多目標規(guī)劃課件

多目標規(guī)劃2024/1/7多目標規(guī)劃最優(yōu)化模型

---多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃第七講多目標規(guī)劃方法

多目標規(guī)劃解的討論——非劣解

多目標規(guī)劃及其求解技術簡介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標規(guī)劃模型目標達到法多目標規(guī)劃應用實例

多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經(jīng)濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較，而這些目標有時不甚協(xié)調，甚至是矛盾的。因此有許多學者致力于這方面的研究。1896年法國經(jīng)濟學家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。多目標規(guī)劃求解多目標規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標化為比較容易求解的單目標或雙目標，如主要目標法、線性加權法、理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目標按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標最優(yōu)解集內求下一個目標最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結合的多目標決策與分析方法，對于目標結構復雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實用。

多目標規(guī)劃

多目標規(guī)劃模型（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學模型一般地描寫為如下形式：

一多目標規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。多目標規(guī)劃縮寫形式：有n個決策變量，k個目標函數(shù)，m個約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）多目標規(guī)劃對于線性多目標規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃的非劣解

多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?。對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：▲每一個目標函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標規(guī)劃

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2目標值比②大，但其目標值f1比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解多目標規(guī)劃

而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。

當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。多目標規(guī)劃效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標達到法目標規(guī)劃模型二多目標規(guī)劃求解技術簡介

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉化，有如下幾種建模方法。多目標規(guī)劃

是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問題的各個目標函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數(shù)與效用函數(shù)建立相關關系，各目標之間通過效用函數(shù)協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：

多目標規(guī)劃在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值

i

來反映原問題中各目標函數(shù)在總體目標中的權重，即：式中，

i

應滿足：向量形式：多目標規(guī)劃方法二罰款模型（理想點法）

思想:

規(guī)劃決策者對每一個目標函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi與期望值fi*之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學表達式如下：或寫成矩陣形式：

式中，是與第i個目標函數(shù)相關的權重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。多目標規(guī)劃理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：方法三約束模型（極大極小法）

多目標規(guī)劃方法四目標達到法

首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：多目標規(guī)劃在求解之前，先設計與目標函數(shù)相應的一組目標值理想化的期望目標fi*(i=1,2,…,k),每一個目標對應的權重系數(shù)為

i*(i=1,2,…,k)，再設

為一松弛因子。那么，多目標規(guī)劃問題就轉化為：多目標規(guī)劃方法五目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法）

需要預先確定各個目標的期望值fi*，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權系數(shù)，假定有K個目標，L個優(yōu)先級(L≤K)，目標規(guī)劃模型的數(shù)學形式為：

多目標規(guī)劃式中：

di+和di－分別表示與fi相應的、與fi*相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量；pl表示第l個優(yōu)先級；

lk+、

lk-表示在同一優(yōu)先級pl中，不同目標的正、負偏差變量的權系數(shù)。多目標規(guī)劃投資的收益和風險多目標規(guī)劃二、基本假設和符號規(guī)定多目標規(guī)劃二、基本假設和符號規(guī)定多目標規(guī)劃三、模型的建立與分析1.總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}多目標規(guī)劃三、模型的建立與分析多目標規(guī)劃4.模型簡化：多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃四、模型1的求解

由于a是任意給定的風險度，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的風險度。我們從a=0開始，以步長△a=0.001進行循環(huán)搜索，編制程序如下：多目標規(guī)劃a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）多目標規(guī)劃計算結果：多目標規(guī)劃五、結果分析3.曲