高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考前三個(gè)月 12＋4滿分練（4）理試題

12＋4滿分練(4)1.(2017·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝{x|0＜x＜4}，則(?RA)∩B等于()A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4)答案A解析因?yàn)锳＝{x|x＜－1或x＞3}，故?RA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|0＜x＜4}，所以(?RA)∩B＝{x|0＜x≤3}，故選A.2.(2017·安陽(yáng)模擬)設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)eq\f(a＋2i,1＋i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A.－1B.1答案C解析由題意，得eq\f(a＋2i,1＋i)＝eq\f(a＋2,2)＋eq\f(2－a,2)i，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)＝0，,\f(2－a,2)≠0))?a＝－2，故選C.3.(2017·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))·(cosx－2sinx)＋sin2x的圖象向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)，則g(x)具有性質(zhì)()A.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)B.周期為π，圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對(duì)稱C.最大值為eq\r(2)，圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)答案A解析將其圖象向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))－\f(π,4)))＝eq\r(2)sin2x的圖象，則g(x)為奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，故A正確.4.(2017·寶雞檢測(cè))為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象，只需把函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(4π,3)))的圖象()A.向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度答案A解析y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(4π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(4π,3)＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－\f(π,3)))，5.過(guò)點(diǎn)M(2，－2p)引拋物線x2＝2py(p＞0)的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若|AB|＝4eq\r(10)，則p的值是()A.1或2 B.eq\r(2)或2C.1 D.2答案A解析設(shè)切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2p)t2))，因?yàn)閥′＝eq\f(1,p)x，則切線斜率k＝eq\f(\f(1,2p)t2＋2p,t－2)＝eq\f(1,p)t，整理可得t2－4t－4p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1＋t2＝4，t1t2＝－4p2，則(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16(1＋p2).設(shè)切點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1，\f(t\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2，\f(t\o\al(2,2),2p)))，則|AB|＝eq\r(t1－t22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t\o\al(2,1)－t\o\al(2,2),2p)))2)＝eq\r(t1－t22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2p)))2t1＋t22)))，即|AB|＝4eq\r(1＋p2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,p2))))，所以(1＋p2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,p2)))＝10，即p4－5p2＋4＝0，解得p2＝1或p2＝4，即p＝1或p＝2，故選A.6.(2017·云南大理檢測(cè))已知三棱錐A－BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為eq\f(4\r(3),3)，BC＝4，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，則球O的表面積為()A.11πB.20πC.23πD.35π答案C解析設(shè)棱錐的高為h，因?yàn)镾△BCD＝eq\f(1,2)×BC×BD＝2eq\r(3)，所以VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD×h＝eq\f(4\r(3),3)，所以h＝2，因此點(diǎn)O到平面BCD的距離為1，因?yàn)椤鰾CD外接圓的直徑為eq\r(19)，所以O(shè)B＝eq\r(1＋\f(19,4))＝eq\f(\r(23),2)，所以球O的表面積為S＝4πr2＝23π，故選C.7.(2017·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A.36πB.8πC.eq\f(9π,2)D.eq\f(27π,8)答案B解析從題設(shè)中三視圖所提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2，eq\r(2)，eq\r(2)的長(zhǎng)方體的一角所在三棱錐，其外接球與該長(zhǎng)方體的外接球相同，其直徑是該長(zhǎng)方體的對(duì)角線l＝eq\r(22＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2eq\r(2)，故球的半徑為R＝eq\r(2)，所以該外接球的表面積S＝4π(eq\r(2))2＝8π，故選B.8.已知點(diǎn)P為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x≤2，,x＋y－1≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓M：(x＋1)2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值是()A.eq\f(3\r(5)＋2,2) B.eq\f(2\r(5)＋3,3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\r(10)答案A解析由題意得，畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由題意知點(diǎn)A到圓心(－1，0)的距離最遠(yuǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,x＝2，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，最遠(yuǎn)距離為d＝eq\r(2＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(3\r(5),2)，所以|PQ|的最大值為eq\f(3\r(5),2)＋1＝eq\f(3\r(5)＋2,2)，故選A.9.