等差數(shù)列專題

等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥1.等差數(shù)列得定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它得前一項(xiàng)得差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列得公差,公差通常用字母d表示.2.等差數(shù)列得通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}得首項(xiàng)就是a1,公差就是d,則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p、3.等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列,那么A叫做x與y得等差中項(xiàng),如果A就是x與y得等差中項(xiàng),則A＝eq\f(x＋y,2)、4.等差數(shù)列得常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式得推廣:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}就是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)就是公差為md(4)數(shù)列Sm,S2m－Sm,S3m－S(5)S2n－1＝(2n－1)an、(6)若n為偶數(shù),則S偶－S奇＝eq\f(nd,2);若n為奇數(shù),則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng)).5.等差數(shù)列得前n項(xiàng)與公式若已知首項(xiàng)a1與末項(xiàng)an,則Sn＝eq\f(na1＋an,2),或等差數(shù)列{an}得首項(xiàng)就是a1,公差就是d,則其前n項(xiàng)與公式為Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d、6.等差數(shù)列得前n項(xiàng)與公式與函數(shù)得關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n,數(shù)列{an}就是等差數(shù)列得充要條件就是Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù)).7.最值問題在等差數(shù)列{an}中,a1＞0,d＜0,則Sn存在最大值,若a1＜0,d＞0,則Sn存在最小值.一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列得前n項(xiàng)與公式:Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,①Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②①＋②得:Sn＝eq\f(na1＋an,2)、兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列得一類問題,要善于設(shè)元.(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且與為定值時(shí),可設(shè)為…,a－2d,a－d,a,a＋d,a＋2d,…、(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且與為定值時(shí),可設(shè)為…,a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,…,其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列得定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.四種方法等差數(shù)列得判斷方法(1)定義法:對(duì)于n≥2得任意自然數(shù),驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù);(2)等差中項(xiàng)法:驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通項(xiàng)公式法:驗(yàn)證an＝pn＋q;(4)前n項(xiàng)與公式法:驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn、注:后兩種方法只能用來判斷就是否為等差數(shù)列,而不能用來證明等差數(shù)列.回顧:1.已知等差數(shù)列{an}中,a3=9,a9=3,則公差d得值為()A.B.1C.D.﹣12.已知數(shù)列{an}得通項(xiàng)公式就是an=2n+5,則此數(shù)列就是()A.以7為首項(xiàng),公差為2得等差數(shù)列B.以7為首項(xiàng),公差為5得等差數(shù)列C.以5為首項(xiàng),公差為2得等差數(shù)列D.不就是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,則n等于()A.23B.24C.25D.264.兩個(gè)數(shù)1與5得等差中項(xiàng)就是()A.1B.3C.2D.5.(2005?黑龍江)如果數(shù)列{an}就是等差數(shù)列,則()A.a1+a8＞a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8＜a4+a5D.a1a8=a4a5考點(diǎn)1:等差數(shù)列得通項(xiàng)與前n項(xiàng)與題型1:已知等差數(shù)列得某些項(xiàng),求某項(xiàng)【解題思路】給項(xiàng)求項(xiàng)問題,先考慮利用等差數(shù)列得性質(zhì),再考慮基本量法【例1】已知為等差數(shù)列,,則解:方法1:方法2:,方法3:令,則方法4:為等差數(shù)列,也成等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則為首項(xiàng),為第4項(xiàng)、方法5:為等差數(shù)列,三點(diǎn)共線對(duì)應(yīng)練習(xí):1、已知為等差數(shù)列,(互不相等),求、2、已知個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們得與為,平方與為,求這個(gè)數(shù)、題型2:已知前項(xiàng