2024版高考復習A版數(shù)學考點考法講解：直線、平面平行的判定和性質

高考

數(shù)學立體幾何直線、平面平行的判定和性質基礎篇考點一直線與平面平行的判定和性質

判定定理性質定理圖形

條件b?α,a?α,a∥ba∥α,a?β,α∩β=b結論a∥αa∥b考點二平面與平面平行的判定和性質

判定定理性質定理圖形

條件a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b結論α∥βa∥b綜合篇考法一判定或證明直線與平面平行的方法1.利用線面平行的判定定理(a∥b,a?α,b?α?a∥α);2.利用面面平行的性質定理(α∥β,a?α?a∥β);3.利用面面平行的性質(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).例1

(2022山東青島二模,20)如圖,P為圓錐的頂點,O為圓錐底面的圓心,

圓錐的底面直徑AB=4,母線PH=2

,M是PB的中點,四邊形OBCH為正方形.(1)設平面POH∩平面PBC=l,證明:l∥BC;(2)設D為OH的中點,N是線段CD上的一個點,當MN與平面PAB所成角最

大時,求MN的長.解析

(1)證明:∵四邊形OBCH是正方形,∴BC∥OH,∵BC?平面POH,

OH?平面POH,∴BC∥平面POH,∵BC?平面PBC,平面POH∩平面PBC=l,∴l(xiāng)∥BC.(2)∵圓錐的母線長為2

,AB=4,∴OB=2,OP=2.以O為坐標原點,OH所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直

角坐標系,則P(0,0,2),B(0,2,0),D(1,0,0),C(2,2,0),M(0,1,1),設

=λ

=(λ,2λ,0)(0≤λ≤1),

=

+

=(1+λ,2λ,0),

=

-

=(1+λ,2λ-1,-1),易知

=(1,0,0)為平面PAB的一個法向量.設MN與平面PAB所成角為θ,1+λ=t,1≤t≤2,則

=(t,2t-3,-1),sinθ=

=

=

=

,∴當

=

,即λ=

時,sinθ最大,此時θ最大,

=

,∴MN=|

|=

=

.考法二判定或證明平面與平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理(a∥α,b∥α,a∩b=P,a?β,b?β?α∥β);2.利用面面平行的判定定理的推論(a∥c,b∥d,a∩b=A,c∩d=B,a?α,b?α,

c?β,d?β?α∥β);3.利用平面平行的傳遞性(α∥γ,β∥γ?α∥β);4.利用平行與垂直的關系(a⊥α,a⊥β?α∥β).例2

如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,

PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設M,N分別為PD,AD的中點.(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.

解析

(1)證明:∵M,N分別為PD,AD的中點,∴MN∥PA.∵MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∵∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN=N,CN,MN?平面CMN,∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∵CM?平面CMN,∴CM∥平面PAB,∴

點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=

,∴三棱錐P-ABM的體積V=VM-PAB=VC-P