專題05 分式（13大考點）解析版

專題05分式考點類型考點一遍過考點1：分式及最簡分式典例1：（2023春·福建泉州·八年級?？计谀┰谑阶觓-b2，25，a-ba+2b，3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義即可得出答案．【詳解】解：分式有：a-ba+2b，3m共故選：B．【點睛】本題考查了分式的定義，掌握分式的分母中含有字母是解題的關(guān)鍵，注意π是數(shù)字．【變式1】（2023春·福建漳州·八年級?？茧A段練習(xí)）下列各式中：x+y2，-3ba，1x+y，A．5 B．4. C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)分式的定義即可答題．【詳解】解：由分式的定義判斷，僅有-3ba，故選：D．【點睛】本題考查分式的定義：形如AB（A、B表示整式，B不為0且含有字母）的式子叫做分式，判斷分式的關(guān)鍵是分母中必須含有字母；易錯點是π是作為具體數(shù)值的數(shù)字而不作字母，如3+y【變式2】（2023春·福建福州·八年級?？奸_學(xué)考試）下列分式中，最簡分式是（

）A．42x B．2xx2+1 C．【答案】B【分析】一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式．根據(jù)最簡分式的定義逐項分析判斷即可．【詳解】解：A.42x的分子和分母有公因式2B.2xxC.x-1x2-1D.x-11-x的分子和分母有公因式(x-1)故選：B．【點睛】本題主要考查了最簡分式的知識，理解并掌握最簡分式的定義是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·福建泉州·八年級?？计谥校┫铝懈鞣质街惺亲詈喎质降氖牵?/p>

）A．12x-y15x+y B．x2+y【答案】B【分析】最簡分式是分子，分母中不含有公因式，不能再約分的分式．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無公因式．如果有互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【詳解】解：A、12x-yB、x2C、x2D、x2故選B．【點睛】本題考查了最簡分式，分式的化簡過程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較易忽視的問題．在解題中一定要引起注意．考點2：分式有意義的條件典例2：（2023春·福建福州·八年級?？奸_學(xué)考試）分式y(tǒng)+1x+1有意義的條件是（

A．x=1 B．x≠1 C．x=-1【答案】D【分析】分式有意義的條件是分母不等于零，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：若分式y(tǒng)+1x+1則有x+1≠0，解得x≠-1．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，理解并掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期末）要使分式x+1x-2有意義，則x應(yīng)滿足的條件是（

A．x≠2 B．x≠0 C．x≠-1 D．x≠-2【答案】A【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于零進行求解即可．【詳解】解：依題意得：x-2≠0，解得x≠2．故選：A【點睛】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．【變式2】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┫铝蟹质街?，無論x取何值，分式總有意義的是（

）A．x+3x B．12x2+1 C【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0進行逐項判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)x≠0時，x+3x有意義，故選項AB、∵2x2+1＞0，∴無論x取何值，12x2C、當(dāng)x≠0時，1x2有意義，故選項D、當(dāng)x≠－1時，x3+1≠0，1x3+1故選：B．【點睛】本題考查分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解答的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·八年級課時練習(xí)）要使分式x+1(x+1)(x-2)有意義，則x應(yīng)滿足(

A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠﹣1且x≠2【答案】D【詳解】試題分析：當(dāng)（x+1）（x-2）≠0時分式x+1(x+1)(x-2)有意義，所以x≠-1且x≠2，故選D考點：分式有意義的條件．考點3：分式值為0的條件典例3：（2023春·福建泉州·八年級?？计谥校┤舴质絰2-1x-1的值為零，則xA．0 B．1 C．-1 D．±1【答案】C【分析】根據(jù)分式值為0的條件是分母不為0，分子為0進行求解即可．【詳解】解：∵分式x2∴x2∴x=-1故選：C．【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分母不為0，分子為0是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)x=2時，x+1x-2的值為零 B．當(dāng)x為任意實數(shù)時，3C．無論x為何值，3x+1不可能得整數(shù)值 D．當(dāng)x≠3時，x-3【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當(dāng)x=2時，x+1x-2B、當(dāng)x為任意實數(shù)時，3xC、當(dāng)x=0或2時，3x+1D、當(dāng)x≠0時，x-3x故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．【變式2】（2011春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）若分式x2-42x-4的值為零，則x?等于（

