。6設(shè),則用復(fù)化辛甫生公式計(jì)算，若有常數(shù)使，則估計(jì)復(fù)化辛甫生公式的整體截?cái)嗾`差限。（復(fù)化辛甫生公式）解：7已知高斯求積公式將區(qū)間[0,1]二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分的近似值。（高斯公式）解：對于作變量換，有對于作變量換，有8試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為高斯型的？（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算，高斯點(diǎn)的特征）解：分別取，使上述數(shù)值積分公式準(zhǔn)確成立，有；整理得：解得：。數(shù)值求積公式為再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=可見，該數(shù)值求積公式的最高代數(shù)精度為5。由于該公式中的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，其代數(shù)精度達(dá)到了次，故它是高斯型的。9設(shè)是[0,1]區(qū)間上帶權(quán)的最高次冪項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式系（1）求。（2）構(gòu)造如下的高斯型求積公式。（高斯求積）解（1）：采用施密特正交化方法，來構(gòu)造帶權(quán)且在[0，1]上正交的多項(xiàng)式序列取，設(shè)，且它與在[0，1]上帶權(quán)正交，于是，故。設(shè)，且它與、在[0，1]上帶權(quán)正交，于是，，解（2）：的零點(diǎn)為：。設(shè)分別取，使上述求積公式準(zhǔn)確成立，有，即解得：，。高斯型求積公式為

第五章非線性方程求根姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和收斂速度的討論。1用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。（二分法）解：，，，在[0，2]連續(xù)，故[0，2]為函數(shù)的有根區(qū)間。（1）計(jì)算，故有根區(qū)間為[1，2]。（2）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（3）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（4）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（5）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（6）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（7）計(jì)算，故有根區(qū)間為。（8）若取中點(diǎn)作為取根的近似值，其誤差小于取近似根，可滿足精度要求。2說明方程在區(qū)間[1，2]內(nèi)有惟一根，并選用適當(dāng)?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)），并說明所用的迭代格式是收斂的。（迭代法）解：，，，故函數(shù)單調(diào)增加，因此，該方程在（1，2）之間存在著惟一的實(shí)根。取迭代函數(shù)顯然，且故迭代（）對任意初始值收斂。對于初值，其迭代值分別為，，，由于，故作為近似值，已精確到了3位有效數(shù)字。3設(shè)有解方程的迭代法(1)證明均有（為方程的根）。(2)此迭代法的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。(3)取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值。（和收斂性討論）解(1)：，（），故該迭代對任意初值均收斂于方程的根。解(2)：由，故有。，故該迭代的收斂速度是1階的。解(3):取，代入迭代式，可計(jì)算出以下結(jié)果：，，，，由于，取可滿足精度要求。4設(shè)，，試證明：由，得到的序列收斂于。（收斂性證明）證明：由知，方程有根。由，當(dāng)時(shí)，有，即序列收斂于。5設(shè)方程在[0,1]內(nèi)的根為，若采用迭代公式，試證明：均有為方程的根)；此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。（迭代法和收斂性討論）解：迭代函數(shù)，當(dāng)故迭代在區(qū)間上整體收斂。設(shè)，則，且故故該迭代的收斂速度為1階的。方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價(jià)形式：(1)，對應(yīng)迭代格式：(2)，對應(yīng)迭代格式：(3)，對應(yīng)迭代格式：討論這些迭代格式在時(shí)的收斂性。若迭代收斂，試估計(jì)其收斂速度，選一種收斂格式計(jì)算出附近的根到4位有效數(shù)字。（收斂速度的計(jì)算和比較）解：，，，，故方程在上有根。，故方程在上有根。，故方程在上有根。對于迭代式（1）：，，而，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的。對于迭代式（2）：在上，，，又，故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的。對于迭代式（3）：在[1，2]上的值域?yàn)?，該迭代式不收斂。