銀行還款方式的數(shù)學(xué)模型

銀行還貸方式的數(shù)學(xué)模型摘要當(dāng)今，社會上好多人買房后讓房貸壓得喘不過氣來.想著早上起來就要欠人家銀行100塊，不但降低了物質(zhì)生活的標(biāo)準(zhǔn)，而且精神上也是蒙受著巨大的壓力.但是，銀行還貸方式多種多樣，如何根據(jù)自己的實際情況，選擇合適的貸款還款方式就顯得越來越重要了.本文就“等額本息還款”和“等本不等息還款”兩種經(jīng)典的還款方式，建立數(shù)學(xué)模型進行了分析和比較.在問題1中，我們分別建立了關(guān)于對應(yīng)還款方式的數(shù)學(xué)模型，從模型中我們得出“等額本息還款”方式中，每月需還銀行固定數(shù)額總共需向銀行還款為在圖1中，可以看出為關(guān)于月份的一次遞增函數(shù).另一方面“等本不等息還款”方式，其向銀行還款時逐月遞減的，第個月需向銀行還款：，在圖2中我們可以了解其大體還款趨勢.在圖3中，則把兩種還款方式的逐月累計向銀行還款數(shù)目作了比較，容易看出：“等本不等息還款”還款總數(shù)是要少于“等額本息還款”方式的.在問題2中，我們根據(jù)實際生活中可能出現(xiàn)工作不穩(wěn)定的情況，自行設(shè)計了一種還款方式，引進了“向量因子”，使這種還款方式更具靈活性.關(guān)鍵字：銀行貸款還款方式向量因子利率一、問題重述與分析銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法．有人認(rèn)為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認(rèn)為銀行在隱瞞信息，賺消費者的錢．所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清．問題1：我們對已給的兩種還款方式進行建模分析，從每月還款數(shù)目和逐月累計向銀行還款數(shù)目兩方面進行了求解并進行了比較，最終給出了兩種還款方式的實際向銀行還款數(shù)目.說明這兩種還款方式最終累計還款數(shù)額是存在差異的.問題2：針對房貸還款問題，我們再自行設(shè)計了一種還款方案，并建立模型進行了分析.根據(jù)不同的處境合理選擇不同的還款方式，確實可以帶來不少便利.二、模型假設(shè)2.1假設(shè)在還款期間銀行利率不發(fā)生變化；2.2假設(shè)等額本息還款與等本不等息還款的月利率相同；2.3假設(shè)貸款人在還款期間沒有特大的變故；2.4假設(shè)還款期間不會出現(xiàn)金融危機.三、符號說明：等額本息貸款總額；：等額本息銀行月利率；：等額本息還款期數(shù)；：等額本息月還款額.為方便閱讀，我們將部分符號在第一次出現(xiàn)時進行說明.模型建立與求解4.1問題1等額本息還款法與等本不等息還款法的比較分析4.1.1等額本息還款簡單介紹等額本息還款法，即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清.由于每月的還款額相等，因此，在貸款初期每月的還款中，剔除按月結(jié)清的利息后，所還的貸款本金就較少；而在貸款后期因貸款本金不斷減少、每月的還款額中貸款利息也不斷減少，每月所還的貸款本金就較多.這種還款方式，實際占用銀行貸款的數(shù)量更多、占用的時間更長，同時它還便于借款人合理安排每月的生活和進行理財（如以租養(yǎng)房等），對于精通投資、擅長于“以錢生錢”的人來說，無疑是最好的選擇.4.1.2等額本息還款模型的建立設(shè)貸款總額為，銀行月利率為，總期數(shù)為（個月），月還款額設(shè)為，則各個月所欠銀行貸款為：第一個月：第二個月：第三個月：由此可得第n個月后所欠銀行貸款為：由于還款總期數(shù)為，也即第月剛好還完銀行所有貸款，因此有：由此求得：則個月總共向銀行還款為：圖1等額本息還款4.1.3等本不等息還款法的簡單介紹即借款人每月按相等的金額（貸款金額/貸款月數(shù)）償還貸款本金，每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清，兩者合計即為每月的還款額.這種還款方式相對等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減.等本不等息還款法是一種計算非常簡便，實用性很強的一種還款方式.基本算法原理是在還款期內(nèi)按期等額歸還貸款本金，并同時還清當(dāng)期未歸還的本金所產(chǎn)生的利息.方式可以是按月還款和按季還款.4.1.4等本不等息還款法模型的建立設(shè)貸款總額為，銀行月利率為，總期數(shù)為（個月），個月累計向銀行還款為，則各月需還銀行貸款為：第一個月：第二個月：第三個月：第個月：第個月：則由以上各式求和，可得：圖2等本不等息還款各月份還款數(shù)額4.1.5等額本息還款法與等本不等息還款法的比較分析兩種還款方法都是隨著剩余本金的逐月減少，利息也將逐月遞減，都是按照客戶占用管理中心資金的時間價值來計算的.由于“等額本金還款法”較“等額不等息還款法”而言同期較多地歸還貸款本金，因此以后各期確定貸款利息時作為計算利息的基數(shù)變小，所歸還的總利息相對就少.圖3等額本息還款與等本不等息還款的比較舉例來說，A、B兩人同時申請個人住房公積金貸款10萬元，期限10年，合同生效時間為2005年6月20日.A選擇等額本息還款法，B選擇等本不等息還款法.