高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題23 選擇題解題技能訓(xùn)練（含解析）試題

一、選擇題1．(文)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2 D．3[答案]B[解析]由題意易知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點為F(1,0)，直線x＝－1與雙曲線的交點坐標(biāo)為(－1，±eq\f(\r(1－a2),a))，若△FAB為直角三角形，則只能是∠AFB為直角，△FAB為等腰直角三角形，所以eq\f(\r(1－a2),a)＝2?a＝eq\f(\r(5),5)，從而可得c＝eq\f(\r(30),5)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)，選B．(理)(2014·中原名校聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，以右頂點為圓心，實半軸長為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長為12的兩部分，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(3) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(5) D．eq\f(\r(5),2)[答案]B[解析]由條件知∠OAB＝120°，從而∠BOA＝30°，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e2＝eq\f(4,3)，∵e>1，∴e＝eq\f(2\r(3),3).[方法點撥]直接法直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準(zhǔn)確地運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應(yīng)的選擇．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法．直接法解答選擇題是最基本的方法，用直接法解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，熟練應(yīng)用有關(guān)數(shù)學(xué)方法與技巧，準(zhǔn)確把握題目的特點．平時應(yīng)對基礎(chǔ)知識、基本技能與方法強化記憶靈活應(yīng)用．請練習(xí)下題：(2015·河南省高考適應(yīng)性測試)已知橢圓C1：eq\f(x2,17)＋y2＝1，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A，B兩點，且C1與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則雙曲線C2的離心率為()A．4 B．eq\f(4\r(13),13)C．eq\r(2) D．eq\f(1＋\r(5),2)[答案]C[解析]雙曲線的一條漸近線方程為：y＝eq\f(b,a)x，設(shè)它與橢圓C1的交點為CD，易得|CD|＝eq\f(1,3)|AB|＝eq\f(2\r(17),3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,\f(x2,17)＋y2＝1.))得：eq\f(x2,17)＋eq\f(b2,a2)x2＝1，x＝±eq\r(\f(17a2,a2＋17b2))，∴|CD|＝2eq\r(1＋\f(b2,a2))·eq\r(\f(17a2,a2＋17b2))＝2eq\r(\f(17a2＋b2,a2＋17b2))＝eq\f(2\r(17),3)，整理得：a2＝b2，∴e＝eq\r(2).2．(2015·新課標(biāo)Ⅱ文，9)已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)[答案]C[解析]由題意可得a3a5＝aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)?a4＝2，所以q3＝eq\f(a4,a1)＝8?q＝2，故a2＝a1q＝eq\f(1,2)，選C．3．(文)如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，CA．31 B．21C．41 D．eq\r(3)1[答案]B[解析]將P，Q置于特殊位置：使P與A1重合，Q與B重合，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC－AA1B＝VA1－ABC＝eq\f(VABC－A1B1C1,3)，故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為21.(理)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數(shù)列，則eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)[答案]B[解析]解法一：取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，則cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(4,5)，解法二：取特殊角A＝B＝C＝60°，cosA＝cosC＝eq\f(1,2)，eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(4,5).故選B．[方法點撥]特例法從題干(或選項)出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊圖形．其解題原理是某個結(jié)論若對某范圍內(nèi)的一切情形都成立，則對該范圍內(nèi)的某個特殊情形一定成立．請練習(xí)下題：已知橢圓E：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1，對于任意實數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0[答案]D[解析]A選項中，當(dāng)k＝－1時，兩直線關(guān)于y軸對稱，兩直線被橢圓截得的弦長相等；B選項中，當(dāng)k＝1時，兩直線平行，兩直線被橢圓截得的弦長相等；C選項中，k＝1時，兩直線關(guān)于y軸對稱，兩直線被橢圓截得的弦長相等，故選D．[點評]本題充分利用橢圓的對稱性及“可能相等”用特例作出判斷，方便的獲解，如果盲目從直線與橢圓相交求弦長，則費神耗力無收獲．4．(文)A、B、C是△ABC的3個內(nèi)角，且A<B<C(C≠eq\f(π,2))，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．sinA<sinC B．cotA<cotCC．tanA<tanC D．cosA<cosC[答案]A[解析]利用特殊情形，因為A、B、C是△ABC的3個內(nèi)角，因此，存在C為鈍角的可能，而A必為銳角，此時結(jié)論仍然正確．而cosA、tanA、cotA均為正數(shù)，cosC、tanC、cotC均為負數(shù)，因此B、C、D均可排除，故選A．(理)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6且a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，則實數(shù)m的值為()A．1 B．－1C．－3 D．1或－3[答案]D[解析]令x＝0，∴a0＝1；令x＝1，故(1＋m)6＝a0＋a1＋a1＋a2＋…＋a6，且因a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或－3.5．