A．2? B．-2? C．±2? D．0?【答案】B【分析】根據(jù)分式的值是0的條件是：分子為0，分母不為0．【詳解】解：∵x2∴x=±2?，當(dāng)x=2?時，2x-4=0?，∴x=2?不滿足條件．當(dāng)x=-2?時，2x-4≠0?，∴?當(dāng)x=-2?時分式的值是0?．故選：B?．【點睛】本題考查了分式值為零的條件，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．【變式3】（2022春·福建泉州·八年級校考期中）若分式2x-1x2+5的值為正數(shù)，則xA．x>12 B．x<12 C．x≥【答案】A【分析】由偶次方的性質(zhì)可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值為正數(shù)可知2x-1＞0，最后解不等式即可．【詳解】∵x2+5>0∴2x-1>0解得x>故選A【點睛】本題考查了分式的值，解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)偶次方的性質(zhì)得到x2+5＞0．考點4：分式的基本性質(zhì)典例4：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）不改變分式的值，將分式-0.2x-1-0.3x+0.5中的分子與分母的各項系數(shù)化為整數(shù)，且第一項系數(shù)都是正整數(shù)，正確的是（

A．2x+13x-5 B．2x-103x+5 C．2x+103x+5【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：-0.2x-1-0.3x+0.5故選：D【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用分式的分子、分母同乘以一個不等于0的數(shù)，分式的值不變來解決問題．【變式1】（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃握_的是（

