2023版大一輪數(shù)學(xué)人教A版 第四章§ 4 .8 解三角形及其應(yīng)用舉例

§4.8解三角形及其應(yīng)用舉例

【考試要求】1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的

實際問題2能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.

■落實主干知識

【知識梳理】

測量中的幾個有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

?/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂平面/視線

篦Li國—水平

仰角與俯角內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫羲座角視線

、目標(biāo)

做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方北

135。東

方位角向線之間的夾角叫做方位角.方位角。的范圍

是0°W0<360°

例：⑴北偏東a：

北［

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，

方向角

通常表達(dá)為北（南）偏東（西）a

（2）南偏西a：

北|

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。為坡

角）；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比1=

坡角與坡比1

（坡度），即i=4=tan6

/

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）東南方向與南偏東45。方向相同.（J）

（2）若△A8C為銳角三角形且4=半則角B的取值范圍是（0,句.（X）

（3）從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角為口，則a/的關(guān)系為a+夕=180。.（X）

（4）俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為［0,可7T.（X）

【教材改編題】

1.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A,8（如圖），要測量A,B兩

點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC,測得BC=50m,NABC=105。，NBCA=45。.就可

以計算出A,3兩點的距離為（）

C^--------'B

A.20^2mB.30\/2m

C.40\/2mD.5Mm

答案D

解析由三角形內(nèi)角和定理,

可知ZBAC=\SO°-ZACB-ZABC=3f)0,

t-T--,_i_TBJzw48BC

由正弦定理侍~/人口==~

sinZAC6BsinZBAC

AB50

?—/AB=SQyjTr.

22

2.為測某塔AB的高度,在一幢與塔AB相距30m的樓的樓頂C處測得塔頂A的仰角為30。,

測得塔基B的俯角為45。，則塔A3的高度為m.

答案30+106

解析如圖所示，依題意NACE=30。，

ZECB=45°,￡>8=30,所以CE=30,B￡=30,

AE

由sin30°=sinC6E00'得A"=l(h/r§-，

所以A8=(30+l()V5)m.

3.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是小b,c,已知a=2,A=60。，則△ABC的

面積最大值為.

答案小

解析由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA,

22

：.4=h+c-bc9

22

bc+4=b+c^2bcf

即歷＜4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取

Sz\A8c=]bcsinA-be,

??.△ABC的面積最大值為小.

?探究核心題型

題型一解三角形的應(yīng)用舉例

命題點1距離問題

例1（1）（2022.天津模擬）如圖，從氣球4上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75。,

30。，此時氣球的高度是60m,則河流的寬度8c等于（）

A.240(小一l)mB.180(-72-1)m

C.120(V3-l)mD.30(^2-l)m

答案C

解析從氣球4上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75。，30。，氣球的高度是60m,

所以NABC=105°,/ACB=30°,NCA8=45°,

60

所以AB=

sin75°'

由正弦定理可得瑞=%，

圻門?r_/lBsin450_60X^2

即以幾一sin30°-sin（30°+45°）

=120（73-1）.

（2）（2022?寧德質(zhì)檢）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密

的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑

（即A,B兩點間的距離），現(xiàn)取兩點C,D,測得8=80,/AOB=135。，ZBDC^ZDCA

=15°,N4CB=120。，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為.

答案8ss

解析由已知得，在△AOC中，ZACD=15°,ZADC=150°,所以/D4c=15。,

由正弦定理得

-80sin150°40八,，二

sin15°=-76-^2=40（^+^-

4

在△BCD中，N8OC=15°,NBCD=135°,

所以N￡>8C=30。，

，—…巾CDBC

由正弦定理一:一"二一/Rm，

smNCBDsinZBDC

,口CDsinZBDC80Xsin15°

得BC=./…八=------；----

sinZCBD

2

=160sin15°

=40（76-^2）.

在△ABC中，由余弦定理得AB2=l600X（8+4?。?1600X（8-4?。?2X1600X（764-

也）x（而一6）X；=l600X16+1600X4

=1600X20=32000,

解得AB=8g,

故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80V5.

命題點2高度問題

例2（1）（2022?重慶沙坪壩質(zhì)檢）在東京奧運(yùn)會乒乓球男單頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在

坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第

一排和最后一排的距離為米四米（如圖所示），則旗桿的高度為（）

A.9米B.27米

C.州§米D.”^米

答案B

解析依題意可知ZAEC=45°,

NCAE=180。-60。-15°=105°,

/.ZACE=180。-45。-105°=30°,

AE_______AC

由正弦定理可知

sinZACEsinZAEC）

AF

???AC=—777psinNAEC=185（米）,

sin

在RtAABC中，

BC=ACsinNCAB=18小X乎=27（米）.

