概率論例題二章

例

某種產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的廢品率為p（0<p<1），對產(chǎn)品逐個檢查，直到檢查出5個不合格品為止，試寫出停止檢查時已檢查的產(chǎn)品個數(shù)X

的分布律。解：進行k次檢查，指定的5次檢查出現(xiàn)不合格品的概率為p5（1–p)k–5。事件{X=k}相當于第k次檢查到的產(chǎn)品必為不合格品，而前k–1次檢查中查出4件不合格品。這種情形共有C

種不同的方式。4k-1故分布律為P{X=k}=C

p5（1–p)k–5，4k-1#其中，k=5,6,…分布律——產(chǎn)品檢驗例

同時拋擲兩顆骰子,觀察它們出現(xiàn)的點數(shù),求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)的概率分布.解:設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)最大點數(shù)為X,則X的可能取值為:1,2,3,4,5,6基本事件總數(shù):36兩顆骰子都出現(xiàn)k點1一顆出現(xiàn)k點,另一顆小于k點X123456p1/361/125/367/361/411/36

分布律——拋骰子例設(shè)有一批同類產(chǎn)品共有N個，其中次品有M個，解：設(shè)想產(chǎn)品是逐件有放回取出，由于各次抽到的次品是相互獨立的，抽n

件產(chǎn)品相當于做n

重貝努里試驗。故X~B(n,)MN所以,X的分布律為P{X=k}=C()k(1-)n–k,其中k=0,1,2,…,n。MNMNkn思考：將抽取方式改為無放回抽取，試寫出X

的分布律。

現(xiàn)從中任取(有放回)n

個，試求取出n

件中所含的次品件數(shù)X的分布律。此時稱X服從超幾何分布.二項分布——產(chǎn)品抽檢試驗例3：強弱兩隊進行乒乓球?qū)官?，得勝人多的一方獲勝，已知強隊每個隊員獲勝的概率為0.6，下面兩個方案中哪一個對弱隊有利？（1）雙方各出3人；（2）雙方各出7人。解：設(shè)A={弱隊獲勝}，弱隊獲勝的人數(shù)為X。雙方逐對較量從而相互獨立，故是獨立重復試驗。（1）當雙方各出3人時,

X~B(3,0.4)。所以P(A)=P{X≥2

}=∑C(0.4)k(0.6)3-k≈0.352k3k=23二項分布——強弱對抗試驗（2）當雙方各出7人時，X~B(7,0.4)。所以P(A)=P{X≥4

}=∑C(0.4)k(0.6)7-k≈0.290k7k=47故我們得到：第一種方案對弱隊更有利一些。

例4：有300臺獨立運轉(zhuǎn)的同類機床，每臺發(fā)生故障的概率都是0.01，若一人排除一臺的故障。問至少需要多少名工人，才能保證不能及時排除故障的概率小于0.01。解：設(shè)X

表示同一時刻發(fā)生故障的機床數(shù),

X~B(300,0.01)。配N

個工人,應使0.01>

P{X>N}=1–P{X≤N}

=1-∑C(0.01)k(1-0.01)300-kk300k=0N即是求上述不等式成立的最小N值。二項分布——設(shè)備排障試驗因為300×0.01=3(此值很小),故可近似認為X服從l為3的泊松分布。即X~P(3)。查P381的附表1可得P{X≥8}=0.011905>0.01P{X≥9}=0.003803<0.01于是0.01>

P{X>N}=∑e-3

k=N+1∞3kk!

思考：至少需要配備修理工人8個還是9個？

至少需要配備8個修理工人結(jié)合X的含義可知，當有8個工人時，出故障的機床無人修理的概率小于0.01已知運載火箭在飛行中,進入它的儀器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布.而進入儀器艙的每個粒子落到儀器的重要部位的概率等于p,試求恰有k個粒子落到儀器重要部位的概率.分析：粒子落到儀器重要部位的試驗是由前后相關(guān)聯(lián)的兩個試驗所組成： 第一個試驗是宇宙粒子進入儀器艙，進入的粒子數(shù)服從泊松分布； 再是進入儀器艙的這些粒子落到儀器艙重要部位，其數(shù)目服從二項分布； 這類問題可用全概率公式求解。泊松分布——宇宙粒子顯然{X=m},(m=0,1,2,..)構(gòu)成樣本空間的一個劃分（回憶：樣本空間的有限劃分如何定義？）設(shè)Y表