初中數(shù)學(xué)邏輯推理強(qiáng)化練習(xí)2

初中數(shù)學(xué)邏輯推理強(qiáng)化練習(xí)2

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.甲、乙、丙、丁的襯衫上各印有一個(gè)號(hào)碼，甲說''我是2號(hào)，乙是3號(hào)”；乙說“我

是2號(hào)，丙是4號(hào)”；丙說“我是3號(hào)，丁是2號(hào)”丁說“我是1號(hào)，乙是3號(hào)”；他們四

人都只說對(duì)一半，則甲是（）

A.4號(hào)B.3號(hào)C.2號(hào)D.1號(hào)

2.用紅、黃、藍(lán)三種顏色染3x3表格的每一方格，使?jié)M足：口每行3色都有；口每列

3色都有；口鄰格（有公共邊的兩個(gè)方格）不同色，則不同的染色方法有（）種.

A.12B.18C.24D.27

3.張、王、李、趙四位同學(xué)有一人在校外做好事受到表揚(yáng)，經(jīng)詢問，張說：“是李做

的”，王說：“是張做的”，李說：“王說的不對(duì)”，趙說：“不是我做的經(jīng)調(diào)查，其中

只有一個(gè)人說的話正確，那么受表揚(yáng)的同學(xué)是（）

A.張B.王C.李D.趙

4.A,B,C,D,￡五人參加“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽得分都超過91分，其中E排第

三，得96分.又已知4B,C平均95分，B,C,。平均94分，若力排第一，則。

得（）分.

A.98B.97C.93D.92

5.下表是某電臺(tái)本星期流行歌曲排行榜，其中歌曲■/是新上榜的歌曲，箭頭“廣或“廣

分別表示該歌曲對(duì)于上星期名次變化的情況，“廣表示上升，‘丁'表示下降，不標(biāo)注則

表示名次沒有變化.已知每首歌曲的名次變化都不超過兩位，則上星期有可能排在

1,5,7名的歌曲是（）.

名次12345678910

歌曲ABCDEFGHIJ

變化情況T1t1tt新

A.D,E,HB.C,F,1C.C,E,ID.C,F,H

6.如圖，連接邊長(zhǎng)為1的正方形各邊的中點(diǎn)，連接正方形的對(duì)角線，則圖中共有等腰

三角形（）個(gè).

A.16B.32C.22D.44

7.甲、乙、丙3個(gè)學(xué)生分別在/、B、C三所大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理，化學(xué)中的一個(gè)專

業(yè)，且滿足：〕甲不在/校學(xué)習(xí)；口乙不在8校學(xué)習(xí)；口在8校學(xué)習(xí)的學(xué)數(shù)學(xué)；□在Z

校學(xué)習(xí)的不學(xué)化學(xué)；口乙不學(xué)物理.則（）

A.甲在C校學(xué)習(xí)，丙在8校學(xué)習(xí)B.甲在3校學(xué)習(xí)，丙在C校學(xué)習(xí)

C.甲在8校學(xué)習(xí)，丙在Z校學(xué)習(xí)D.甲在C校學(xué)習(xí)，丙在4校學(xué)習(xí)

8.10個(gè)孩子分進(jìn)4個(gè)班，則至少有一個(gè)班分到的學(xué)生人數(shù)不少于（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

9.擲〃次普通骰子得到點(diǎn)數(shù)和為1994的概率大于0,且與得到點(diǎn)數(shù)和為S的概率相

等，則S的最小值是（）

A.333B.334C.337D.339

10.已知〃為正整數(shù)，記Ix2x3x…x〃=”!（例如I!=l,4!=lx2x3x4=24等）.若

M=l!x2!x3!x…x9!,則M的約數(shù)中是完全平方數(shù)的共有（）個(gè).

A.504B.672C.864D.936

二、填空題

個(gè)（包括大小不同的）正方形;

個(gè)包括大小不同的矩形（包含正方形）.

12.如圖的菱形中若自上而下將相鄰的字母拼成的字樣（圈中字母

就是一種拼法），共有.種不同的拼法.

