2023屆北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期末試題（解析版）

2023屆北京市朝陽區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題

一、單選題

I.已知全集。=卜,>。},集合A={x[l<x<2},則gA=()

A.(-oo,l]u[2,+oo)B.(0,1][2,-KO)

C.(-oo』)52,*?)D.(0,1)(2,-K?)

【答案】B

【分析】由補(bǔ)集的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)槿?"上>0},集合A={x|l<x<2},

由補(bǔ)集的運(yùn)算可得6A={x|0<x41或xN2},

對應(yīng)區(qū)間為(0,5[2,-KO).

故選：B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(l+i)3-i)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(f-1)B.C.(-l,+oo)D.(1,+<?)

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部與虛部均小于0聯(lián)立不等式組求解.

【詳解】(l+i)(a—i)=(a+l)+(〃-l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

67+1<0

即a<-\.

a-\<0

?..實(shí)數(shù)〃的取值范圍是1).

故選：A.

3.函數(shù)/■(力=[￡+：'一3:"。的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

ex-2,x>0

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分別求出x40和x>0時(shí)，/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出答案.

【詳解】當(dāng)X40時(shí)，令/(x)=f+2x—3=0,

則(x-l)(x+3)=0,解得：x=\(舍去)或x=—3,

當(dāng)x＞0時(shí)，，令e*-2=0，解得：x=In2,

所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

4.已知雙曲線二-2=1（。＞0乃＞0）的一條漸近線的傾斜角為60。，則雙曲線的離心率為（）

a~b-

A.巡B.亞C.g

D.2

23

【答案】D

【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即2=從而求出離心率.

a

【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率2=tan6（r=e,

a

所以雙曲線離心率e=—=Jl+—r=Jl+3=2.

a\a

故選：D

5.在AABC中，氣山24=血28”是“。旗（7為等腰三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)sin2A=sin23得到A=B或A+B=],充分性不成立，必要性可舉出反例，從而得到

結(jié)論.

【詳解】sin2A=sin23,貝I]2A=28或2A+28=兀，

7T

故A=8或4+8=彳，

2

故一AfiC為等腰三角形或直角三角形，

,ABC為等腰三角形，不一定推出sin2A=sin2B,

比如3=C=70。，此時(shí)不能得到sin2A=sin2B,

故"sin2A=sin2B”是".ABC為等腰三角形”的既不充分也不必要條件.

故選：D

6.過直線丫=丘-2上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓/+/=1相切，則上的最大值為（）

A.GB.0C.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)P為直線）=丘-2上任意一點(diǎn)，判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位

置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得火的最大值.

【詳解】設(shè)P為直線＞=依-2上任意一點(diǎn)

因?yàn)檫^直線y=丘-2上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓V+/=i相切

所以點(diǎn)p在圓外或圓上，

即直線y=^-2與圓x2+y2=i相離或相切,

則.>1即公+144,解得Ze[-G,6],

J12+1

故Z的最大值為G.

故選：A.

7.已知函數(shù)/■(x)=sin(s+⑺1＞0,|川＜9,若g(x)-f(x)=l,且函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則

夕等于()

又因?yàn)間（X>/（X）=l,所以

結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，W，解得T=兀,

263

271

所以同=兀，解得。=±2,因?yàn)椤?gt;0,所以。=2

所以/0)=sin(2x+0),所以sin(2x]+9)=1,

即事+夕=g+2fat,keZ

解得夕=-?+2而，kwZ

因?yàn)槔?lt;[,所以夕=-?

26

故選：B.