（2）（2022.河南豫南九校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物AB的高度，在

此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的C,￡）兩個觀測點，并

在C,D兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45。和60°,且NBOC=60。，則此建筑物的高

度為（）

A.1麗米B.5小米

C.10米D.5米

答案B

解析設(shè)AB—x,則BC—x,BD—^~x,

在△BCD中，由余弦定理可得

BC2=BD2+DC2-2BDDCCOSZBDC,

即》2=++100—2X-^xX10X^,

整理得爐+5小x-150=0,

解得x=53或x=-1即（舍）.

命題點3角度問題

例3（1）（2022?合肥檢測）兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏

東40。，燈塔8在觀察站南偏東60。，則燈塔A在燈塔8的（）

A.北偏東10°B.北偏西10°

C.南偏東10°D.南偏西10°

答案B

解析由題可知NA8C=50。，A,B,C位置如圖，B正確.

（2）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為

15。，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若CC=50m,山坡對

于地平面的坡角為仇則cos。等于（）

B.V6-2

D.^/2—1

答案C

解析由題知，15°,ZCBD=45°,

所以/ACB=30°,ZABC=135°.

AHAr

在△ABC中，由正弦定理得由=而聲，

又AB=I00m,所以4c=100挺m.

在△ADC中，ZADC=9O0+0,CD=50m,

月ACCD

由正弦注理仔sinQ+900)=sin15。'

所以cose=sin(0+9()o)=AC北15

=小-1.

【教師備選】

1.（2022?長沙模擬）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40。的方向直線

航行，30分鐘后到達(dá)8處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。,

在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點間的距離是（）

A.1麗海里B.1即海里

C.2M海里D.28「海里

答案A

解析如圖所示，在AABC中，48=20,ZCAB=30°,/ACB=45。，

根據(jù)正弦定理得賴=焉，

解得BC=10吸（海里）.

2.圣?索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于

1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年

經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打

卡的必到景點，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任

何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找

到一座建筑物AB,高為（15小-15）m,在它們之間的地面上的點M（B,M,。三點共線）處測

得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15。和60°,在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30。，則小

明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30m

C.2(h/3mD.3073m

答案D

解析由題意知NC4M=45。，ZAMC=105°,

所以NACM=30。，

________1_…ABAB

在中，AM=~./.Ajfr?=~ico?

smZAMBsin150'

AMCM

在△ACM中，由正弦定理得:

sin30o-sin45°,

在z八,AMsin45。ABsin45。

所以CM=sin3Qo=sin15o.sin30o,

在RtADCM中,

ABsin450?sin60。

CD=CMsin60°=

sin15°-sin30°

(15小一15)又坐乂坐

=一季-小~1一=30V§(m).

4X2

思維升華解三角形的應(yīng)用問題的要點

(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；

(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，為了測量A,3兩島嶼的距離，小明在。處觀測到A,8分別在。

處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測8在C處的正北

方向，A在C處的北偏西60。方向，則A,B兩島嶼的距離為海里.

答案5乖

解析由題意知NAQB=60。，ZACB=60°,

ZADC=105°,NAC￡>=30°,CD=10,

在"8中，由正弦定理得尚=卷，

IQsin30°

所以sin45°=5啦'

AO=sin45°

在RtABCD中，ZBDC=45°,

所以△BCD為等腰直角三角形,

則啦8=1即，在△A3。中，由余弦定理可得40=#一在2+8。2-2-。.8￡>8$60。

=5#(海里).

(2)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到4處時測得公路北側(cè)一山頂。在西偏

北30。的方向上，行駛600in后到達(dá)8處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為30。，

則此山的高度CD=m.

答案100V6

解析由題意，在△4BC中，NBAC=30。，NABC=180。-75。=105。,

故/ACB=45。.

又A8=600m,

故由正弦走理付sin450=sin30°'

解得BC=30Mm.

在RtABCD中，

CD=BCtan30。=30Mx亭=10(h/6(m).

題型二解三角形中的最值和范圍問題

例4(2022?遼寧實驗中學(xué)模擬)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c

已知號'bsinC+ccosB=a.

(1)若a=2,b=小,求△ABC的面積；

(2)若c=2,求△ABC周長的取值范圍.