M

13.在一個(gè)3x3的方格表中填有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9九個(gè)數(shù)，每格只填

一個(gè)數(shù).現(xiàn)將每行中放有最大數(shù)的格子染成紅色，放有最小數(shù)的格子染成綠色.設(shè)”

是紅格中的最小數(shù)，機(jī)是綠格中的最大數(shù)，則可以取到個(gè)不同的值.

14.某計(jì)算機(jī)用戶計(jì)劃用不超過500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元，70元的單片軟

件和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有

種.

15.如圖所示，用紅、藍(lán)、黃三色將圖中區(qū)域4、8、C、。著色，要求有公共邊界的

相鄰區(qū)域不能涂相同的顏色，滿足恰好/涂藍(lán)色的概率為.

16.在一張冬景照片上，人們分別戴著帽子、系著圍巾和戴著手套.只戴帽子的人數(shù)

等于只系圍巾和只戴手套的人數(shù)之和；只有4人沒有戴帽子；戴著帽子和系著圍巾，

但沒有戴手套的有5人；只戴帽子的人數(shù)兩倍于只系圍巾者；未戴手套有8人，未系

圍巾有7人；三樣?xùn)|西都用的人數(shù)比只戴帽子的人數(shù)多一個(gè).那么：

（1）有人同時(shí)用上了帽子、圍巾和手套；

（2）有人只戴了手套；

（3）有人只系了圍巾；

（4）有人既戴了帽子，又戴了手套，但沒有系圍巾；

（5）有人戴著手套.

三、解答題

17.將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10任意排列在一個(gè)圓周上,證明：其中必有3個(gè)連續(xù)的數(shù)之和

不小于18.

18.已知直線//：y=-2r+10交y軸于點(diǎn)力，交x軸于點(diǎn)8,二次函數(shù)的圖象過4,B

兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C,BC=4,且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)尸/(刈，

yj)＞尸2(X2,及),當(dāng)X/＞X2N5時(shí)，總有刈＞/

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若直線，2：y=mx+n(??#10),求證：當(dāng)加=-2時(shí)，/?///；；

(3*為線段5c上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線小y=-2x+g過點(diǎn)C且交直線，E于點(diǎn)

F,求zMBE與面積之和的最小值.

19.阿里巴巴到一個(gè)4x4共16間房的迷宮去尋寶，每間房寶藏的價(jià)值見圖中所標(biāo)數(shù)

字，阿里巴巴從標(biāo)有“1”的房間出發(fā)，每次只能走到有一條公共邊的相鄰房間中去，每

到一個(gè)房間他都可以獲得該房間內(nèi)的全部寶藏，每個(gè)房間只能經(jīng)過一次，最后走到標(biāo)

有“2”的房間中去.那么請(qǐng)你為阿里巴巴設(shè)計(jì)一條尋寶路線，使得他獲得的寶藏值最

大，阿里巴巴最多能獲得總值為多少的寶藏？

8161312

31424

691511

17510

20.黑板上寫有一個(gè)方程丁+()x2+()x+()=0,甲、乙兩人做如下游

戲：甲可以在任何一個(gè)括號(hào)內(nèi)填入一個(gè)整數(shù)(可正、可負(fù))，然后乙在剩下的一個(gè)括號(hào)

內(nèi)填上一個(gè)整數(shù)，最后甲在最后空的一個(gè)括號(hào)內(nèi)填入一整數(shù).如果得到的方程有三個(gè)

整數(shù)根，則甲獲勝，否則乙獲勝.問誰有必勝策略？他應(yīng)怎樣操作？

21.已知矩形的邊/8=21,8c=19,/?是給定的小于1的正實(shí)數(shù).

(1)在矩形/8CZ)內(nèi)任意放入114個(gè)直徑為1的圓.證明：在矩形N8CD內(nèi)一定還可以

放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)(也不在某個(gè)圓的內(nèi)部)；

(2)在矩形/8CO內(nèi)任意放入95個(gè)單位正方形(邊長(zhǎng)為1的正方形).證明：在矩形

188內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為/?的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)(也不在

某個(gè)正方形的內(nèi)部).