已知f(x)＝eq\f(1,4)x2＋sin(eq\f(π,2)＋x)，則f′(x)的圖象是()[答案]A[解析]∵f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx，∴f′(x)＝eq\f(1,2)x－sinx為奇函數(shù)，排除B、D．又f′(eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)－sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)×(eq\f(π,6)－1)<0，排除C，選A．[方法點撥]篩選法篩選法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用選擇題有且只有一個正確的選項這一特征，通過分析、推理、計算、判斷，排除不符合要求的選項，從而得出正確結(jié)論的一種方法．6．(文)(2015·南昌市一模)給出下列命題：①若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝32②α，β，γ是三個不同的平面，則“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分條件③已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝eq\f(7,9).其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]對于①，由(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5得a1<0，a2>0，a3<0，a4>0，a5<0，取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(1＋1)5＝25，再取x＝0得a0＝(1－0)5＝1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＝31，即①不正確；對于②，如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1⊥平面ABCD，但平面ABB1A1與平面ADD1A1不平行，所以②不正確；對于③，因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9)，所以③正確．(理)在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居眾顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各選項中，一定符合上述指標(biāo)的是()①平均數(shù)eq\x\to(x)≤3；②標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；③平均數(shù)eq\x\to(x)≤3且標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；④平均數(shù)eq\x\to(x)≤3且極差小于或等于2；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于1.A．①② B．③④C．③④⑤ D．④⑤[答案]D[解析]對于⑤，由于眾數(shù)為1，所以1在數(shù)據(jù)中，又極差≤1，∴最大數(shù)≤2，符合要求⑤正確；對于④，由于eq\x\to(x)≤3，∴必有數(shù)據(jù)x0≤3，又極差小于或等于2，∴最大數(shù)不超過5，④正確；當(dāng)數(shù)據(jù)為0,3,3,3,6,3,3時，eq\x\to(x)＝3，S2＝eq\f(18,7)，滿足eq\x\to(x)≤3且S≤2，但不合要求，③錯，∴選D．7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤0，,x2－x，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為()A．[－eq\f(1,2)，1] B．[－eq\f(1,2)，1)C．(－eq\f(1,4)，0) D．(－eq\f(1,4)，0][答案]C[解析]由g(x)＝f(x)－m＝0得f(x)＝m.作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－x＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，所以要使函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個不同的零點，只需直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個交點即可，如圖只需－eq\f(1,4)<m<0.[方法點撥]數(shù)形結(jié)合法將所研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象或借助代數(shù)式的幾何意義，作出相應(yīng)的幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)等，綜合幾何圖形的直觀特征得到正確選項的一種解題方法，其實質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合思想的運用．1．運用圖解法解選擇題是依靠圖形的直觀性進行分析的，因此要對有關(guān)的函數(shù)圖象或幾何圖形較熟悉，作圖盡可能準(zhǔn)確才能作出正確的選擇．2．討論方程根的個數(shù)、函數(shù)的零點個數(shù)、函數(shù)圖象交點個數(shù)，直線與圓錐曲線或圓錐曲線之間位置關(guān)系的題目，三角形解的討論，立體幾何中線面位置關(guān)系的判斷，線性規(guī)劃等等問題常借助圖形處理．請練習(xí)下題：(2014·長春市三調(diào))已知實數(shù)x、y滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0,x<2,x＋y－1≥0))，z＝|2x－2y－1|，則z的取值范圍是()A．[eq\f(5,3)，5] B．[0,5]C．[0,5) D．[eq\f(5,3)，5)[答案]C[解析]畫出x，y約束條件限定的可行域為如圖陰影區(qū)域，令u＝2x－2y－1，則y＝x－eq\f(u＋1,2)，先畫出直線y＝x，再平移直線y＝x，當(dāng)經(jīng)過點A(2，－1)，B(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))時，可知－eq\f(5,3)≤u<5，∴z＝|u|∈[0,5)，故選C．8．(2015·遼寧葫蘆島市一模)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n＝()A．5 B．6C．7 D．8[答案]B[解析]作出可行域如圖平移直線2x＋y＝0知，當(dāng)z＝2x＋y經(jīng)過點A(－1，－1)時取得最小值，經(jīng)過點B(2，－1)時取得最大值，∴m＝2×2－1＝3，n＝2×(－1)－1＝－3，∴m－n＝3－(－3)＝6.9．(2015·安徽文，10)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d>0 B．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d>0C．a(chǎn)<0，b<0，c>0，d>0 D．