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文檔簡介
沈陽市第一三四中學(xué)2024屆高三“綿陽三診”熱身考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點(diǎn)在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.2.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.3.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.44.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時,則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.6.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種7.已知三棱柱的所有棱長均相等,側(cè)棱平面,過作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線為,記直線與直線所成銳角分別為,則這三個角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.210.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn),線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若,則的最小值為()A. B. C. D.12.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長線交BC邊于點(diǎn)F,若,則____.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點(diǎn),P(異于原點(diǎn)O)為y軸上的一個定點(diǎn).若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_____.15.已知集合,,則_____________.16.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)橢圓:()的離心率為,它的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,求證:直線恒過一個定點(diǎn).18.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.19.(12分)設(shè)函數(shù),(1)當(dāng),,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.20.(12分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點(diǎn)Q,使得對任意的實數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.21.(12分)某工廠,兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品,以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【題目詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.2、B【解題分析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【題目詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應(yīng)圖形如下:可知點(diǎn),,在處有最小值,最小值為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【題目詳解】因為,且在點(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題4、D【解題分析】試題分析:由題,,,選D考點(diǎn):集合的運(yùn)算5、B【解題分析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.6、C【解題分析】
根據(jù)題意,分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理問題,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
利用圖形作出空間中兩直線所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【題目詳解】如圖,,設(shè)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),由圖可知過且與平行的平面為平面,所以直線即為直線,由題易知,的補(bǔ)角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算,考查了學(xué)生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).8、B【解題分析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【題目詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9、C【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】,,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.10、B【解題分析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【題目詳解】由題意得,因為,,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】
由題意得,再利用基本不等式即可求解.【題目詳解】將平方得,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),,的最小值為,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.12、C【解題分析】
由題意,模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時,不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【題目詳解】解:初始值,,程序運(yùn)行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
過點(diǎn)做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【題目詳解】解:如圖,過點(diǎn)做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長.詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案為點(diǎn)睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.15、【解題分析】
由集合和集合求出交集即可.【題目詳解】解:集合,,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、y=2x【解題分析】試題分析:當(dāng)x>0時,-x<0,則f(-x)=ex-1+x.又因為f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時,函數(shù)y=f(x),則當(dāng)x<0時,求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論:若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x<0時,函數(shù)的解析式為y=-f(x);若f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)的解析式為y=-f(-x).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解題分析】
(1)根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組,即可得出橢圓方程;(2)設(shè)點(diǎn),,,由,,結(jié)合斜率公式化簡得出,,即,滿足,由的任意性,得出直線恒過一個定點(diǎn).【題目詳解】(1)依題意得,解得即橢圓:;(2)設(shè)點(diǎn),,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,滿足由的任意性知,,,即直線恒過一個定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求橢圓的方程,直線過定點(diǎn)問題,屬于中檔題.18、(1)見證明;(2)【解題分析】
(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【題目詳解】(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計算.19、(1)或;(2)證明見解析【解題分析】
(1)將化簡,分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【題目詳解】(1)當(dāng)時,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據(jù),當(dāng)且僅當(dāng)時,等式成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題,考查學(xué)生基本的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.20、(1);(2)存在,Q為線段中點(diǎn)【解題分析】
解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大?。唬?)證明平面,故而可得當(dāng)Q為線段的中點(diǎn)時.解法二,以為原點(diǎn),以為建立空間直角坐標(biāo)系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【題目詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點(diǎn)為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點(diǎn),,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時,對于任意的實數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當(dāng)時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,,依題意,對于任意的實數(shù)要使,等價于,即,解得,即當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時,對于任意的實數(shù),都有.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解題分析】
(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍
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