22.某班期中考試結(jié)束后，語文、數(shù)學(xué)、英語獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)分別是22

人、18人、20人，其中語文和數(shù)學(xué)兩科都獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有8人，語文和

英語兩科都獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有9人，數(shù)學(xué)和英語兩科都獲得90分以上的學(xué)

生人數(shù)有7人，并且語文、數(shù)學(xué)、英語三科都沒有獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有5

人.問這個(gè)班最少有幾個(gè)學(xué)生？最多有幾個(gè)學(xué)生.

23.將平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)集M={(x,y)|x=l,2,3,4,5,y=l,2,3,4}內(nèi)的11個(gè)點(diǎn)染成紅

色，其余點(diǎn)不染色.證明：存在一個(gè)矩形，它的邊與坐標(biāo)軸平行，頂點(diǎn)都在"中，并

且都是紅色.

24.設(shè)〃是不大于5的正整數(shù)，在2〃x2〃正方形表格內(nèi)任取一方格染成紅色，其余方

格都不染色，允許進(jìn)行如下操作A：每次可將由3個(gè)方格組成的L形(如圖)，并且沒

有染過色的所有方格都染成紅色.間能否經(jīng)過有限步將所有方格染成紅色？

25.現(xiàn)有2〃x2”的正方形方格棋盤，在其中任意的3〃個(gè)方格中各放一枚棋子，求證:

可以選出〃行和n列，使得3〃枚棋子都在這n行和〃列中.

參考答案：

I.D

【解析】

【分析】

【詳解】

如果甲說“我是2號(hào)，乙是3號(hào)”中乙是3號(hào)為真，由乙說丙是4號(hào)為真，則由丙說丁是2

號(hào)為真，則乙是3號(hào)，丙是4號(hào)，丁為2號(hào)，所以甲為1號(hào).或從甲為2號(hào)出發(fā)，同樣可

得甲為1號(hào).

2.A

【解析】

【分析】

【詳解】

解將各格依次編號(hào)1，2,9(圖3-3),于是染1號(hào)格有3種方法.由于鄰格不同

色，2號(hào)格只能染與1號(hào)格不同色的其他2種顏色，有2種方法.又因每行3色都有，故

染第3號(hào)格只有1種方法.又4號(hào)格與1號(hào)格不同色，染4號(hào)格有2種方法，當(dāng)1、2、4

號(hào)格內(nèi)的顏色染定后，為了滿足題目條件，其他5、6、7、8、9號(hào)格內(nèi)的顏色都唯一確

定，由乘法原理知，共有3x2x1x2=12種染法，故選

3.D

【解析】

【分析】

【詳解】

解我們用枚舉法逐一排除，直接找出受表揚(yáng)者.

用張、王、李、趙表示四人分別說了真話，豕、壬、季、越表示四人分別說了謊.

(1)如果張受到了表揚(yáng)，那么豕、王、孝、趙，這與已知條件只有一人講真話矛盾.

答案第1頁，共16頁

（2）如果王受到了表揚(yáng)，那么張、王、李、趙，同得到矛盾.

（3）如果李得到了表揚(yáng)，那么張、王、李、趙，同樣得到矛盾.

（4）如果趙得到表揚(yáng)，那么豕、王、李、趙，這時(shí)只有李一人說的正確，滿足題目要

求.

所以受表揚(yáng)的同學(xué)是趙.

4.B

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)4B,C,D,E分別得a,b,c,d,e分，則a,b,c,d,e都是在92與100之間的

正整數(shù)，其中a最大，e=96排第三，且。+。+。=3*95=285,6+。+d=3><94=282.

兩式相減得a-d=3.

若6排在第二，^b>e+\=91,a>b>91,c=2&5-a-b=9\<92,矛盾.

若c排第二，則cN97,a297,0=285—a—c491<92,矛盾.