取迭代式，進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如下：，，，，，，，取為近似值具有4位有效數(shù)字。7設(shè)(1)寫出解的牛頓迭代格式；(2)證明此迭代格式是線性收斂的。（牛頓迭代的構(gòu)造與收斂速度）解：牛頓迭代式為，方程的根為，，，因，故迭代局部收斂。又因，故迭代收斂速度為1階。8設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的牛頓迭代法，且不用除法（其中）。（牛頓迭代法）解：考慮方程，，而，該迭代局部收斂。9用牛頓法求的近似值，取或11為初始值，計(jì)算過程保留4位小數(shù)。（牛頓迭代的構(gòu)造）解：考慮方程，，取為初始值，計(jì)算其迭代值如下：，，取為初始值，計(jì)算其迭代值如下：，，10設(shè)是非線性方程的m重根，試證明：迭代法具有至少2階的收斂速度。（收斂速度證明）解：設(shè)是非線性方程的m重根，則，且及，其牛頓迭代函數(shù)為牛頓迭代式故該迭代的收斂速度至少是2階的。11設(shè)是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。（收斂速度證明）解：設(shè)是非線性方程的m重根，則，且及，其牛頓迭代函數(shù)為牛頓迭代式故收斂速度為1階的。12設(shè)，在附近有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，試證：迭代法在附近是階收斂的。

（收斂速度證明）解：將在點(diǎn)附近作泰勒展式，有，其中，在與之間。于是：，其中，在與之間。由于，故，從而。因此，迭代的收斂速度為p。

第六章常微分方程數(shù)值解姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：歐拉方法的構(gòu)造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當(dāng)姆斯方法的構(gòu)造和討論。1用改進(jìn)的歐拉公式，求以下微分方程的數(shù)值解（取步長），并與精確解作比較。（改進(jìn)的尤拉公式的應(yīng)用）解：原方程可轉(zhuǎn)化為，令，有解此一階線性微分方程，可得。利用以下公式求在節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解，其中，初值為。MATLAB程序如下：x(1)=0;%初值節(jié)點(diǎn)y(1)=1;%初值fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1));fori=1:5yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%預(yù)報(bào)值yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值y(i+1)=(yp+yc)/2;%改進(jìn)值x(i+1)=x(i)+0.2;%節(jié)點(diǎn)值yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精確解fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1));end程序運(yùn)行的結(jié)果如下：x(1)=0.000000,y(1)=1.000000,yy(1)=1.000000x(2)=0.200000,y(2)=1.220000,yy(2)=1.183216x(3)=0.400000,y(3)=1.420452,yy(3)=1.341641x(4)=0.600000,y(4)=1.615113,yy(4)=1.483240x(5)=0.800000,y(5)=1.814224,yy(5)=1.612452x(6)=1.000000,y(6)=2.027550,yy(6)=1.7320512用四階龍格－庫塔法求解初值問題，取,求時(shí)的數(shù)值解.要求寫出由直接計(jì)算的迭代公式，計(jì)算過程保留3位小數(shù)。（龍格－庫塔方法的應(yīng)用）解：四階龍格-庫塔經(jīng)典公式為由于，在各點(diǎn)的斜率預(yù)報(bào)值分別為：四階經(jīng)典公式可改寫成以下直接的形式：在處，有在處，有注：這兩個(gè)近似值與精確解在這兩點(diǎn)的精確值十分接近。3用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解。解：顯然，是原初值問題的準(zhǔn)確解。求解一般微分方程初值問題的梯形公式的形式為對于該初值問題，其梯形公式的具體形式為，，于是：亦即：注意到：，，令，有從而即：當(dāng)時(shí)，收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解。4對于初值問題，證明當(dāng)時(shí)，歐拉公式絕對穩(wěn)定。（顯式和隱式歐拉公式的穩(wěn)定性討論）證明：顯式的歐拉公式為從而，由于，，因此，顯式歐拉公式絕對穩(wěn)定。隱式的歐拉公式為，由于，，因此，隱式的歐拉公式也是絕對穩(wěn)定的。5證明：梯形公式無條件穩(wěn)定。（梯形公式的穩(wěn)定性討論）解：對于微分方程初值問題其隱式的梯形公式的具體形式可表示為，，從而由，可知，，故隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定。6設(shè)有常微分方程的初值問題，試用泰勒展開法，構(gòu)造線性兩步法數(shù)值計(jì)算公式，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。