8.2022年10月31日，長征五號(hào)B遙四運(yùn)載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將

中國空間站夢天實(shí)驗(yàn)艙準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度v（單位:

km/s）和燃料的質(zhì)量”（單位:t）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量加單位:t）的關(guān)系滿足丫=20001?1+備,

M,m,v之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

B.當(dāng)M=2,相<600時(shí)，v<7.9

C.當(dāng)〃>5,m=800時(shí)，v>11.2D.當(dāng)M>3,m>600時(shí)，v>11.2

【答案】C

【分析】由題及圖象關(guān)系可知，在v=20001n（l+,）中，當(dāng)機(jī)一定時(shí)，M越大，則v越大,

當(dāng)M一定時(shí)，加越小，則u越大，代入對應(yīng)的M,機(jī)逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】由題及圖象關(guān)系可知，在v=20001n(l+*j中，當(dāng)加一定時(shí)，M越大，則v越大,

當(dāng)例一定時(shí)，〃?越小，貝W越大,

2、(803)

對于當(dāng)M=3,〃2=800時(shí)，v=2000In=20001n；IsooJx7.49,故A錯(cuò)誤.

A,I800J

|=2000In(602、卜6.66,

對于B,當(dāng)M=2,〃z<600時(shí)，v>2000In故B錯(cuò)誤.

I600>

V>2000In|=2000In|,805]

對于c,當(dāng)M>5,“=800時(shí)，?12.46>11.2,故C正確.

、800J.800J

對于D,因?yàn)镸>3,〃?>600,令M=4,“7=1000,

v=20001n(l+^—|=20001n|^^U7.98<11.2,故D錯(cuò)誤.

IIOOOJUoooJ

故選：C.

9.已知A,B,C是單位圓上不同的三點(diǎn)，AB=AC,則居.AC的最小值為()

A.0B.—C.—D.—1

42

【答案】C

【分析】畫出圖形，設(shè)出4(0」)，S(cosa,sina),C(一cosa,sina),ae[0,27r),表達(dá)出

uunuuu(1Y1「、

AB-AC=2sin2cif-2sina=2(sina--I--,結(jié)合aw[0,2兀)的范圍求出最小值.

【詳解】如圖所示：不妨令A(yù)(0,l),設(shè)5(cosa,sina),a?0,2兀),

由于AB=AC,所以C(一cosa,sina),

UUUULUU1、

則AB-AC=(cossinez-1)?(-cossina-1)=-cos2cr+(sin?-1)~

=2sin2cr-2sin?=2sina————，

I2)2

r、1UUU1UUUI

因?yàn)閍e[(),2ji),所以當(dāng)sina=5時(shí)，A2-AC取得最小值，最小值為-弓.

故選：C

10.在數(shù)列｛叫中，q=l,%+i=M+l(〃eN*),若存在常數(shù)C,對任意的〃WN*,都有勺<。成立,

則正數(shù)/的最大值為()

A.—B.—C.—D.-

5432

【答案】B

【分析】由/=+1(〃eN*)可得%-*1-蚩，可得01+(〃-1)11-:J,用極限思想和數(shù)學(xué)

歸納法的思想分析計(jì)算即可得到正數(shù)k的最大值.

【詳解】因?yàn)閝,M=3；+l(”eN*)?>0,

由于q=l滿足上式，故%+

當(dāng)上>1時(shí)，有〃趨近于”時(shí)，("-1)[1-^]趨近于+?>

此時(shí)為沒有最大值，故不滿足題意，舍去；

所以氏心，

4

當(dāng)時(shí)，可證對任意的“eN",都有421,

4

由題知，若存在常數(shù)C,對任意的〃eN*,都有&<c成立，則c>l,

以下進(jìn)行證明：存在常數(shù)c=2,對任意的都有q,<2成立.

當(dāng)〃=1時(shí)，a,=1<2,結(jié)論成立

假設(shè)〃=加(，〃21)時(shí)結(jié)論成立，即14品<2

則15=叱+1<1+$22=2,

則存在常數(shù)c=2,對任意的〃eN*,都有為＜2成立

故正數(shù)k的最大值為。.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列中參數(shù)最大值的求解，屬于難題，解題的關(guān)鍵

是要把遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，結(jié)合數(shù)列中的極限思想和數(shù)學(xué)歸納法的思想進(jìn)而求解問題.

二、填空題

11.j展開式的常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

【答案】24

【分析】寫出展開式通項(xiàng)公式，確定常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)后可得.

44r42r

［詳解］Tr+l=C^2x）-'^=C；2-x-,4-2r=0,r=2,

常數(shù)項(xiàng)為（=C：X22=24.