若d排第二，則dN97,a=d+3297+3=100,故只可能a=100,d=97.所以選8.

5.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解由。上升排在第4,而名次變化不超過2,則上星期不可能排在第一，故排除選項(xiàng)/；

E下降排在第5,則上星期不可能排在第5,排除選項(xiàng)C；又，上升排在第8,則上星期應(yīng)

排在第8之后，不可能排在第7,排除選項(xiàng)。.所以選￡

6.D

【解析】

【分析】

【詳解】

斜邊長(zhǎng)為友的等腰直角三角形有4個(gè)，斜邊長(zhǎng)為弓的等腰直角三角形有16個(gè)，斜長(zhǎng)為

1的等腰直角三角形有8個(gè)，斜邊長(zhǎng)為，的等腰直角三角形有16個(gè)，綜上所述，共有

答案第2頁，共16頁

4+16+8+16=44個(gè)等腰直角三角形，故選D.

7.C

【解析】

【分析】

由口知甲可在8?；駽校學(xué)習(xí)，假設(shè)甲在8校學(xué)習(xí)，根據(jù)后面的條件進(jìn)行推理，若結(jié)論均

符合條件，則正確；否則甲在C校學(xué)習(xí)，從而可得答案.

【詳解】

由□知甲可在8?；駽校學(xué)習(xí)，假設(shè)甲在8校學(xué)習(xí)，則他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；由□知乙學(xué)習(xí)化學(xué)，

由U知，丙在4校學(xué)習(xí)物理；則可知乙在C校學(xué)習(xí)化學(xué)，且均符合每個(gè)條件.即甲在8校

學(xué)習(xí)，丙在/校學(xué)習(xí).

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查的是邏輯推理，根據(jù)問題的特點(diǎn)，找準(zhǔn)突破口，步步推進(jìn).

8.C

【解析】

【分析】

利用抽屜原理，把班級(jí)個(gè)數(shù)看作“抽屜”數(shù)，把孩子的個(gè)數(shù)看作“物體個(gè)數(shù)”；

【詳解】

解：10-4=2（人）余2（人），

2+1=3（人），

故選：C；

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽屜原理：把多于〃個(gè)的物體放到〃個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不

少于兩件.

9.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解因1994=6x332+2,所以擲333次出現(xiàn)332次點(diǎn)6和1次點(diǎn)2是所擲次數(shù)（其和為

1994）最少者，顯然出現(xiàn)該情況的概率不為0.擲333次出現(xiàn)332次點(diǎn)6和1次點(diǎn)2的概率

答案第3頁，共16頁

與出現(xiàn)332次點(diǎn)1和1次點(diǎn)2的概率相等，且此時(shí)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和最?。?x332+2=334,

故S的最小值是334.所以應(yīng)選B.

10.B

【解析】

【分析】

【詳解】

?M=l!x2!x3!x...x9!=28x37x46x55x64x73x82x9=230x3l3x55x73,故M的約數(shù)”是一

個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，”必有下列形式〃=22，X32，X52ZX7”，其中X，?，Z/是非負(fù)整數(shù)，且

0<2x<30,0<2y<13,0<2z<5,0<2r<3,故x有16種取法，y有.7利?取法，z有一3利?取

法，f有2種取法.所以由乘法原理知這樣的約數(shù)〃有16x7x3x2=672（個(gè)），故選B.

11.55225

【解析】

【分析】

【詳解】

解（1）邊長(zhǎng)為1,2,3,4.5的正方形分別有5。42,32,22,/個(gè)，故共有5?+4?+3?+2?+F=55

個(gè)正方形.

（2）長(zhǎng)方形的水平方向的邊長(zhǎng)可為1,2,3,4,5,它們分別有5,4,3,2』種不同取法故長(zhǎng)方形的

水平方向邊長(zhǎng)共有5+4+3+2+1=15種不同取法.同理，長(zhǎng)方形的豎直方向的邊長(zhǎng)也有

5+4+3+2+1=15種不同取法，故共有15x15=225個(gè)不同的長(zhǎng)方形.

