考點(diǎn)14 直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類-原卷版

考點(diǎn)14直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）只有當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線與圓的公共點(diǎn)才稱為切點(diǎn)；(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系，可以通過公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，若不知道公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就需要轉(zhuǎn)化為比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交2切線的判定定理和輔助線的作法圓的切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。作輔助線判定圓的切線的常用方法：①有交點(diǎn)，連半徑，證重直；②無交點(diǎn)，作垂直，證半徑。利用圓的切線的判定定理判定切線時(shí)，把握兩個(gè)要素：一是經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，二是垂直于這條半徑.這兩者缺一不可。3切線的性質(zhì)定理（1）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.（2）切線的主要性質(zhì)：A切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；B圓心到切線的距離等于圓的半徑；C切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；D經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；E經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心切線的性質(zhì)C、D、E可歸納如下：對于如下三個(gè)結(jié)論：①過圓心，②過切點(diǎn)，③垂直于切線，若直線滿足這三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)，便可得到第三個(gè)結(jié)論。注：如果直線上一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，那么這條直線與圓可能相切也可能相交。4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法1.切線長經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。2切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注：(1)圓的切線一般指的是直線，而切線長是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度；切線長定理可以通過判定直角三角形全等的判定定理“HL”進(jìn)行證明。利用切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明：先構(gòu)建切線長定理的基本圖形，再利用切線長相等這一性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，或利用切線長定理中所隱含的等腰三角形、垂直平分線等條件來進(jìn)行計(jì)算或證明.5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系的求法設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,r為其內(nèi)切圓的半徑長，若利用切線長定理推導(dǎo)，則r=(a+b-c)/2;若利用等面積法推導(dǎo)，則r=aba6三角形內(nèi)切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心和外心的區(qū)別：外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點(diǎn)即為外接圓圓心。性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。作法：做三角形三角的角平分線，取交點(diǎn)即為內(nèi)接圓圓心。性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：7圓的綜合問題考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法考點(diǎn)2切線的判定定理和輔助線的作法考點(diǎn)3切線的性質(zhì)定理考點(diǎn)4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法考點(diǎn)5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系考點(diǎn)6三角形內(nèi)切圓考點(diǎn)7圓的綜合問題考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法1．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為是直線上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離分別為，，則直線和的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定2．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，，為上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）中，，，，若以點(diǎn)C為圓心，以r為半徑的圓與所在直線相交，則r可能為（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)⊙O的直徑為m，直線l與⊙O相離，點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d與m的關(guān)系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m5．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為5，直線與有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離可能為（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7考點(diǎn)2切線的判定定理和輔助線的作法6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．(1)的周長為______．(2)請?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在上確定一點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，以為半徑的與相切．（保留作圖痕跡）7．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，連接，作，交的延長線于點(diǎn)．求證：是的切線．

8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，的半徑為3．求證：是的切線．

9．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫，交于點(diǎn)于點(diǎn)．求證：是的切線．

10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的直徑，．(1)求證：是的切線；(2)若，垂足為交于點(diǎn)；求證：是等腰三角形．考點(diǎn)3切線的性質(zhì)定理11．（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)（不與O，A重合），以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓O交線段于點(diǎn)D、，，，連接．

(1)求證：；(2)當(dāng)與圓O相切時(shí)，求的長度．12．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作的切線，連接，過點(diǎn)O作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)到的距離為，，求直徑的長．13．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)．有下列三個(gè)條件：①直線是的切線；②于點(diǎn)；③平分，請?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題，并給出證明．

14．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學(xué)校考期末）如圖，，是的切線，A，B為切點(diǎn)，是⊙O的直徑，，求的度數(shù)．15．（2022秋·廣東廣州·九年級中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)D在上，，連接，延長交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)求證：．考點(diǎn)4切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算或證明的方法16．（2018春·九年級單元測試）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的長．17．（2022秋·重慶長壽·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．（1）求證：BC=CD；

（2）求證：∠ADE=∠ABD；18．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的外一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是的切線，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)若，的半徑為，求的長．19．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：為的直徑，，弦，直線與相交于點(diǎn)C，弦在上運(yùn)動(dòng)且保持長度不變，的切線交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷與是否相等，并說明理由．20．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB是的直徑，過點(diǎn)D作的切線交BC的延長線于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F，且，過點(diǎn)A作的切線交EF于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．考點(diǎn)5直角三角形周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系21．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，⊙是的內(nèi)切圓，半徑為，切點(diǎn)為、、，連接，，．(1)若，，則

；(2)若的周長為，面積為，則，，之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，的長分別為．求的內(nèi)切圓半徑r．23．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知，在以為弦的弓形劣弧上取一點(diǎn)（不包括，兩點(diǎn)），以為圓心作圓和相切，分別過，作的切線，兩條切線相交于點(diǎn)．求證：為定值．24．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長．25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實(shí)踐與操作：請用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計(jì)算：連接并延長，與交于另一點(diǎn)D．若，，求的長．考點(diǎn)6三角形內(nèi)切圓26．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，．

(1)求證：是的切線；(2)求的直徑；(3)當(dāng)點(diǎn)B在下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長是．27．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．28．（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為，腰長為．(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．29．（2022春·四川廣安·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD長．30．（2021·九年級課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的長．考點(diǎn)7圓的綜合問題31．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）已知為的直徑，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)如圖①，若C為的中點(diǎn)，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點(diǎn)D作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)F，求的長．32．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長線上一點(diǎn)，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．33．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，延長EC，A