解⑴；

當(dāng)sinBsinC+sinCeos8=sinA,

sinBsinC+sinCeos3=sin(B+C),

BsinC+sinCeosB

=sin8cosC+cosBsinC,

坐sinBsinC=sinBcosC,

VsinB^O,JC~~cosC,

又易知cosC#0,

tanC=小,

V0<C<n,

=

?二。=2,Z?*^3fC=不

**?S^ABC=^cibs\nC=；X2X小Xsin

X2X/義坐=|.

（2）在△ABC中，c=2,C帶

由余弦定理得4=屋+/一出?，

?二（〃+人）2—4=3R?W3?（"”>，

即（〃+人）2—4W永a+Z?）2,

即（a+b）2W16,

???0<〃+6W4,當(dāng)且僅當(dāng)o=b時等號成立，

又a+b>c=2,

.??2<〃+”<4,.,.4<Q+/?+CW6,

故XNBC周長的取值范圍是（4,6].

延伸探究把本例（2）改為△ABC為銳角三角形，若c=2,求△ABC周長的取值范圍.

解（1）同例題.

（2）；q=-^=」=工

sinAsin5sinC.兀'

sm3

4?。?.一近八?~

=+2cos少+2

=4sin（A+襲）+2,

:△ABC為銳角三角形，

Jo<A與

[o居—A與

解得*.彳<4+言

二坐<sin(A+意W],

；.2小+2<4sin(A+§+2W6,

/.△ABC周長的取值范圍為(2小+2,6].

【教師備選】

在△A3C中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,滿足cosC+cosAcos3=2SsinAcos5.

(1)求cosB的值；

(2)若〃+c=2,求。的取值范圍.

解(1)因為cosC+cosAcosB=2yf2sinAcosB,

所以一cos(A+B)+cosAcosB=2巾sinAcosB,

即sinAsinB=2y[2s\nAcosB,

因為sinAHO,

所以sinB=26cosB>0,

又因為sin2B+cos2B=l,解得cos8=g.

(2)由a+c=2,可得c=2—〃，

由余弦定理，得

2

b2=do1+c1-2accosB=a1+c1-^ac

2

=+Q—a)2—刊2—a)

=|(?-1)2+1-

4

因為0<a<2,所以QW/V4,

2\/3

所以￥<“2,

所以匕的取值范圍為[平，2)

思維升華解三南形中最值（范圍）問題的解題策略

利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于某一個角或某一邊的函數(shù)或不等式，

利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值（范圍）.

跟蹤訓(xùn)練2（2022?大連模擬）在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若〃+/

-a1=bc.

（1）求角A的大??；

（2）若.=小，求BC邊上的中線AM的最大值.

解（1）..62+/—q2=bc,

按+/一區(qū)1

；.cosA=—而—=2-

7T

又A￡（0,兀），???A=1

（2）在△ABC中，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—bc=3,

?,."+（?2=兒+322"（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），

:?bc&3.

c^+c^—b2

又cosB=2ac,

在△ABC中，'：AM=^Ali+AC）,

—?I—?—?—?—?

???AM2=］（A82+2ABAC+AC2）

=；（〃+c2+bc）=；（2bc+3）

19

<W（2X3+3）=不

即中線AM的最大值為|.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2022?濟(jì)南模擬）如圖，一架飛機(jī)從A地飛往8地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一

區(qū)域的雷雨云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12。角的方向飛行，飛行到

中途C點，再沿與原來的飛行方向AB成18。角的方向繼續(xù)飛行到終點B點.這樣飛機(jī)的飛

行路程比原來的路程500km大約多飛了（sin12。心0.21,sin18。比0.31）（）

c

______18^?^?

A

12°500km

A.10kmB.20km

C.30kmD.40km

答案B

解析在△ABC中,由A=12°,8=18°,

得C=150°,

500BCAC

由正弦定理得

sin150。-sin12o-sin18。'

^,500BCAC

所n以丁仁百仁市？

2

所以AC=310km,BC=2IOkm,

所以AC+BC~AB=20km.

2.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史

文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下

瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六

年（1880年）重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》

使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù).小李為測量岳陽樓的高

度選取了與底部水平的直線4C,如圖，測得ND4C=30。，NDBC=45°,AB=14米，則岳

陽樓的高度8約為（也F.414,小心1732）（

4kA*?-?