12.252

【解析】

【分析】

【詳解】

解法一：如圖，下面每個(gè)數(shù)字標(biāo)上從上面每處到達(dá)該處的路徑條數(shù)，最后我們得到共有

252種不同的拼法.

解法二：對(duì)于每一種拼法，從上方字母到下方字母可接箭頭或方向選取，故每種

拼法對(duì)應(yīng)了由5個(gè)與5個(gè)組成的一個(gè)排列（例如題目所示圖中字母拼法對(duì)應(yīng)的排

列為這個(gè)對(duì)應(yīng)是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，故所求拼法種數(shù)等于5個(gè)

與5個(gè)“、”排成一列的排法種數(shù)，而從一列10個(gè)位置中依次取5個(gè)位置放（余下5

答案第4頁，共16頁

個(gè)位置放“、”）的方法數(shù)等于從10個(gè)元素中取5個(gè)元素的組合數(shù)，即（因?yàn)?個(gè)

沒有區(qū)別，故這里用組合數(shù)公式，而不用排列數(shù)公式），故共有=：二:=252

Ix2x3x4x5

種不同的拼法.

13.8

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)槊啃?個(gè)數(shù)中的最大數(shù)必不小于3,又各行最大數(shù)中最小的必不大于7,故

3<M<7.

同理可得3WmW7,且加wAf,所以M-相￡{—4,—3,-2,—1,1,2,3,4},并且如圖知這8個(gè)

值都可以取到.故填8.

123123123

456457467

789689589

234

167

589

M=3,m-1M=3,m=6M=3,m=5M=4,m=5

136137137

247248258

589569469

m=5M=7,tn=4M=7,m=3

答案第5頁，共16頁

14.7

【解析】

【分析】

【詳解】

解先買了3片軟件和2盒磁盤，余下500-(3x60+2x70)=180(元).若不買軟件，則可

買磁盤0盒、1盒或2盒；若買1片軟件，則可買磁盤0盒或1盒；若買2片軟件，則不

可能再買磁盤；若買3片軟件，也不能再買磁盤，故共有3+2+1+1=7種選購(gòu)方法.

15.-

3

【解析】

【分析】

【詳解】

依次著色，N有3種涂法，5有2種涂法，。有3種涂法，C有1種涂法.

故共有3x2x3x1=18種涂法.

當(dāng)/涂藍(lán)色時(shí)，8有2種涂法，。有一3種涂法，C有1種涂法，共有2x3xl=6種涂法，所

以《涂藍(lán)色的概率為.故填?.

Io33

16.311410

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，按題目中條件順序依次可列方程：

(1)A=C+F；(2)C+E+F=4；(3)8=5；(4)A=2C；(5)A+8+C=8；(6)

A+G+F=7；(7)D=A+l.

可求出A=2,3=5,C=1,0=3,E=2,F=1,G=4.

于是，題目中各空白區(qū)應(yīng)填入的數(shù)依次是3,□!,□1,04,D10.

帽子

答案第6頁，共16頁

17.見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

證明設(shè)4,外，…，4。是L2,…』0沿圓周順時(shí)針方向的任意一個(gè)排列，不妨設(shè)4=1,于是

(42+43+a4)+(“5+46+47)+(4+"9+4|0)=2+3+4+5+6+7+8+9+10=萬乂(2+10)*9=54

由平均值原理知4+%+4,“5+4+%，4+49+《0中必有一個(gè)不小于gX54=18.

18.(l)>'=2x2-12x+10；

(2)見解析;

(3)40^-40.

【解析】

【分析】

(I)首先求出點(diǎn)4B,C的坐標(biāo)，由點(diǎn)力設(shè)出二次函數(shù)的解析式，再將點(diǎn)8,C的坐標(biāo)

分別代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；

(2)當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，兩直線不重合，假設(shè)兩直線不平行，則可求出〃=10與題設(shè)矛盾，據(jù)此

可作出判斷；

(3)首先可證得△FCES^ABE,從而求出二者的面積比，再設(shè)匹=/(0?<4),從而可

求出SOBE+SAFS關(guān)于r的表達(dá)式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.