如不考慮國家在利率方面的調(diào)整因素，A每月的還款額相同，都為1032.05元，期滿后共需償付本息123846元.B第一個月還款額為1200.83元，以后隨著每月貸款期末余額的減少而逐月減少還款額.最后一個月還款額為836.40元，期滿后共需償付本息122233.90元（注：計算B的還款額時，假定每月都為30天，實際還款應(yīng)以每月實際天數(shù)計算）.所以，在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“等本不等息還款法”的利息總額要少于“等額本息還款法”，以貸10萬10年為例，B比A要少支付利息1612.10元.4.2問題2其他房貸還款方式的提出及分析考慮到還款時本金逐漸減少，隨之利息也逐漸減少的特點，我們設(shè)計了一種等差還貸的還款模式，其具體思路如下：仍設(shè)貸款總額為，銀行季率為，總期數(shù)為，還款人每季等額歸還本金數(shù)額為.（=貸款本金÷貸款期季數(shù)），并且將上一季產(chǎn)生的利息還清.第季的本金數(shù)額為：，還款額為：；第季的本金數(shù)額為：，還款額為：；相鄰兩季的差為：.因此還款人將按等差數(shù)列形式還款，等差.該數(shù)列的首項，即第一季還款額為：.故m季還款總額為：針對那些剛剛獲得穩(wěn)定工作的年輕人，根據(jù)他們的收入特點，我們還可以在上述設(shè)計中引入一調(diào)節(jié)向量因子，由于一般剛開始時收入都比較低，所以該調(diào)節(jié)向量中前幾個分量應(yīng)設(shè)置較低，等到他們工作環(huán)境相對寬松時，便相對地提高其歸還本金數(shù)，到還款后期，本金數(shù)額已經(jīng)大大減小，每季產(chǎn)生的利息數(shù)額也相對較少，于是可以適當(dāng)降低還款數(shù)額，據(jù)此我們設(shè)計其向量因子為：其中代表一行n列的行向量<>，將此向量因子引入后，重新計算總還款數(shù)：前季的還款數(shù)額：中間季的還款數(shù)額：后季的還款數(shù)額為：總還款數(shù)額為：五、模型分析的評價對于問題1，我們分別根據(jù)兩種還款的定義，分別建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進行了分析，求得了對應(yīng)月份的還款表達式以及累計還款表達式，并作圖比較，這樣兩種還款模式的區(qū)別就得到了很好的體現(xiàn).問題2，我們根據(jù)現(xiàn)實情況，更進一步的考慮了人們工作的穩(wěn)定性，或剛參加工作到逐步穩(wěn)定的這樣一個過程的條件，設(shè)計了一種較合理的還款方案，并作了分析，這種方案更貼近生活實際，所以有一定的研究價值.模型的不足及改進針對問題1我們考慮的都比較單一，沒能兼顧其他一些因素的分析，例如：是否出現(xiàn)可以提前還款的情況，規(guī)定期間沒能還款等情況.如果能把這些因素加進來并且考慮銀行月利率有小幅度變化的情況下建立數(shù)學(xué)模型進行分析將更好.問題2中，我們只就貸款方出發(fā)分析了還款的便利條件，而沒有主要從銀行的角度提出方案，若能兼顧貸款方和銀行兩方的狀況，那么模型將更好.八、參考文獻[1]戴朝壽、孫世良，數(shù)學(xué)建模簡明教程，北京：高等教育出版社，2007.[2]胡良劍、孫曉君，MATLAB數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，2006.[3]習(xí)在筠、宿潔、劉桂真、馬建華，運籌學(xué)，北京：高等教育出版社，2007.[4]張德豐、MATLAB/Simulink建模與仿真實例精講，北京：機械工業(yè)出版社,2010.1.九、附錄（1）作圖的MATLAB代碼clear;A=200000;b=0.064;m=1:10:240;x=(A*b*(1+b).^m)/((1+b).^m-1);y=m.*x;subplot(1,2,1);plot(m,x,'ro');title('等額本息還款');xlabel('月份');ylabel('月還款數(shù)x=(A*b*(1+b).^m)/((1+b).^m-1)');subplot(1,2,2);plot(m,y,'gp');title('等額本息還款累計數(shù)');xlabel('月份');ylabel('第n個月累計向銀行還款數(shù)y');clear;B=200000;a=0.064;n=240;k=1:10:240;x=B/n+((n-k+1)./n)*B*a;subplot(1,2,1);plot(k,x,'ro');title('等本不等息還款法');xlabel('月份');ylabel('第k個月的還款數(shù)x=B/n+((n-k+1)./n)*B*a');y=k./n+((2*n-k+1).*k.*B.*a)./(2*n);subplot(1,2,2);plot(k,y,'gp');title('等本不等息還款第k個月累計還款數(shù)');xlabel('月份');ylabel('第k個月的累計還款數(shù)');clear;A=200000;b=0.064;m=1:10:240;x=(A*b*(1+b).^m)/((1+b).^m-1);y=m.*x;plot(m,