2015龍巖市質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理）試題及答案

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫在答題卡上．2．答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”．第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．=A． B． C． D．2．命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是A． B． C． D．0.080.040.030.02353025201510長(zhǎng)度(mm)頻率組距0.080.040.030.02353025201510長(zhǎng)度(mm)頻率組距（第3題圖）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，則的值為（第5題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖A． B（第5題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖C． D．5．如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的表面積是A． B． C． D．（第6題圖）6．（第6題圖）②；③；④；⑤若這些向量均以為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的有A．①②B．②④C．①③D．③⑤7．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離等于A． B． C． D．8．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．9．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．設(shè)動(dòng)點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．10．定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱為單位分?jǐn)?shù)．我們可以把1分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．如：，，，……依此類推可得：，其中，．設(shè)，則的最小值為A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上.（第11題圖）11．如右圖所示的程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果為（第11題圖）12．二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.13．上，其中，分別為其左、右焦點(diǎn)．若的面積為16且，則的值為．14．若用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中的六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有個(gè)（用數(shù)字作答）．15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，定點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫在答題卡相應(yīng)位置，應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.（本小題滿分13分）已知在中，角所對(duì)的邊分別為，，且為鈍角．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的取值范圍．17.（本小題滿分13分）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬在2015年3月份安排5次體能測(cè)試，規(guī)定：依次測(cè)試，只需有一次測(cè)試合格就不必參加后續(xù)的測(cè)試．已知運(yùn)動(dòng)員小劉5次測(cè)試每次合格的概率依次構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為．（Ⅰ）求小劉第一次參加測(cè)試就合格的概率；（Ⅱ）在小劉參加第一、第二次測(cè)試均不合格的前提下，記小劉參加后續(xù)測(cè)試的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（第18題圖）（第18題圖）如圖，已知是圓的兩條互相垂直的直徑，直角梯形所在平面與圓所在平面互相垂直，其中，，，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在平面上的射影為線段的中點(diǎn)，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．（第19題圖）19.（（第19題圖）如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為．一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該橢圓相交于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，直線與的斜率分別為．試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在處的切線與直線互相垂直.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，．問(wèn)：是否存在正常數(shù)，對(duì)任意給定的正整數(shù)，都有成立？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.（本小題滿分14分）本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．（1）已知二階矩陣，若矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量，屬于特征值3的一個(gè)特征向量．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若向量，計(jì)算的值．（2）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的極坐標(biāo)方程為，設(shè)是圓上任一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)到，使．（Ⅰ）求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）

說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分．1-5ACCAD6-10BDBCC二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分．11．1512．1013．714．28815．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．16.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由得，得于是又，∴……………6分（Ⅱ）∵為鈍角于是，又，∴由正弦定理可知，所以又，∴…………13分17.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）設(shè)小劉五次參加測(cè)試合格的概率依次為，則即，，解得或（舍去）所以小劉第一次參加測(cè)試就合格的概率為.…………6分（Ⅱ）的可能取值為1，2，3，，，，所以的分布列為………………13分18.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題設(shè)且平面平面，可知平面又是圓的直徑，因此，以點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系如圖由于是圓的兩條互相垂直的直徑，且所以四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形則，，，，，，，，是平面的法向量，所以直線平面………7分（Ⅱ）點(diǎn)在線段上，可設(shè)（第18題圖）的中點(diǎn)為，，（第18題圖）由題設(shè)有平面，，解得，線段的長(zhǎng)為………………13分19.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題設(shè)可知因?yàn)榧矗裕忠驗(yàn)樗詸E圓的方程為：………4分（Ⅱ）解法一：由知:，…………………5分設(shè)直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立方程組，消去得:解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．……8分同理，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為……9分由三點(diǎn)共線，有，………………10分化簡(jiǎn)得．由題設(shè)可知k1與k2同號(hào)，所以，即．…………12分所以，存在使得使得.……………13分解法二：由知，，直線方程化為，所以過(guò)定點(diǎn)……5分當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，，此時(shí)，，由此可猜想：存在滿足條件，下面證明猜想正確…7分聯(lián)立方程組，設(shè)，則，…10分，所以時(shí)，=………………12分由此可得猜想正確，因此，存在使得成立………13分20.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）依題意得：，……………4分（Ⅱ）對(duì)任意的，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立令,則由得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增………9分（Ⅲ）=，……………10分因此有由得，…………11分，取()，則，………………12分當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于．……………13分所以，不存在正常數(shù)，對(duì)任意給定的正整數(shù)，都有成立．…………14分（2）（Ⅰ）圓