）A．a(chǎn)2-0.2aa2-0.3a3=a【答案】C【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)再逐一分析判斷即可．【詳解】解：a2-0.2aax+1x-y=--x-11-12ab2-a故選C【點睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，分式的約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）如果把分式3x+2yx+y中的x，y的值都擴大為原來的3倍，A．?dāng)U大為原來的3倍 B．縮小為原來的13 C．?dāng)U大為原來的9倍 D【答案】D【分析】把分式3x+2yx+y中的x，y的值都擴大為原來的3倍，可得3×3x+2×3y【詳解】把分式3x+2yx+y中的x，y的值都擴大為原來的33×3x+2×3y3x+3y故選：D．【點睛】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，牢記分式的基本性質(zhì)（分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變）是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）不改變分式-3x+1-x2A．3x+1x2-7x+2C．3x-1x2-7x+2【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意可知將分式的分子分母同時乘-1得：-3x+1-故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，分式的基本性質(zhì)是分手的分子分母同時乘或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．考點5：利用分式基本性質(zhì)求值典例5：（2022秋·浙江·七年級?？计谥校┮阎獂2-3x-4=0，則分式xxA．2 B．5 C．12 D．【答案】C【分析】先對分式xx2-x-4【詳解】解：∵x2∴x-4∴xx故選C．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·山西太原·八年級山西實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知1a-1b=5A．－1 B．－7 C．73 D．【答案】A【分析】由1a-1b=5【詳解】解：∵1a∴a-b=-5ab，∴3a+8ab-3b2ab-a+b故選：A【點睛】此題考查了分式的求值，熟練掌握分式的運算法則和整體代入是解題法關(guān)鍵．【變式2】（2022春·四川內(nèi)江·八年級威遠中學(xué)校?？计谥校┮阎?a-1b=12A．12 B．-12 C．2【答案】C【分析】將條件變形為b-a=1【詳解】解：∵1a∴b-a=∴ab故選：C【點睛】本題主要考查了分式的化簡，將條件變形為b-a=1【變式3】（2022秋·湖北荊州·八年級期末）已知x+1x=2，則xA．14 B．4 C．16 D【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式可得x2+1【詳解】解：∵x+1∴兩邊同時平方得：x2∴x2故選A．【點睛】本題主要考查分式的性質(zhì)及完全平方公式，熟練掌握分式的性質(zhì)及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．考點6：分式的化簡求值典例6：（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┫然啠?-4x+3÷x2-2x+1x+3再從-3【答案】1x-1，【分析】先對括號內(nèi)進行通分運算，同時對分子、分母進行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進行約分，結(jié)果化為最簡分式或整式，排除使得分式無意義的值，然后代值計算，即可求解．【詳解】解：原式==1∵x+3≠0，x-1≠0，x≠-3，x≠1，∴x取2，當(dāng)x=2時，原式=1【點睛】本題考查了分式化簡求值，掌握分式化簡的步驟，排除分式無意義的數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡5a-2-a-2÷a2-6a+9a-2，再從0【答案】-3+aa-3【分析】先對括號內(nèi)進行通分運算，同時對分子、分母進行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進行約分，結(jié)果化為最簡分式或整式，排除使得分式無意義的值，然后代值計算，即可求解．【詳解】解：原式====-3+a∵因為a≠3,a≠2，∴取a=0，則原式=-=-3【點睛】本題考查了分式化簡求值，掌握分式化簡的步驟，排除分式無意義的數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·河南開封·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡，再求值：1+1-xx+1÷【答案】x+1x-1，【分析】先計算分式的混合運算，再將字母的值代入求值．【詳解】解：原式===x+1當(dāng)x=2時，原式=2+1【點睛】此題考查了分式的化簡求值，正確掌握分式混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）課堂上，劉老師給同學(xué)們出了這樣一道題：當(dāng)x=2023時，求x2-2x+1x2-1【答案】見解析【分析】根據(jù)分式的除法法則，對式子進行化簡求值，即可．【詳解】∵x==1∴這個代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，∴小明把x=2023抄寫成了x=2013，得出的結(jié)果與正確答案是一致的．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的乘除運算，平方差和完全平方公式的運用．