高中數(shù)學-數(shù)形結(jié)合思想

難點37數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合.應用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運用這一數(shù)學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征.●難點磁場1.曲線y=1+(–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍.2.設(shè)f(x)=x2–2ax+2,當x∈［–1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍.●案例探究［例1］設(shè)A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求實數(shù)a的取值范圍.命題意圖：本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運算的題目.屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進而將CB用不等式這一數(shù)學語言加以轉(zhuǎn)化.錯解分析：考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯，不能分類而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉a＜–2這一種特殊情形.技巧與方法：解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數(shù)學語言，進而分析條件與結(jié)論特點，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.解：∵y=2x+3在［–2,a］上是增函數(shù)∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：①當–2≤a≤0時，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與–2≤a＜0矛盾.②當0≤a≤2時，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知：必須且只需解得≤a≤2③當a＞2時，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必須且只需解得2＜a≤3④當a＜–2時，A=此時B=C=，則CB成立.綜上所述，a的取值范圍是(–∞,–2)∪［,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ,k∈Z)求證：.命題意圖：本題主要考查數(shù)學代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力.屬★★★★★級題目.知識依托：解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程.進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上.錯解分析：考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一.如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二.技巧與方法：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.證明:在平面直角坐標系中，點A（cosα,sinα）與點B（cosβ,sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.從而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即∴.●錦囊妙計應用數(shù)形結(jié)合的思想，應注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：（1）集合的運算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖象（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合.●殲滅難點訓練一、選擇題1.（★★★★）方程sin(x–)=x的實數(shù)解的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.以上均不對2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為()A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b二、填空題3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t為參數(shù))的最大值是.顯然當半圓O和圓O′外切時，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2當半圓O與圓O′內(nèi)切時，半圓O的半徑最大，即a最大.此時a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2.7.解：由可知a=3,b=,c=2，左焦點F1(–2,0),右焦點F2(2,0).由橢圓定義，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如圖：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤.當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；當P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分別為，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–.8.解：本題