（局部截?cái)嗾`差和主項(xiàng)的計(jì)算）解：假設(shè)，，利用泰勒展式，有又欲使其具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差，必須，，從而，，于是數(shù)值計(jì)算公式為。該數(shù)值計(jì)算公式的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為7已知初值問題取步長，利用阿當(dāng)姆斯公式，求此微分方程在[0，10]上的數(shù)值解，求此公式的局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。（阿當(dāng)姆斯公式的應(yīng)用）解：假設(shè)，，利用泰勒展開，有，，而該阿當(dāng)姆斯兩步公式具有2階精度，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為。取步長，節(jié)點(diǎn)（），注意到，其計(jì)算公式可改寫為僅需取一個(gè)初值，可實(shí)現(xiàn)這一公式的實(shí)際計(jì)算。其MATLAB下的程序如下：x0=0;%初值節(jié)點(diǎn)y0=0;%初值forn=0:99y1=y0+0.02*n+0.01;x1=x0+0.1;fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,x1,n+1,y1);x0=x1;y0=y1;end運(yùn)行結(jié)果如下：x(1)=0.10000000,y(1)=0.01000000x(2)=0.20000000,y(2)=0.04000000x(3)=0.30000000,y(3)=0.09000000x(4)=0.40000000,y(4)=0.16000000x(5)=0.50000000,y(5)=0.25000000x(6)=0.60000000,y(6)=0.36000000x(7)=0.70000000,y(7)=0.49000000x(8)=0.80000000,y(8)=0.64000000x(9)=0.90000000,y(9)=0.81000000x(10)=1.00000000,y(10)=1.00000000x(11)=1.10000000,y(11)=1.21000000x(12)=1.20000000,y(12)=1.44000000x(13)=1.30000000,y(13)=1.69000000x(14)=1.40000000,y(14)=1.96000000x(15)=1.50000000,y(15)=2.25000000x(16)=1.60000000,y(16)=2.56000000x(17)=1.70000000,y(17)=2.89000000x(18)=1.80000000,y(18)=3.24000000x(19)=1.90000000,y(19)=3.61000000x(20)=2.00000000,y(20)=4.00000000x(21)=2.10000000,y(21)=4.41000000x(22)=2.20000000,y(22)=4.84000000x(23)=2.30000000,y(23)=5.29000000x(24)=2.40000000,y(24)=5.76000000x(25)=2.50000000,y(25)=6.25000000x(26)=2.60000000,y(26)=6.76000000x(27)=2.70000000,y(27)=7.29000000x(28)=2.80000000,y(28)=7.84000000x(29)=2.90000000,y(29)=8.41000000x(30)=3.00000000,y(30)=9.00000000x(31)=3.10000000,y(31)=9.61000000x(32)=3.20000000,y(32)=10.24000000x(33)=3.30000000,y(33)=10.89000000x(34)=3.40000000,y(34)=11.56000000x(35)=3.50000000,y(35)=12.25000000x(36)=3.60000000,y(36)=12.96000000x(37)=3.70000000,y(37)=13.69000000x(38)=3.80000000,y(38)=14.44000000x(39)=3.90000000,y(39)=15.21000000x(40)=4.00000000,y(40)=16.00000000x(41)=4.10000000,y(41)=16.81000000x(42)=4.20000000,y(42)=17.64000000x(43)=4.30000000,y(43)=18.49000000x(44)=4.40000000,y(44)=19.36000000x(45)=4.50000000,y(45)=20.25000000x(46)=4.60000000,y(46)=21.16000000x(47)=4.70000000,y(47)=22.09000000x(48)=4.80000000,y(48)=23.04000000x(49)=4.90000000,y(49)=24.01000000x(50)=5.00000000,y(50)=25.00000000x(51)=5.10000000,y(51)=26.01000000x(52)=5.20000000,y(52)=27.04000000x(53)=5.30000000,y(53)=28.09000000x(54)=5.40000000,y(54)=29.16000000x(55)=5.50000000,y(55)=30.25000000x(56)=5.60000000,y(56)=31.36000000x(57)=5.70000000,y(57)=32.49000000x(58)=5.80