(1)

解：對(duì)于尸-2x+10

當(dāng)x=0時(shí)，尸10,故點(diǎn)4(0,10)

當(dāng)y=0時(shí),-2x+10=0,

解得％=5,

故8(5,0)

又?;BC=4,

故C(9,0)或C(l,0),

若拋物線過C(9,0),則對(duì)稱軸為直線x=7且開口向上，

答案第7頁，共16頁

則當(dāng)5a<7時(shí)，夕隨X的增大而減小，不符合題意，舍去;

若拋物線過C(1,0),則對(duì)稱軸為直線x=3且開口向上，

則當(dāng)x>3時(shí)，必有y隨x的增大而增大，符合題意，

故可設(shè)二次函數(shù)的解析式為產(chǎn)。/+反+10,

把點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別代入解析式，得

j25a+56+10=0

3+〃+10=0

故二次函數(shù)的解析式為y=2V_12x+10；

(2)

證明：當(dāng)m=-2時(shí)，直線氏y=-2x+n(n/10)與直線//：片-2x+10不重合,

假設(shè)/2與//不平行，則七與//必相交，

設(shè)交點(diǎn)為(x0w),

解得〃=10,與己知存10矛盾，

所以上與//不相交,故R//”

(3)

解：如圖：

把點(diǎn)C(l,0)代入小y=-2x+q,

得g=2,

又?.?/i：y=-2x+10,

l3//lt,即CF〃/W,

ZFCE=ZABE,NCFE=2BAE,

:./\FCE^/\ABE,

答案第8頁，共16頁

設(shè)BE=r(0<r<4),貝!JCE=4”,

S%E=gBE0A=gxfxlO=5r,

X5Z=^￡

,?S^ABE+S&FCE

_5(4T)2

+5t

40夜-40

故當(dāng)f=2a時(shí)，5AABE+S&FCE的最小值為400-40.

本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相

似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，反證法等知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題

的關(guān)鍵.

19.130

【解析】

答案第9頁，共16頁

【分析】

【詳解】

解將圖中小正方形黑白相間染色(圖3-7).因?yàn)樾羞M(jìn)路線中穿過的房間都是黑白相間

的，而從黑格力”開始到黑格“2”結(jié)束，穿過的路線中黑格要比白格多一個(gè)，所以不能走遍

所有房間，至少要空一個(gè)白格房間沒有經(jīng)過.

白色房間中寶藏價(jià)值最少的是“4”號(hào)房間,若不經(jīng)過“4”號(hào)房間，貝V12”號(hào)房間也不能經(jīng)

過，這時(shí)尋得的寶藏的價(jià)值不可能最多，除“4”號(hào)外，白色房間內(nèi)寶藏價(jià)值最少的是“6”號(hào)

房間，故要使獲得的寶藏價(jià)值最大，不經(jīng)過的白色房間只可能是“6”號(hào)房間，如圖3-7給出

了不經(jīng)過“6”號(hào)房間的尋寶路線，這時(shí)獲得的寶藏的總值為最大，這個(gè)最大值為

(1+2+3+…+16)-6=1x16x17-6=130.

2

圖3-7

20.甲獲勝，操作見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

如果方程有3個(gè)根1,a,b〃為整數(shù))，則方程為(x-D(x—。)。-3=0,即

X3—(1+tz+b)x1+(a+b+ah)x—ah=O.令。=—1,x3—ax2—x+a=0>如是甲可以采

用如下策略：甲先在x的系數(shù)括號(hào)內(nèi)填-1,然后不論乙在余下的2個(gè)括號(hào)之一中填什么

數(shù)，甲只要在最后一個(gè)括號(hào)內(nèi)填入的數(shù)是乙剛填入的數(shù)的相反數(shù)，這樣得到形如

/_辦2_》+〃=0的方程，它總有3個(gè)整數(shù)根1,-1,從而甲獲勝.