故答案為：24.

12.若函數(shù)y=cosx-sinx在區(qū)間［0,a］上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的最大值為

【答案】4

4

【分析】化簡尸cosx-sinx得到y(tǒng)=&cos卜+,結(jié)合尸cosx的單調(diào)遞減區(qū)間得到。4%,

即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閥=c°sx-sinx=0cos（x+?）,

又因?yàn)樵趨^(qū)間［0M上是嚴(yán)格減函數(shù)，

且y=COSX的單調(diào)遞減區(qū)間為［2Z/,71+2Z司（攵￡Z）,

所以。+￡TT工4，即。工哼，所以實(shí)數(shù)。的最大值為3手兀，

444

故答案為：斗3萬.

4

13.如圖，在棱長為。的正方體A8CQ-A4GA中，P,。分別為AG，A片的中點(diǎn)，點(diǎn)7在正方體

的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足PT_LBQ.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)T可以是棱。。的中點(diǎn)；

②線段PT長度的最小值為

③點(diǎn)7的軌跡是矩形；

④點(diǎn)7的軌跡圍成的多邊形的面積為好".

2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【分析】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體ABC。-AAG。棱長。=2可簡化計(jì)算,

得到對應(yīng)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，通過空間向量數(shù)量積的運(yùn)算即可判斷對應(yīng)的垂直關(guān)系，通過計(jì)算和幾何

關(guān)系得點(diǎn)T的軌跡為四邊形EFGH,通過證明得到則點(diǎn)T的軌跡為矩形EFGH,即可求解點(diǎn)T的軌跡

圍成的多邊形的面積和線段PT長度的最小值，從而得到答案.

【詳解】由題知，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CRC8,CG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，令正方體ABC。-A棱長a=2

則C(O,O,O),0(2,0,0),8(0,2,0),A(2,2,0),C,(0,0,2),R(2,0,2),

4(022),A(2,2,2),P(LLl),Q(l,2,2),設(shè)T(x,y,z),

對于①，當(dāng)點(diǎn)T為棱。。的中點(diǎn)時(shí)，7(2,0.1),

貝|JPT=(1,-1,O),BQ=(1,O,2),P7.8Q=l+0+0=lw0

不滿足PT_L8Q,所以點(diǎn)T不是棱。。的中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤.

PT=(x-l,3-l,z-l),因?yàn)镻T-LBQ

所以％—l+2(z—l)=0,

31

當(dāng)x=0時(shí)，，z=—,當(dāng)x=2時(shí)，，z=—

22

取E(2,0,；),F(2,2,￡|,G(0,2,|),"(O,。,￡|，

連結(jié)EF,FG,GH,HE,

則E尸=〃G=(O,2,O),E〃=FG=(—2,0,1),EFEH=0,即EVE"

所以四邊形EFGH為矩形，

因?yàn)镋F-8Q=0,EHBQ=0,

所以EFLBQ,EH工BQ,

又E尸和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，

所以BQ,平面EFG/7,

又麗=1詞，用詞，

所以「為EG的中點(diǎn)，則尸e平面EFGH,

為使PT1BQ,必有點(diǎn)7e平面EFGH,

又點(diǎn)T在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)T的軌跡為四邊形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=5

所以EF#E”,則點(diǎn)T的軌跡為矩形EFGH,故③正確

面積為2x6=2遂，即故④正確

2

又因?yàn)?Q=(l,0,2),PT=(x-\,y-\,z-\)tPTVBQ,

則x-l+2(z-l)=0,即x+2z—3=0,

所以x=3-2z,點(diǎn)T在正方體表面運(yùn)動(dòng)，

13

則043—2z42,解得*z4彳，

22

所以|P7|=J(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2=75(z-l)2+(y-l)2，

結(jié)合點(diǎn)7的軌跡為矩形EFGH,

分類討論下列兩種可能取得最小值的情況

當(dāng)z=1,y=o或y=2時(shí),\PT\=1,

當(dāng)y=l,z=:或z=|■時(shí)，|尸刀=@

22112

因?yàn)?〈亞，所以當(dāng)Z=1,y=o或y=2時(shí)，PT取得最小值為1,即故②正確.