A.A米B.19米

C.20米D.21米

答案B

解析在RtZVlOC中，ZDAC=30°,

則AC=y13CD,

在Rt/SBOC中，ZDBC=45°,則8C=C￡>,

由AC~BC=AB得

yj3CD-CD=

=7（小+1）*19.124,C。約為19米.

3.第6號臺風(fēng)“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖，A點，

正北方向的C市受到臺風(fēng)侵襲，一艘船從4點出發(fā)前去實施救援，以24nmile/h的速度向正

3

北航行，在A處看到S島在船的北偏東15。方向，船航行;h后到達(dá)B處，在3處看到S島

在船的北偏東45。方向.此船從A點到C市航行過程中距離S島的最近距離為（）

北

一

東

|

c

z

南

A.9^/2nmileB.9(正一l)nmile

C.9(73-l)nmileD.9(小一也)nmile

答案C

解析如圖，SE±AB9

C

在△ASB中，N4BS=135。，

A3=24X(=18,ZBAS=150,

ZASB=180°-ZABS-ZSAB=30°,

由正弦定理得

AS_AB

sin/A8S=sinNAS￡T

所以=18g(nmile),

所以船與S島的最近距離

SE=S4sinNSA8=18啦sin15°

=18啦義也］虎=9(巾-l)(nmile).

4.ZVIBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a",c,若a=2,B=2A,則6的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（2,2^3）

C.（2,4）D.（2y[2,4）

答案C

解析因為a=2,B=2A,

所以由正弦定理得

a_____h________b

sinAsinB2sinAcosA'

0<4V兀，

得Z?=4cosA,由<0<2A<n,

,0<7T—3A<K,

解得0<A<1,

所以;<cosA<1,

所以2<4cosA<4,所以2</><4.

5.（多選）某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150。，然后沿新方向走了3km,結(jié)果離出發(fā)點恰

好小km,那么x的值是（）

A邛B.2小

C.3D.6

答案AB

解析如圖，AB=x,BC=3,AC=y/i,/A8C=30。.

XX、

C

由余弦定理得3=X2+9-2X3XXXCOS30°.

解得x=2小或尸小.

6.（多選）在銳角△ABC中，邊長a=l,b=2,則邊長c可能的取值是（）

A.^2B.2

C.2吸D.平

答案BD

解析若c邊為最大邊，則cosC0,

屋+%2一/

-2ab->0,

；?c〈書,

若人邊為最大邊，則cosao,

層+/一加

>0,AC>73

lac

???小<c(鄧,

邊長c可能的取值是2,卑.

7.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南

行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出

發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向

北偏東某方向走了一段后與乙相遇，則甲、乙共走了步.

答案35

解析由題意，得到示意圖如圖所示，甲、乙從A點出發(fā)，甲走到3處后，又斜向北偏東某

方向走了一段后與乙相遇，即在C點相遇，假設(shè)甲、乙相遇時經(jīng)過時間為f秒，每步走。米,

則AC=3fa,AB=iOa,BC=(lt~10)a,

北

4C

西B東

南

在RCABC中，AC^+AB^BC2,

即(3s)2+(10a)2=[(710)“]2,

解得t=E

故甲走了7f=y-24.5步，

21

乙走了3f=g=10.5步.

故共走了24.5+10.5=35步.

蘇+爐

8.△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c.若sinAsin8cosC=2sin2C,則一,

sinC的最大值為.

3

答案5

解析VsinAsinBcosC=2sin2C,

利用正弦定理可得abcos。=2/，

.a2+Z?2—c2

又.COSC=-^-7-,

〃2+匕2-/

2__=2/,

序+按

整理可得區(qū)聲-=5.

_a2+b2

層+加

cr+b2-^一5

2ab2ab

=-2-(-。--2--+--從---)-、---2-?-2--而--=-4

5ah5ah5'

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

________3

sin。的最大值為二cos^=§,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立.

9.已知函數(shù)於)=2小sinxcosx—2cos2%+加，且函數(shù)?x)的最大值為3.

⑴求m的值；

(2)己知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別是a,b,c,若#8)=0,b=2,求△ABC面積的

最大值.

解(1)因為/U)=2{§sinxcosx—2cos2工+機(jī)

I-1+cos2x,

=yj3s\n2x-2X-----------+m

=，5sin2x-cos2x+m-1

=2sin(2x一目+加一1,

所以7(%)max="?+1=3,解得ZW=2.