21.(1)證明見解析;

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

答案第10頁，共16頁

（1）將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)方得到矩形AAGR,再把直徑為1的小圓縮小為一

點(diǎn)。進(jìn)行考慮，將原直徑為1的圓擴(kuò)大，即以原圓心為圓心，直徑為2作114個(gè)新的圓，

計(jì)算可得114個(gè)新圓的面積和小于矩形的面積，即可證明在矩形Z88內(nèi)一定還

可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)圓的內(nèi)部）；

（2）將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)方得到矩形再把直徑為1的小圓縮小為一

點(diǎn)。進(jìn)行考慮，把每個(gè)小正方形加框，即在小正方形的每條邊的外部加一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為

1和g的矩形，4個(gè)角上加上一個(gè)直徑為1的四分之一圓弧，計(jì)算此時(shí)95個(gè)加框圖形的面

積總和小于矩形的面積，即可證明在矩形N8CZ）內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r

的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)（也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部）.

（1）

解：將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)g,得到一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為20和18的矩形A四GR

（如圖1所示），則矩形ABCQ的面積為20x18=360.對(duì)矩形ABCD內(nèi)任意放入的114個(gè)

直徑為1的圓，分別以這114個(gè)圓的圓心為圓心，直徑為2作114個(gè)新的圓（如圖2所

示）.因?yàn)檫@114個(gè)新圓的面積和等于［14*ixl2=ii4/r＜114*3.15=359.1小于矩形

A4G。的面積.

所以在矩形ABCQi內(nèi)，一定存在一點(diǎn)0,它在這114個(gè)新的圓的外部.因?yàn)辄c(diǎn)O到矩形

A8CD每條邊的距離都大于且點(diǎn)。到每個(gè)舊圓圓心的距離都大于1,所以以點(diǎn)。為圓

心，直徑為『的圓一定在矩形ABC￡＞內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的114個(gè)直徑為1的個(gè)圓都沒有

交點(diǎn)，也不在某個(gè)圓的內(nèi)部.

所以在矩形ABC￡＞內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為"的圓，它和這114個(gè)圓都沒有交點(diǎn)（也不

在某個(gè)圓的內(nèi)部）.

圖1圖2

(2)

答案第11頁，共16頁

將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)方，得到一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為20和18的矩形則

矩形A4GR的面積為20x18=360.對(duì)矩形ABCO內(nèi)任意放入的95個(gè)單位正方形，將這

95個(gè)單位小正方形的每一個(gè)都加一個(gè)框：在小正方形的每條邊的外部加一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為

1和g的矩形，4個(gè)角上加上一個(gè)直徑為1的四分之一圓?。ㄈ鐖D3所示）.

因?yàn)檫@95個(gè)加框的圖形的面積和等于95（3+?）＜95[3+苛）=359.8125小于矩形

的面積.所以在矩形。內(nèi)，一定存在一點(diǎn)。，它在這95個(gè)加框的圖形的外

部.因?yàn)辄c(diǎn)。到矩形A8C。每條邊的距離都大于且點(diǎn)。到每個(gè)單位正方形的邊上的點(diǎn)

的距離都大于3，所以以點(diǎn)。為圓心，直徑為『的圓一定在矩形4B8內(nèi)，且與矩形內(nèi)原

有的95個(gè)單位正方形都沒有交點(diǎn)，也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部.

所以在矩形A8CO內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為廣的圓，它和這95個(gè)正方形都沒有交點(diǎn)

（也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了用創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是使用"縮"、"放’’的構(gòu)思作為

證題技巧.

22.當(dāng)沒有學(xué)生三科都獲得90分以上時(shí)，班上學(xué)生人數(shù)最少，只有41人；當(dāng)有7個(gè)學(xué)生

的三科成績(jī)都在90分以上時(shí)，班上學(xué)生人數(shù)最多，有48人.