22

綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是②③④

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題以正方體為教體，考查空間向量在立體幾何中的綜合運(yùn)用和空間幾何關(guān)系的證明，屬

于難題，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為數(shù)值可簡化運(yùn)算，通過空間向量即可證明和

求解對應(yīng)項(xiàng).

三、雙空題

14.已知等差數(shù)列｛4｝的公差”工0嗎=4,且qg，4成等比數(shù)列，貝;其前〃項(xiàng)和

S”的最大值為.

【答案】5-n10

【分析】由《，％，%成等比數(shù)列列式求出公差，則通項(xiàng)公式可求;寫出等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，由二次函數(shù)

的對稱性求得S,取得最大值.

【詳解】由4，%%成等比數(shù)列，得(q+=q(q+3d)，解得"=7

則4=4+(〃_l)d=4__1)=5_〃；

0〃5-1)..??(/?-l)x(-l)rr9

S?=na.+—----^=477+----——-=----+-n

n12222

對稱軸方程為〃=4.5,

*429

.,/.〃=4或5時(shí)，S“取最大值，最大值為S'=S5=—耳+]*4=1().

故答案為：5-凡10

15.拋物線C：y=V的準(zhǔn)線/的方程為.若點(diǎn)尸是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，/與y軸交于點(diǎn)4

則NO4P(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為.

.依一,.1It

【答案】y=--；—

44

【分析】由定義直接求準(zhǔn)線方程；由導(dǎo)數(shù)法求出拋物線過點(diǎn)A的切線方程，即可求得切線傾斜角,

此時(shí)NQ4尸取最大值.

【詳解】拋物線C：y=X?即C：f=y的準(zhǔn)線/的方程為y=-:：

/與y軸交于點(diǎn)A,則有則當(dāng)AP與拋物線相切時(shí)NOAF最大，

設(shè)切點(diǎn)為(4,/),y=2x,.?.切線方程為y-q2=2a(x-a),切線過點(diǎn)A,貝lj-/=2a(0-4)，

解得a=±g.

37r

???切線斜率為2〃=±1,即傾斜角為gIT或?，故NQ4P的最大值為;IT.

444

1TT

故答案為：y=~~7?T-

44

四、解答題

16.在二ABC中，csinB=A/3Z?COSC.

⑴求/C;

(2)若a+人=6,求。的最小值.

7T

【答案】(1)C=W；

(2)3.

【分析】(1)由正弦定理可得sinCsinB=GsinBcosC,從而得tanC=6，即可得C=];

(2)由余弦定理可得/=36-3,出，再由基本不等式即可求得c的最小值.

【詳解】(1)解：因?yàn)閏sin8=GhcosC,

所以sinCsin8=GsinBcosC，

又因?yàn)閟inBwO,

所以sinC=GcosC,

即有tanC=石，

又因?yàn)镃e(0,7t),

所以C=$jr

7T

（2）解：因?yàn)镃=§,a+b=6,

所以=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-ab=36-3ab>36-3x（^^-）2=9,

2

當(dāng)。=。=3時(shí)，等號(hào)成立，

所以cN3,

故。的最小值為：3.

17.跳長繩是中國歷史悠久的運(yùn)動(dòng)，某中學(xué)高三年級(jí)舉行跳長繩比賽（該校高三年級(jí)共4個(gè)班），規(guī)

定每班22人參加，其中2人搖繩，20人跳繩，在2分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)超過120個(gè)的班級(jí)可獲得優(yōu)勝

獎(jiǎng)，跳繩個(gè)數(shù)最多的班級(jí)將獲得冠軍，為預(yù)測獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)及冠軍得主，收集了高三年級(jí)

各班訓(xùn)練時(shí)在2分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：個(gè)）：

高三（1）班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三（2）班：137,126,116,108；

高三（3）班：163,134,112,103；

高三（4）班：158,132,130,127,110,106.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且高三年級(jí)各班在2分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)相互獨(dú)立.