(2017·湖南師大附中月考)閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為58，則判斷框中應(yīng)填入的條件為()A.k≤3?B.k≤4?C.k≤5?D.k≤6?答案B解析第一次循環(huán)，S＝12＝1，k＝2；第二次循環(huán)，S＝2×1＋22＝6，k＝3；第三次循環(huán)，S＝2×6＋32＝21，k＝4；第四次循環(huán)，S＝2×21＋42＝58，k＝5，最后輸出的數(shù)據(jù)為58，所以判斷框中應(yīng)填入k≤4？，故選B.10.(2017·云南大理檢測(cè))已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.c＜a＜b D.a＜c＜b答案D解析由題意知f(x)，g(x)，h(x)均為各自定義域上的增函數(shù)，且有唯一零點(diǎn)，因?yàn)閒(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1>0，所以－1＜a＜0，由g(x)＝0可得x＝1，所以b＝1，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－1＋eq\f(1,3)＝－eq\f(2,3)＜0，h(1)＝1>0，所以eq\f(1,3)＜c＜1，所以a＜c＜b，故選D.11.(2017·安陽(yáng)模擬)已知當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝2sinx－cosx取得最大值，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(\r(2),10)C.－eq\f(\r(2),10)D.－eq\f(7\r(2),10)答案D解析因?yàn)閒(x)＝eq\r(5)sin(x－φ)，所以f(x)max＝eq\r(5)，其中cosφ＝eq\f(2,\r(5))，sinφ＝eq\f(1,\r(5))，當(dāng)x－φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值，即θ＝2kπ＋eq\f(π,2)＋φ，k∈Z時(shí)函數(shù)取得最大值.由于sin2θ＝－sin2φ＝－2×eq\f(2,\r(5))×eq\f(1,\r(5))＝－eq\f(4,5)，cos2θ＝－cos2φ＝－(2cos2φ－1)＝－eq\f(3,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ＋cos2θ)＝－eq\f(7,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10)，故選D.12.(2017·貴州貴陽(yáng)市適應(yīng)性考試)已知M是函數(shù)f(x)＝e－2|x－1|＋2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))在x∈[－3，5]上的所有零點(diǎn)之和，則M的值為()A.4B.6答案C解析因?yàn)閒(x)＝e－2|x－1|＋2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))＝e－2|x－1|－2cosπx，所以f(x)＝f(2－x)，因?yàn)閒(1)≠0，所以函數(shù)零點(diǎn)有偶數(shù)個(gè)，兩兩關(guān)于x＝1對(duì)稱.當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，y＝e－2(x－1)∈(0，1]，且單調(diào)遞減；y＝2cosπx∈[－2，2]，且在[1，5]上有兩個(gè)周期，因此當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，y＝e－2(x－1)與y＝2cosπx有4個(gè)不同的交點(diǎn)，從而所有零點(diǎn)之和為4×2＝8，故選C.13.(2017·寧夏銀川二模)我們把滿足：xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)的數(shù)列{xn}叫做牛頓數(shù)列.已知函數(shù)f(x)＝x2－1，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an＝lneq\f(xn－1,xn＋1)，已知a1＝2，則a3＝________.答案8解析由f(x)＝x2－1，得f′(x)＝2x，則xn＋1＝xn－eq\f(x\o\al(2,n)－1,2xn)＝eq\f(x\o\al(2,n)＋1,2xn)，所以xn＋1－1＝eq\f(xn－12,2xn)，xn＋1＋1＝eq\f(xn＋12,2xn)，所以eq\f(xn＋1－1,xn＋1＋1)＝eq\f(xn－12,xn＋12)，所以lneq\f(xn＋1－1,xn＋1＋1)＝lneq\f(xn－12,xn＋12)＝2lneq\f(xn－1,xn＋1)，即an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則a3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為_(kāi)_______.答案5解析方法一以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x.∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，－x)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，a－x)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝(5，3a－4x)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為5.方法二設(shè)eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DC,\s\up6(→))(0＜x＜1)，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－xeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋(3－4x)eq\o(DC,\s\up6(→))，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝eq\f(25,4)eq\o(DA,\s\up6(→))2＋2×eq\f(5,2)×(3－4x)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋(3－4x)2eq\o(DC2,\s\up6(→))＝25＋(3－4x)2eq\o(DC,\s\up6(→))2≥25，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為5.15.點(diǎn)P在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線PF1與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，線段PF1的垂直平分線恰好過(guò)點(diǎn)F2，則該雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)_______.答案±eq\f(4,3)解析如圖，A是切點(diǎn)，B是PF1的中點(diǎn)，因?yàn)閨OA|＝|a|，所以|BF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝2b，|PF1|＝4b，又|PF2|＝|F1F2|＝2c，根據(jù)雙曲線的定義，有|PF1|－|PF2|＝2a，即4b－2c＝2a，兩邊平方并化簡(jiǎn)得3c2－2ac－5a2＝0，所以eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，因此eq\f(b,a)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－1)＝eq\f(4,3).16.已知數(shù)列eq\b\lc\{\r