考點7：解分式方程典例7：（2023春·河北秦皇島·八年級校考開學(xué)考試）解方程：2x-2【答案】0【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗即可．【詳解】解：去分母，得：2x-2+x-2去括號，得：2x-2+x移項，合并，得：x=0；經(jīng)檢驗，x=0是原方程的解．∴方程的解為：x=0．【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河北石家莊·八年級?？奸_學(xué)考試）解分式方程：(1)xx-2(2)3-xx-4【答案】(1)x=6(2)無解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：去分母得：x2去括號得：x2移項得：x2合并同類項得：-x=-6，系數(shù)化為1得：x=6，檢驗，當(dāng)x=6時，xx-2∴原分式方程的解為：x=6（2）解：去分母得：3-x=-1-2x-4去括號得：3-x=-1-2x+8，移項得：-x+2x=-1+8-3，合并同類項得：x=4，檢驗，當(dāng)x=4時，x-4=4-4=0，∴原分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意檢驗．【變式2】（2022春·福建寧德·九年級?？茧A段練習(xí)）解分式方程：1-xx-2【答案】無解【分析】將分式方程化為整式方程，然后求整式方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】解：1-xx-2兩邊同時乘以x-2得，1-x=-1-2x-2去括號得，1-x=-1-2x+4，移項合并得，x=2，檢驗，將x=2代入x-2=0，不是原分式方程的根，∴方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵在于正確運算．【變式3】（2023秋·河南周口·八年級校聯(lián)考期末）解分式方程：(1)1-xx-2(2)5x【答案】(1)x=1(2)x=【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程，檢驗是否是增根即可得到答案；（2）先去分母，再解一元一次方程，檢驗是否是增根即可得到答案；【詳解】（1）解：方程兩邊乘x-2，得1-x=-2-2(x-2)，解得x=1，檢驗：當(dāng)x=1時，x-2≠0，∴原分式方程的解為x=1；（2）解：方程兩邊乘x(x+1)(x-1)，得5(x-1)-(x+1)=0，解得x=3檢驗：當(dāng)x=32時，∴原分式方程的解為x=3【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是注意檢驗是否為增根．考點8：分式方程解的應(yīng)用典例8：（2022春·上海·六年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程x-5-x4=x-a【答案】0；1；2【分析】根據(jù)分式方程求解步驟得到關(guān)于方程的解，再根據(jù)題意進行判斷即可求解；【詳解】兩邊同時乘以4得：4x-5+x=2x-2a，移項得：4x+x-2x=5-2a，化簡得：3x=5-2a，解得：x=5-2a∴5-2a3兩邊×3，得：5-2a≥0，解之得：a≤5∴a的值為0，1，2．【點睛】本題主要考查知道分式方程的解情況求參數(shù)，掌握分式方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·山西晉城·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程1x-1(1)若分式方程的解為x=2，求k的值．(2)若分式方程有正數(shù)解，求k的取值范圍．【答案】(1)k=-2(2)k<2且k≠0【分析】（1）將x=2代入方程，即可求出k的值；（2）先解分式方程，得x=-k+22，再根據(jù)方程有正數(shù)解以及分母不為0，即可求出【詳解】（1）解：將x=2代入1x-1得12-1即1+2=-k-1解得k=-2；（2）解：將1x-1得1+2x-1解得x=-k+2因為分式方程有正數(shù)解，則x>0，即-k+22所以k<2，又因為分母不為0，即x≠1，那么-k+22所以k≠0，故k<2且k≠0．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·安徽蕪湖·八年級蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谀┤魯?shù)a使關(guān)于x的不等式組x-12<1+x35x-2>x+a有且只有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y【答案】1【分析】解不等式組，得到不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)判斷a的取值范圍，解分式方程，用含有a的式子表示y，根據(jù)解的非負性求出a的取值范圍，確定符合條件的整數(shù)a，相加即可．【詳解】解：x-12解①得，x<5；解②得，x≥a+2∵不等式組有且只有四個整數(shù)解，∴不等式組的解集為a+24≤x<5，整數(shù)解為：1，2，3，∴0<a+2解得，-2<a≤2；解分式方程得，y=2-a；∵方程的解為非負數(shù)，且2-a≠1∴2-a≥0；即a≤2；綜上：-2<a≤2且a≠1∵a是整數(shù)，∴a=-1,0,2；∴-1+0+2=1．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程，根據(jù)題目條件確定a的取值范圍，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程x+3x-3+ax3-x=1有正整數(shù)解，且關(guān)于y【答案】1，3，6【分析】由不等式組2y-55<2a-y-1≤0有兩個奇數(shù)解，可求得a≤6，由x+3x-3【詳解】解：根據(jù)題意解不等式組2y-5得a-1≤y<15∵關(guān)于y的不等式組至少有兩個奇數(shù)解，∴a-1≤5，解得a≤6．由x+3x-3解得x=6∵x-3≠0，∴x≠3．∴a≠2．