a(chǎn)>0，b>0，c>0，d<0[答案]A[解析]令x＝0?d>0，又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由函數(shù)f(x)的圖象可知x1，x2是f′(x)＝0的兩根，由圖可知x1>0，x2>0，x1<x2，f′(x)＝3a(x－x1)(x－x2)＝3ax2－3a(x1＋x2)x＋3ax1x2，當(dāng)x∈(－∞，x1)時，f(x)單調(diào)遞增，f′(x)>0，∴∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(2b,3a)>0，,x1x2＝\f(c,3a)>0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,c>0.))故A正確．10．(文)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)(eq\f(π,2)<θ<π)，則taneq\f(θ,2)＝()A．eq\f(m－3,9－m) B．eq\f(m－3,|9－m|)C．－eq\f(1,5) D．5[答案]D[解析]由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，m為一確定的值，因此taneq\f(θ,2)也為一確定的值，又eq\f(π,2)<θ<π，所以eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，故taneq\f(θ,2)>1，因此排除A、B、C，選D．(理)圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H)，則該函數(shù)的大致圖象是()[答案]B[解析]由圖知，隨著h的增大，陰影部分的面積S逐漸減小，且減小得越來越慢，結(jié)合選項可知選B．[方法點撥]估算法由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無需過程，因此，有些題目不必進行準(zhǔn)確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法是根據(jù)變量變化的趨勢或極值的取值情況進行求解的方法．當(dāng)題目從正面解答比較麻煩，特值法又無法確定正確的選項時，如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化，幾何體的表面積、體積等問題，常用此種方法確定選項．11．(文)(2014·石家莊市質(zhì)檢)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點O為坐標(biāo)原點，點P在雙曲線右支上，△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為Q，圓Q與x軸相切于點A，過F2作直線PQ的垂線，垂足為B，則|OA|與|OB|的長度依次為()A．a(chǎn)，a B．a(chǎn)，eq\r(a2＋b2)C．eq\f(a,2)，eq\f(3a,2) D．eq\f(a,2)，a[答案]A[解析]如圖，由題意知，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝|PC|＋|CF1|，|PF2|＝|PD|＋|DF2|，又|CF1|＝|F1A|，|DF2|＝|F2A|，∴|PF1|－|PF2|＝|F1A|－|F2A|＝|OF1|＋|OA|－(|OF2|－|OA|)＝2|OA|＝2a，∴|OA|＝(理)若方程cos2x＋eq\r(3)sin2x＝a＋1在[0，eq\f(π,2)]上有兩個不同的實數(shù)解x，則參數(shù)a的取值范圍是()A．0≤a<1 B．－3≤a<1C．a(chǎn)<1 D．0<a<1[答案]A[解析]cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＝a＋1，可設(shè)f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，g(x)＝a＋1，利用數(shù)形結(jié)合，如圖所示，有1≤a＋1<2，即0≤a<1，即可得出正確答案．故選A．12．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面面積是()A．eq\f(16,9)π B．eq\f(8,3)πC．4π D．eq\f(64,9)π[答案]D[解析]∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(2\r(3),3)，則S球＝4πR2≥4πr2＝eq\f(16,3)π>5π.13．(文)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，{bn}滿足：an＋2＝2an＋1＋an，bn＋2＝bn＋1＋2bn(n∈N*)，那么()A．?n∈N*，an>bn?an＋1>bn＋1B．?m∈N*，?n>m，an>bnC．?m∈N*，?n>m，an＝bnD．?m∈N*，?n>m，an<bn[答案]B[解析]特值排除法：取a1＝1，a2＝2；b1＝eq\f(1,2)，b2＝3，顯然a1>b1但a2<b2，排除A；當(dāng)a1＝1，a2＝2，b1＝1，b2＝2時，a3＝5，b3＝4，a4＝12，b4＝8，排除C、D，故選B．(理)已知0<a<b<c且a、b、c成等比數(shù)列，n為大于1的整數(shù)，那么logan，logbn，logcn是()A．成等比數(shù)列B．成等差數(shù)列C．即是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D．即不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列[答案]D[解析]方法1：可用特殊值法．令a＝2，b＝4，c＝8，n＝2，即可得出答案D正確．方法2：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴可設(shè)b＝aq，c＝aq2.(q>1，a>0)則：logbn＝log(aq)n＝eq\f(logan,1＋logaq)，logcn＝log(aq2)n＝eq\f(logan,1＋2logaq)，可驗證，logan，logbn，logcn既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列．故選D．14．(文)某興趣小組野外露營，計劃搭建一簡易帳篷，關(guān)于帳篷的形狀，有三人提出了三種方案，甲建議搭建如圖①所示的帳篷；乙建議搭建如②所示的帳篷；丙建議搭建如③所示的帳篷．設(shè)帳篷頂?shù)男泵媾c水平面所成的角都是α，則用料最省的一種建法是()(四根立柱圍成的面積相同)A．① B．②C．③ D．都一樣[答案]D[解析]由于帳篷頂與水平面所成的角都是α，則不論哪種建法，頂部在地面的射影面積都相等，由S＝S射cosα得，不論哪種建法，所用料的面積都相等．(理)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項的和為S，前n項的積為P，前n項倒數(shù)的和為M，則有()A．P＝eq\f(S,M) B．P>eq\f(S,M)C．P2＝(eq\f(S,M))n D．P2>(eq\f(S,M))n[答案]C[解析]取等比數(shù)列為常數(shù)列：1,1,1，…，則S＝n，P＝1，M＝n，顯然P>eq\f(S,M)和P2>(eq\f(S,M))n不成立，故選項B和D排除，這時選項A和C都符合要求．再取等比數(shù)列：2,2,2，…，則S＝2n，P＝2n，M＝eq\f(n,2)，這時有P2＝(eq\f(S,M))n，且P≠eq\f(S,M)，所以選項A不正確．15．(文)函數(shù)f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的圖象大致為()[答案]C[解析]由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B；當(dāng)0≤x<π時，f(x)≥0，排除A；又f′(x)＝－2cos2x＋cosx＋1，f′(0)＝0，則cosx＝1或cosx＝－eq\f