【解析】

【分析】

【詳解】

這個(gè)班的學(xué)生組成的集合為/,這個(gè)班共有胴=1/1人，設(shè)三科都獲得90分以上的學(xué)生有〃

人，A，4,A,分別表示語文、數(shù)學(xué)、英語獲得90分以上的學(xué)生組成的集合，由容斥原理口

得三科都沒有獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)為

答案第12頁，共16頁

5=|4n&nAH/iTAU4U&|

=m-(|A|+|4|+|4|)+(|An4|+|Ari4|+|4n4|)-|AA4AA|

=加一(22+18+20)+(8+9+7)-〃=〃？-36-〃,

所以這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)為帆=41+w.

另一方面，由于兩科獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)分別為8,9,7,所以3科都獲得90分以上的

學(xué)生人數(shù)可以為0,但最多不超過7,即0W7,所以41441+〃W48.

綜上所述，當(dāng)沒有學(xué)生三科都獲得90分以上時(shí)，班上學(xué)生人數(shù)最少，只有41人；當(dāng)有7

個(gè)學(xué)生的三科成績(jī)都在90分以上時(shí)，班上學(xué)生人數(shù)最多，有48人.

23.見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

證明將"分為下列4個(gè)點(diǎn)集：

%={(X，y)k=1,2,3,4,5,y=Z}(z=l,2,3,4).

則由第二抽屜原理知陷,必有一個(gè)集合內(nèi)至多有2=2個(gè)紅色點(diǎn)，不妨設(shè)

內(nèi)至多有2個(gè)紅色點(diǎn)，從而M1UM2UM3內(nèi)至少有II-2=9個(gè)紅色點(diǎn).再將

分成下列5個(gè)點(diǎn)集:

M={(x,y))=i,y=1,2,3}(i=1,2,3,4,5).

9

由第二抽屜原理，乂,22，%，2，乂必有一個(gè)集合內(nèi)至多有1個(gè)紅色點(diǎn)，不妨設(shè)Ns內(nèi)

至多有1個(gè)紅色點(diǎn)，從而至少有9-1=8個(gè)紅色點(diǎn)，又將

N\UN2UN]UM分成下列3個(gè)點(diǎn)集:

={(x,y)|x=l,2,3,4,y=j}(j=l,2,3).

由第二抽屜原理知中必有一個(gè)集合內(nèi)至多有[I]=2個(gè)紅點(diǎn)，不妨設(shè)M；內(nèi)至多

有2個(gè)紅色點(diǎn)，從而M2Mz={(x,y)|x=l,2,3,4,y=l,2}內(nèi)至少有8-2=6個(gè)紅色點(diǎn)，又將

分為4個(gè)集合:

答案第13頁，共16頁

N；=｛（x,y）|x=i,y=l,2｝（i=l,2,3,4）.

因?yàn)檫@4個(gè)集合內(nèi)一共至少有6個(gè)紅色點(diǎn)，且每個(gè)集合內(nèi)只有一2點(diǎn)，故必有2個(gè)集合內(nèi)有

2個(gè)紅色點(diǎn)（否則這4個(gè)集合內(nèi)一共至多只有1+1+1+2=5個(gè)紅色點(diǎn)，矛盾）.不妨設(shè)

N；,N；內(nèi)4個(gè)點(diǎn)都為紅色點(diǎn)，這4點(diǎn)即為一個(gè)矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，且矩形的邊與坐標(biāo)軸平

行，從而完成了題目的證明.

24.能

【解析】

【分析】

【詳解】

知進(jìn)行2次題設(shè)中的操作A,可將沒有染色的

2x3矩形的每一個(gè)小方格都染成紅色，我們稱這樣的2次操作A為操作B.

其次，考察4x4的正方形方格表，假設(shè)其中恰有一格已染成紅色，不妨設(shè)此格在左上角

2x2的正方形標(biāo)號(hào)為口、口、口的任意小方格內(nèi)，則用一次操作A可將這個(gè)2x2正方形

內(nèi)其他的3格染成紅色，余下的方格又可用4次操作將它們?nèi)咳境杉t色（如圖（a））,即

連