3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（5大題型）（原卷版）

拋物線的幾何性質(zhì)一、四種拋物線的幾何性質(zhì)標準方程p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形范圍對稱軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑二、焦半徑公式設(shè)拋物線上一點的坐標為，焦點為.1、拋物線，.2、拋物線，.3、拋物線，.4、拋物線，.【注意】三、直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點.（2）直線的斜率存在設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù).①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點.②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點.四、直線與拋物線相交弦長問題1、一般弦長：設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為.（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）.（2）,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①②，得.故，即.（3）直線的方程為.2、焦點弦長如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設(shè)，，的中點，過點，，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因為是梯形的中位線，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準線相切.（2）(焦點弦長與中點關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即，.（6）為定值.題型一由拋物線方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（2023·陜西漢中·高二漢中中學(xué)校考期中）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（）A．開口向右B．焦點坐標為C．準線為D．對稱軸為x軸【變式11】（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谥校╆P(guān)于方程所表示的曲線，下列說法正確的是（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于軸對稱D．關(guān)于原點中心對稱【變式12】（2023·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（）A．B．C．D．【變式13】（2023上·高二課時練習(xí)）求下列拋物線的頂點坐標?對稱軸?焦點坐標和準線方程.（1）；（2）；（3）；（4）.題型二判斷直線與拋物線的位置關(guān)系【例2】（2023·上海浦東新·高二川沙中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（）A．0條B．1條C．2條D．3條【變式21】（2022·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）過點與拋物線只有一個公共點的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條【變式22】（2023·陜西·高二校聯(lián)考期中）（多選）過點且與拋物線只有一個交點的直線方程可能是（）A．B．C．D．【變式23】（2023上·高二課時練習(xí)）已知直線與拋物線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的值．題型三直線與拋物線相交弦長問題【例3】（2023·北京東城·高二匯文中學(xué)校考期中）直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于不同的兩點、，若，則弦的長是（）A．B．C．D．【變式31】（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）過點作兩條直線與拋物線相切于點A，B，則弦長等于（）A．8B．6C．4D．2【變式32】（2023·河南洛陽·高二洛陽市第一高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)拋物線的準線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于，兩點．設(shè)線段的中點為，過點作軸的平行線交拋物線于點．已知的面積為2，則直線的斜率為（）A．B．C．D．【變式33】（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€與直線相交于A、B兩點，O為坐標原點．（1）求證：；（2）當時，求的值．題型四拋物線的中點弦及點差法【例4】（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線交于A，B兩點，若D為線段AB的中點，O為坐標原點，則直線OD的斜率為（）A．B．C．D．【變式41】（2023·陜西咸陽·高二校考期末）已知拋物線，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（）A．B．C．D．【變式42】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）若拋物線上兩點，關(guān)于直線對稱，且，則中點坐標為（）A．B．C．D．【變式43】（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，線段中點的縱坐標為1，O為坐標原點，則O到直線的距離為（）A．B．C．D．題型五拋物線的綜合問題【例5】（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與相交于兩點，直線交的準線于點.（1）若，求直線的方程；（2）證明：直線平行于軸.【變式51】（2023·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）平面上的動點到定點的距離等于點P到直線的距離，記動點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）直線與曲線C相交于A，B兩點，線段AB的中點為M.是否存在這樣的直線l，使得，若存在，求實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由.【變式52】（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且線段的中點為，該拋物線的焦點到準線的距離不大于3.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點為拋物線上的動點，若，當?shù)闹悬c到拋物線的準線距離最短時，求所在直線方程.【變式53】（2023上·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線，直線交拋物線于兩點，