⑴估計(jì)高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的概率；

（2）用X表示此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；

（3）在此次跳長繩比賽中，哪個(gè)班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

【答案】（嗚

嗯

（3）高三（3）班

【分析】（1）用古典概型概率計(jì)算公式即可求解.

（2）分別記三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)

I112

為事件A、B、C、D,WJP（A）=-P（?）=-,尸（C）=i、P（D）=-,由題意得X的取值為0,1,2,3,4,

分別計(jì)算出對應(yīng)概率即可求解數(shù)學(xué)期望

（3）高三（3）班：163,134,112,103的數(shù)據(jù)中163為最大數(shù)據(jù)且134為較大數(shù)據(jù)即可判斷.

【詳解】（1）記高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)為事件A.

由題知高三（1）班在2分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)超過120個(gè)的有5次，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)高三（1）

班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的概率為P（A）=得=；

（2）分別記高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)為事件8、C、

D,

117

則P（B）=5、P（C）=?、尸①）=§，

由題意得X的取值為0,1,2,3,4

所以P（x=o）=p（碇5）=P（RP⑻尸?P（方）fgxgx；/

p（x=1）=P（ABCb+ABCb+ABCb+ABCD）

=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

11111111111111125

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=——

222322232223222324

p（X=2）=P（ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（ABCb）+P（ABCD）+P（ABCbyP（ABCDyP（ABCD）

111111111112

=—x—X—x___|-----X—X—x___|-----X—X-X—

222322232223

1111111211123

H-----X-X-X------1-----X-X-X------1-----X-X-X-=一

2223222322238

尸（X=3）=P（ABCD+ABCD+ABCD+ABCD]

=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCZ））

11111112111211127

=—x—X—x___I___X—X—x—H___X-X—X—+—X-X-X—=____

222322232223222324

P（X=4）=P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）=ixlxlx1=±

則X的分布列如下表

X01234

15371

P

242482412

1537114

所以￡（X）=0x——+l><—+2x-+3x—+4x—=一

v74224824126

（3）在此次跳長繩比賽中，高三（3）班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A5CQ為正方形，平面皿_L平面A3CZ）,AB=4,尸A=

E,廠分別為BC,PQ的中點(diǎn).

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角尸的余弦值.

條件①：PDVEF-,

2

條件②：PD=-EF.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見解析

Q）晅,詳情見解析

17

【分析】（1）設(shè)處中點(diǎn)為G,連接GEG5,由三角形中位線性質(zhì)可得G尸〃AD,且GF=gAO從而

可得四邊形3EFG為平行四邊形，再由"GB即可證得EFP平面皿；

（2）按照條件①、條件②的不同，分別作出圖形和輔助線，利用已知條件求出PH的長，以及證得PHJ_

平面ABCD,再建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角尸-BE-A的余弦值.

【詳解】（1）如圖（1）,設(shè)P4中點(diǎn)為G,連接GRG8,

底面ABCD為正方形，E,尸分別為的中點(diǎn).

GF//AD,且GF=1A。，而又BE〃A￡）,BE=-AD,

22

???GF〃3E且3E=GF,.,.四邊形BEFG為平行四邊形，

EFGB,又平面PA8,G8u平面PA8,

E/P平面

(1)

（2）選條件①：連結(jié)過p作交于點(diǎn)“，又因?yàn)锳4=P￡>,所以點(diǎn)〃也是45中點(diǎn),

連結(jié)HE,

PDA.EF,F為尸。的中點(diǎn)，則PE=DE,又底面ABC。為正方形，DC=HE=AB=4,EC=2,

PE=DE=y/H+22=2石，

在；PHE中，PH=dPE?-HE2=j20-16=2,

.?平面尸平面A88,A8=4,PA=P￡>,平面%￡>c平面MCD=4）,?.P”，A。,，PH，平

面ABCD,

如圖（2）以，為原點(diǎn)，尸所在直線分別作x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

W（0,0,0）M（2,0,0）,B（2,4,0）,E（0,4,0）,F（-l,0,l）,P（0,0,2）,

FB=(3,4,T),E8=(2,0,0),

QP”J_平面ABC。，.1"P是平面ABCD的一個(gè)法向量，HP=（0,0,2）;

設(shè)平面BE戶的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,則有

nFB=03x+4y-z=0

=2、=0'令k1，則z=4,〃二(0,1,4)；

n-EB=0

|HR〃|0+0+8_4_4后

COS(F-BE-A)=

|研W-2屈一正一]7

故二面角F-BE-A的余弦值為生叵.