000000,y(58)=33.64000000x(59)=5.90000000,y(59)=34.81000000x(60)=6.00000000,y(60)=36.00000000x(61)=6.10000000,y(61)=37.21000000x(62)=6.20000000,y(62)=38.44000000x(63)=6.30000000,y(63)=39.69000000x(64)=6.40000000,y(64)=40.96000000x(65)=6.50000000,y(65)=42.25000000x(66)=6.60000000,y(66)=43.56000000x(67)=6.70000000,y(67)=44.89000000x(68)=6.80000000,y(68)=46.24000000x(69)=6.90000000,y(69)=47.61000000x(70)=7.00000000,y(70)=49.00000000x(71)=7.10000000,y(71)=50.41000000x(72)=7.20000000,y(72)=51.84000000x(73)=7.30000000,y(73)=53.29000000x(74)=7.40000000,y(74)=54.76000000x(75)=7.50000000,y(75)=56.25000000x(76)=7.60000000,y(76)=57.76000000x(77)=7.70000000,y(77)=59.29000000x(78)=7.80000000,y(78)=60.84000000x(79)=7.90000000,y(79)=62.41000000x(80)=8.00000000,y(80)=64.00000000x(81)=8.10000000,y(81)=65.61000000x(82)=8.20000000,y(82)=67.24000000x(83)=8.30000000,y(83)=68.89000000x(84)=8.40000000,y(84)=70.56000000x(85)=8.50000000,y(85)=72.25000000x(86)=8.60000000,y(86)=73.96000000x(87)=8.70000000,y(87)=75.69000000x(88)=8.80000000,y(88)=77.44000000x(89)=8.90000000,y(89)=79.21000000x(90)=9.00000000,y(90)=81.00000000x(91)=9.10000000,y(91)=82.81000000x(92)=9.20000000,y(92)=84.64000000x(93)=9.30000000,y(93)=86.49000000x(94)=9.40000000,y(94)=88.36000000x(95)=9.50000000,y(95)=90.25000000x(96)=9.60000000,y(96)=92.16000000x(97)=9.70000000,y(97)=94.09000000x(98)=9.80000000,y(98)=96.04000000x(99)=9.90000000,y(99)=98.01000000x(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000

第七章線性方程組的迭代解法姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點(diǎn)：雅可比、高斯-塞德爾迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1證明：迭代格式QUOTEx(k+1)=Bx(k)+f收斂，其中。（迭代法收斂性判斷）解：因，故迭代收斂。2若用雅可比迭代法求解方程組迭代收斂的充要條件是。（雅可比迭代法的收斂性）解：原線性方程組的等價(jià)方程組為其雅可比迭代式為其收斂的充要條件是，即。3用雅可比、高斯-塞德爾迭代法，求解方程組是否收斂？為什么？若將方程組改變成為再用上述兩種迭代法求解是否收斂？為什么？（雅可比、高斯-塞德爾迭代法的收斂性）解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代發(fā)散。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代發(fā)散。對于線性方程組，即，其雅可比迭代為，其，故雅可比迭代收斂。，其，故高斯-塞德爾迭代收斂。4證明解線性方程組的雅可比迭代收斂，其中。（雅可比迭代收斂性判斷）解：雅可比迭代為，，其，故雅可比迭代收斂。5已知方程組，其中，(1)試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。(2)若有迭代公式，試確定的取值范圍，使該迭代公式收斂。（雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法和一般迭代法的收斂性討論）解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代收斂。對于以下迭代式故的特征值為，。當(dāng)，同時(shí)滿足，即，同時(shí)滿足時(shí)，亦即，時(shí)，有從而迭代收斂。6給出矩陣，（為實(shí)數(shù)），試分別求出的取值范圍：(1)使得用雅可比迭代法解方程組時(shí)收斂；(2)使得用高斯-塞德爾迭代法解方程組時(shí)收斂。（雅可比、高斯-塞德爾迭代法及收斂性討論）解：雅可比迭代為當(dāng)時(shí)，，使雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代為仍然是當(dāng)時(shí)，，使高斯-塞德爾迭代收斂。7設(shè)，(1)設(shè)