高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義平面向量的運(yùn)算 學(xué)生

課題：平面向量的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一、平面向量的線性運(yùn)算1．向量的加法：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量的加法．（1）向量加法的平行四邊形法則；（2）向量加法的三角形法則：將第二個(gè)向量的始點(diǎn)與第一個(gè)向量的終點(diǎn)相重合，則第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)所組成的向量，即為兩向量的和（3）對(duì)于共線的向量，分別為同向或反向的兩種情況．2．向量加法的性質(zhì)：（1）向量加法的交換律：；（2）向量加法的結(jié)合律：；（3）．向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：；（2）結(jié)合律：減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則3．向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算（用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法）．若則叫做的差，記作．4．求作差向量：已知向量，求作向量．作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量．二、平面向量的數(shù)量積1．兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2．向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3．?dāng)?shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積4．向量的模與平方的關(guān)系：5．乘法公式成立：；6．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：（1）交換律成立：（2）對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：（3）分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7．兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=8．向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9．兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O【注1】1．三點(diǎn)共線的性質(zhì)定理：（1）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))．（2）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1．2．共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：（1）向量共線的充要條件中要注意“≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)．（2）證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．【注2】1．兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．2．零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．．3．幾個(gè)重要結(jié)論（1）向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；（2）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．【注3】1．常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．2．找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．典型例題例1設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于（）例2設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．例3已知為不共線的兩個(gè)單位向量，若與平行，則的值為（

）A． B． C． D．例4已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．例5已知非零向量滿足，則與的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．例6已知平面向量與的夾角等于，如果，那么（）A．B．9C．D．10例7如圖，在△ABC中，是BN的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值是（）A． B．1 C． D．例8如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取點(diǎn)M、N，使，，BN與CM交于點(diǎn)P，若，，則的值為（）A． B． C． D．6例9已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是______．例10已知向量，滿足，，，則_________．例11在中，，若D為BC中點(diǎn)，則為_________．例12已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．例13已知向量與的夾角為，記且，則_____．例14已知向量滿足且，則在方向上的數(shù)量投影為______．例15已知單位向量，滿足，若向量，則＝例16已知向量與的夾角為，且，，設(shè)，，則向量在方向上的投影為___________．例17設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，如果，，．（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定的值，使和共線；（3）若與不共線，試求的取值范圍．舉一反三1．（）A．B．C．D．2．在中，已知是中點(diǎn)，設(shè)，則（）A．B．C．D．3．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．4．在中，為邊上一點(diǎn)，，，則=（）A． B． C． D．5．如圖，正方形中，為的中點(diǎn)，若，則的值為（）A．B．C．D．6．在中，為邊上一點(diǎn)，，，則=（）A． B． C． D．7．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)．若，，則（）A． B．C． D．8．在矩形中，，則向量的長度等于（

）A．4 B． C．3 D．29．，，向量與向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．10．已知向量是與向量方向相同的單位向量，且，若在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．4 D．411．設(shè)向量滿足，，則（）A．1B．2C．3D．512．已知兩向量與滿足，且，則與的夾角為．課后練習(xí)1．在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，,,則（）A．B．C．D．A．B．C．D．23．設(shè)非零向量滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知向量是單位向量，且，則向量與的夾角是（

）A．? B．? C．? D．?5．已知向量是與向量方向相同的單位向量，且，若在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．4 D．46．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．8．已知為正三角形的中心，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．9．如圖，有5個(gè)全等的小正方形，，則的值是__________．10．平行四邊形中，為的中點(diǎn)，若，則__________．11．設(shè)為中邊上的中點(diǎn)，且為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）