選擇條件②：取AQ的中點(diǎn)為"，連結(jié)尸又平面皿>，平面ABC2AB=4,PA=P。，平面

RWc平面ABCD=AD,：.PH1AD,:.PHJ?平面ABCD,

過/作/7.，”。交于點(diǎn)L,連結(jié)LE，又尸是P。中點(diǎn)，所以點(diǎn)L也是〃。中點(diǎn),

包1_平面ABC。，L￡u平面ABC。,，F(xiàn)L_LLE,

設(shè)PH=2h,則包=/z,AD=AB=4,HD=2HL=2,--LE=yj42+]2=V17，

2r

PD=y/（2hy+2^2y/h+i,PD=§EF,；.EF=QPD=3y/h^l,故在Rt.FLE中,

Ff?=FZ?+LE?,即9（力2+i）=廳+]7,解得力=],即p4=2/7=2,

如圖（3）以“為原點(diǎn)，尸所在直線分別作*軸，＞軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

H（0,0,0）,A（2,0,0）,5（2,4,0）,E（0,4,0）,F（T,0,l）,P（0,0,2）,

加(3,4,T),￡8=(2,0,0),

QPHL平面A8CD,..HP是平面A5CO的一個(gè)法向量，HP=（0,0,2）;

設(shè)平面BE戶的一個(gè)法向量為"=（x,y,z）,則有

n-FB=03x+4y-z=0人

n2'=0'令k"則z=*“=(0,1,4)；

n-EB=0

\HP-n0+0+844V17

cos(F-BE-A}=

HP\-\n2后一如一17

故二面角F-BE-A的余弦值為生叵

19.已知橢圓。:提+〉1（。＞6＞0）的右頂點(diǎn)42,0）,P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸不在x軸上,

。是坐標(biāo)原點(diǎn)，一AOP面積的最大值為1.

（1）求橢圓C的方程及離心率；

⑵過點(diǎn)”（-1,0）的直線PH與橢圓C交于另一點(diǎn)Q,直線AP,AQ分別與），軸相交于點(diǎn)E,凡當(dāng)IEF|=2

時(shí)，求直線P”的方程.

【答案】（1）二+丁=1,1

42

（2）y/bx-6y+#=0或ax+6y+#=0

【分析】⑴由橢圓的右頂點(diǎn)42,0）可得。=2,若要一AOP面積最大，則需|尸國最長，此時(shí)點(diǎn)尸在V

軸上，，4。尸面積可得。=1,從而求得橢圓C的方程，再由/=從+°2可求得c,從而可得離心率;

(2)設(shè)直線P”的方程為：y=Z(x+l),(AwO),與橢圓聯(lián)立方程組可解得一元二次方程，從而可得出

韋達(dá)定理的表達(dá)式，再通過直線以，出的方程得出點(diǎn)E,尸坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出IE尸|=2,從而可解

得k,求得直線尸”的方程.

,2

【詳解】(1)橢圓C:，+馬=1(。>10),A(2,0),:.a=2,

P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P作PK_Lx軸，垂足為K,故3Aop

面積為SVAOP=^x\OA\x\PK\=^x2x\PK\,

若要.AOP面積最大，則需|PK|最長，此時(shí)點(diǎn)P在V軸上，即|PK|=|O"時(shí)，使得.AOP面積最大，

22

SvAOP=1X|°A|X|PK|=-X2X|(9P|-1,=1?.匕=i,c=yja—b-J4-1=拒?

???橢圓C的方程為工+_/=1,離心率為e=￡=更.