⑵因為|B)=2sin(28一加=0,

可得sin(2B-()=-/

因為0<B<7U,

Ml兀nUTT

則一薩FT，

所以2B—

oo

可得5=專，

4

22211

由余弦定理可得4=b=a+c-2accosB=d+c+ac^2ac+ac=3ac9即

當(dāng)且僅當(dāng)。=。=￥時，等號成立，

因此%A5c=]〃csin＜亍X§=T，

即△ABC面積的最大值為坐.

10.(2022.江蘇前黃高級中學(xué)質(zhì)檢)記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,6,c.請在下列

三個條件中任選一個作為已知條件，解答問題.

①(a-c)sinA+csin(A+B)=6sinB；②25=5初(其中S為AABC的面積)；@y[3a~csinB

=y[3bcosC.

(1)若6=4,ac=3,求a+c的值；

⑵若△ABC為銳角三角形，且c=2,求。的取值范圍.

解選擇①(a—c)sinA+csin(4+8)=bsinB,

由正弦定理得(〃一(?)〃+?=抉，

層+”一人2|

所以cos3=----荻---=y8￡(0,7C),

則8=?

選擇②2S=小贏

則acsin8=小cocosB,

所以tanB=，§,又BG(0,兀)，

則8=會

選擇③csinB=y/3bcosC,

由正弦定理得

"7§sinA—sinCsinB="7§sinBcosC,

又因為sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

所以小cosBsinC—sinCsin8=0,

則tanB=，§,又Bd(0,it),則B=],

故選擇①②③均得到8=?

(1)若6=4,ac=3f

由余弦定理得b2=a1+c1-2accosB,

JI

222

即16=a+c-2accosj=(a+c)—3ac9

所以a+c=5.

⑵由"BC為銳角三角形及B=1,

得4=:一Ce（o,勻且Ce(0,

所以c需，(J,

由正弦定理得癮=去，

?p.2sinA2sin(c+1)

所以“=而｝=sinC

sinC+小cosC

sinC

=1+冉.

tanC

因為Ce

所以tanCe+°0,

所以康e（0,?。?，

所以1+嘉6（1,4）,即所求a的取值范圍是（1,4）.

idnc

過技能提升練

11.（2022.大慶模擬）小李在某大學(xué)測繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來到村頭的一個池塘（如圖陰影部

分），為了測量該池塘兩側(cè)C,。兩點間的距離，除了觀測點C,。外，他又選了兩個觀測點

Pi,Pi,且P\Pi=a,已經(jīng)測得兩個角NPiP2￡>=a,ZP2PtD=/3,由于條件不足，需要再觀

測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C,。間距

離的是（）

PiP,

①/OP1C和/OCP|；②/P|P2c和NP1CP2;③/PQC和/。CP|.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.①和②和③

答案D

解析根據(jù)題意，△尸產(chǎn)2。的三個角和三個邊，由正弦定理均可以求出,

CDDPi

①中，

sinZDPtC~sinZDC

,,DPisinZDPjC

故CD=sin/b.,

故①可以求出CD;③與①條件等價.

②中，在△PP2c中,

PRP\C

sin/PiCP2-sin/PiP2C'

asinNPiPzC

故PiC=

sinjCB

在△2《￡）中，利用余弦定理求解CD即可.

12.要測量電視塔AB的高度，在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘?5。，在D點測得塔頂?shù)难鼋鞘?0。,

并測得水平面上的/BCO=120。，8=40m,則電視塔的高度是（）

A.30mB.4072m

C.4MmD.40m

答案D

解析由題意，設(shè)A8=x,

由于4B_L平面BCD,BC,BDU平面8c。，

：.AB±BC,ABLBD,

由題意可得/ACB=45。，ZADB=30°,

在RtAuABC中，tanZACB=-^.,

?-BC—(7^-450=x,同理可得BD=yj'ix,

在△BC￡>中，NBCD=120。,C￡>=40,

根據(jù)余弦定理

得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZDCB,

即（小X）2=402+/—2X40XCOS120°,

整理得/-201—800=0,

解得x=40或x=-20（舍），

即所求電視塔的高度為40m.

13.（2022?長春模擬）在氣象臺正西方向300km處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動

速度的大小為40km/h,距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移

動趨勢不變，大約小時后氣象臺所在地開始受到影響(參考數(shù)據(jù)：814幣

?=2.6).

答案2

解析設(shè)氣象臺所在地為。，臺風(fēng)中心為A,約f小時后氣象臺所在地將受到影響，f