)與及其某項(xiàng),求項(xiàng)數(shù)、【解題思路】⑴利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式求出及,代入可求項(xiàng)數(shù);⑵利用等差數(shù)列得前4項(xiàng)與及后4項(xiàng)與求出,代入可求項(xiàng)數(shù)、【例2】已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,,求解:設(shè)等差數(shù)列得首項(xiàng)為,公差為,則對(duì)應(yīng)練習(xí):3、若一個(gè)等差數(shù)列得前4項(xiàng)與為36,后4項(xiàng)與為124,且所有項(xiàng)得與為780,求這個(gè)數(shù)列得項(xiàng)數(shù)、4、已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,,則、題型3:求等差數(shù)列得前n項(xiàng)與【解題思路】(1)利用求出,把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列得求與問題、(2)含絕對(duì)值符號(hào)得數(shù)列求與問題,要注意分類討論、【例3】已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,、(1);⑵求;⑶求、解:,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,、由,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),、(1);⑵;(3)時(shí),,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)練習(xí):5、已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,,求、考點(diǎn)2:證明數(shù)列就是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列就是等差數(shù)列得方法有:1、定義法:(,就是常數(shù))就是等差數(shù)列;2、中項(xiàng)法:()就是等差數(shù)列;3、通項(xiàng)公式法:(就是常數(shù))就是等差數(shù)列;4、項(xiàng)與公式法:(就是常數(shù),)就是等差數(shù)列、【例4】已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,、求證:數(shù)列就是等差數(shù)列、解:方法1:設(shè)等差數(shù)列得公差為,,(常數(shù))數(shù)列就是等差數(shù)列、方法2:,,,數(shù)列就是等差數(shù)列、對(duì)應(yīng)練習(xí):6、設(shè)為數(shù)列得前項(xiàng)與,,(1)常數(shù)得值;(2)證:數(shù)列就是等差數(shù)列、考點(diǎn)3:等差數(shù)列得性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列得有關(guān)性質(zhì)求解、【例5】1、已知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,,則;2、知為等差數(shù)列得前項(xiàng)與,,則、解:1、;2、方法1:令,則、,,;方法2:不妨設(shè)、,;方法3:就是等差數(shù)列,為等差數(shù)列三點(diǎn)共線、、對(duì)應(yīng)練習(xí):7、含個(gè)項(xiàng)得等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)得與與偶數(shù)項(xiàng)得與之比為()8、設(shè)、分別就是等差數(shù)列、得前項(xiàng)與,,則、考點(diǎn)4:等差數(shù)列與其它知識(shí)得綜合【解題思路】1、利用與得關(guān)系式及等差數(shù)列得通項(xiàng)公式可求;2、求出后,判斷得單調(diào)性、【例6】已知為數(shù)列得前項(xiàng)與,;數(shù)列滿足:,,其前項(xiàng)與為數(shù)列、得通項(xiàng)公式;⑵設(shè)為數(shù)列得前項(xiàng)與,,求使不等式對(duì)都成立得最大正整數(shù)得值、解:⑴,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,;,就是等差數(shù)列,設(shè)其公差為、則,、,就是單調(diào)遞增數(shù)列、當(dāng)時(shí),對(duì)都成立所求最大正整數(shù)得值為、對(duì)應(yīng)練習(xí):9、已知為數(shù)列得前項(xiàng)與,,、數(shù)列得通項(xiàng)公式;⑵數(shù)列中就是否存在正整數(shù),使得不等式對(duì)任意不小于得正整數(shù)都成立？若存在,求最小得正整數(shù),若不存在,說明理由、課后練習(xí):1、(2010廣雅中學(xué))設(shè)數(shù)列就是等差數(shù)列,且,,就是數(shù)列得前項(xiàng)與,則A. B. C. D.2、在等差數(shù)列中,,則、3、數(shù)列中,,當(dāng)數(shù)列得前項(xiàng)與取得最小值時(shí),、4、已知等差數(shù)列共有項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之與為,偶數(shù)項(xiàng)之與為,則其公差就是、5、設(shè)數(shù)列中,,則通項(xiàng)、6、從正整數(shù)數(shù)列中刪去所有得平方數(shù),得到一個(gè)新數(shù)列,則這個(gè)新數(shù)列得第項(xiàng)就是、答案與解析:對(duì)應(yīng)練習(xí):1、【解析】2、【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)分別為則解得當(dāng)時(shí),這個(gè)數(shù)分別為:;當(dāng)時(shí),這個(gè)數(shù)分別為:3、【解析】4、【解析】設(shè)等差數(shù)列得公差為,則、5、【解析】方法1:設(shè)等差數(shù)列得公差為,則;方法2:6、【解析】⑴,,⑵由⑴知:,當(dāng)時(shí),,,數(shù)列就是等差數(shù)列、7、【解析】(本兩小題有多種解法),、選B、8、【解析】填、9、【解析】⑴當(dāng)時(shí),,且,就是以為公差得等差數(shù)列