4a2

(2)尸為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線P〃與橢圓C交于另一點(diǎn)Q,

可記尸(士,)1),Q(x2,y2),

當(dāng)直線P"的斜率不存在時(shí)，即軸時(shí)，|P0<?=2,此時(shí)直線分別與)，軸相交于點(diǎn)

E,F.此時(shí)|E用<|P0<2,不符合題意.

當(dāng)直線P”的斜率存在時(shí)，設(shè)直線P”的方程為：丫=%(8+1),出=0),

.y=A(x+l),

聯(lián)立2_，消去y可得三+%2(X+1『=1,化簡得(1+4公卜2+8々、+必2-4=0,由韋達(dá)定理

—+/=1

X,+x=-

21+4攵

可得

-4

(1+4公『1+4攵

由「(不必)，Q(&，%)，42,0),則直線R4的方程為：y=-^-(x-2),直線Q4的方程為：

再一2

y=34(x-2),因?yàn)橹本€AP,A。分別與y軸相交于點(diǎn)E,F,令x=0分別代入直線如，直線QA可

得：點(diǎn)￡

x%

又P(x>,yl),Q(X2,y2)在直線Pff方程y=k(x+l),(kw0)上，所以有y,=k(x、+1),y2=k(x2+1),

)1_%=3%伍一占)

分別代入但目并化簡可得|EF|=22

玉一2x?—2%%—2(%+%)+4

M3k2+1

3k-

3kyj(xt+x2)'—4xtx21+4〃

=2=2

XjX2-2(x)+々)+436k2

\+4k2

J3%2+1=1,解得《2=J,.%=土遠(yuǎn),

\EF\=2,2=2,則

3k66

簧工+1)或了=一船(x+l),

故直線P”的方程為:y=

即5/6x-6y+V6=0或y[bx+6y+瓜=0.

cix

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)VX-■!■對xw(0,f?)恒成立，求a的取值范圍;

a

⑶若AjlnX]+xjnw=0(工尸電)，證明：x}+x2>2.

【答案】(l)xe(O,e)時(shí)單調(diào)遞增，xe(e,4w)時(shí)，單調(diào)遞減;

(2)a>l；

(3)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；

(2)運(yùn)用參數(shù)分離的方法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)最大值即可；

(3)作圖，根據(jù)函數(shù)圖像確定與電的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.

【詳解】(1)〃力='上詈，顯然有/(e)=0,當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/(x)>0,

單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí),/(x)<0,單調(diào)遞減;

八、1")、x+lnx

(2)由x—得：ax2—x—lnx>0,ci>彳—,

axax"

令g(x)=x：?x,則有g(shù)(x)=7-:nA+],令&(x)=r—21nx+l,

顯然k(x)是減函數(shù)，4)=。，二當(dāng)x?O,l)時(shí)，刈司>0，g(x)單調(diào)遞增，XW(1,E)時(shí),

Mx)<0,g(x)單調(diào)遞減;

g(x)m「g⑴=1，〃的取值范圍是421;

由(1)的結(jié)論作函數(shù)圖像如下:

對于xjnw+x21nxi=0,得一用=電?，不妨設(shè)乙>內(nèi)，則有一/(5)=/(電)，

由圖可知當(dāng)0<〃力<1時(shí)，對應(yīng)的自變量有2個(gè)值x,,X3,其中忍>e,l<X2<e,

e

要證明XI+W>2,只需巧取X2，x,中較小的數(shù)82即可，

0</(x2)<—,—,%]e(0,1),2—x,G(1,2),

要證明司+々>2,只需證明》2>2-占，在xw(O,e)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增,

只需證明“弓)>〃2-w)，/(々)=—/(%)，只需證明—/3)>/(2—大)，

即/a)+/(2—占)<0,構(gòu)造函數(shù)p(x)二生+也(27)叫?0,1)),

x2-x

，/、1—Inx—l+ln(2—x)工2[“2-%)-(2-x)~lnx+4(l—尤)

PW=—+■(2_X)2-=

xe(0,l),.'.2-xe(l,2),x2ln(2-x)>0,-(2-x)2l