∵方程有正整數(shù)解，且a為整數(shù)，∴a＝1，3，6．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．考點9：分式方程解的增根典例9：（2023春·河南駐馬店·八年級校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程mx2-4【答案】m=-8或m=-12【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出使最簡公分母的值為0的未知數(shù)的值，代入整式方程進行求解即可．【詳解】解：分式方程去分母，得：m+2x+2整理，得：x-10=m，∵分式方程有增根，∴x+2x-2∴x=2或x=-2，當(dāng)x=2時，m=x-10=-8；當(dāng)x=-2時，m=-2-10=-12；∴m=-8或m=-12．【點睛】本題考查分式方程有增根的問題．熟練掌握增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）關(guān)于x的分式方程ax-1(1)若此方程有增根，求a的值(2)若此方程解為正數(shù)，求a的取值范圍．【答案】(1)a=2；(2)a>-2且a≠0．【分析】（1）方程兩邊都乘以最簡公分母x-1，把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出的x的值，然后代入進行計算即可求出a的值；（2）解分式方程得x=2+a2，根據(jù)方程的解為正數(shù)得出2+a2【詳解】（1）解：方程兩邊都乘以x-1得，a+x-3∵分式方程有增根，∴x-1=0，解得x=1，∴a+1-3解得a=2；（2）解：方程兩邊都乘以x-1得，a+x-3解得x=2+a∵方程的根為正數(shù)，∴2+a2∴a>-2且a≠0．【點睛】本題考查了分式方程解的情況，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程ax+bx-1=b，其中a，b均為整數(shù)且(1)若方程有增根，則a，b滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【答案】(1)a+b=0(2)-1或8或9【分析】（1）由分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值即為增根；（2）將x=a代入ax+bx-1=b求得b=a+2+4a-2，根據(jù)題意可得a-2=±1或-2或【詳解】（1）解：由分式方程有增根，得到x-1=0，解得：x=1，將分式方程化為整式方程：ax+b=bx-1整理得：a-bx+2b=0將x=1代入a-bx+2b=0得：a+b=0即若方程有增根，則a+b=0．（2）解：∵x=a是方程的解，將x=a代入ax+bx-1=b得：整理得：a2∴b=a∴b=a2∵a，b均為整數(shù)且a≠0，∴a-2=±1或-2或±4，當(dāng)a-2=-1時，即a=1，b=a當(dāng)a-2=1時，即a=3，b=a當(dāng)a-2=2時，即a=4，b=a當(dāng)a-2=-4時，即a=-2，b=a當(dāng)a-2=4時，即a=6，b=a綜上，b的值為-1或8或9．【點睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式3】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程x-ax-2(1)若分式方程有增根，求a的值；(2)若分式方程無解，求a的值．【答案】(1)a=2；(2)a的值為-3或2．【分析】（1）先將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根，可得到(x+3)(x-3)=0，然后代入整式方程，即可求解；（2）根據(jù)方程無解，可分兩種情況：原分式方程有增根和整式方程無解，即可求解．【詳解】（1）解：x-a方程兩邊同乘x(x-2)得x整理可得：(a+3)x=10∵原方程有增根∴x(x-2)=0，即x=0或x=2，當(dāng)x=0時，(a+3)x≠10，故x=0應(yīng)舍去，當(dāng)x=2時，(a+3)×2=10，解得a=2，∴a=2時，方程有增根；（2）解：由（1）知：a=2時，原方程無解當(dāng)a+3=0，方程(a+3)x=10無解∴a=-3時，原方程無解綜上所述，a的值為-3或2．【點睛】此題考查了分式方程的增根，理解增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值是解題的關(guān)鍵．考點10：分式方程應(yīng)用——行程問題典例10：（2023春·河北秦皇島·八年級?？奸_學(xué)考試）列方程解應(yīng)用題八年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．【答案】騎車學(xué)生的速度為15【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，根據(jù)汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2x10x解的：x=15，經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解．答：騎車學(xué)生的速度為15km/h【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出分式方程．【變式1】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）A、B兩地的距離是80千米，一輛公共汽車從A地駛出3小時后，一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達B地，求兩車的速度．【答案】公共汽車的速度是20km/h，小汽車的速度是60km/h.【詳解】解：設(shè)公共汽車的速度為x公里/小時，則小汽車的速度是3x公里/小時．依題意，得80x解，得x=20．經(jīng)檢驗x=20是原方程的根，且符合題意．∴3x=60．答：公共汽車和小汽車的速度分別是20公里/時，60公里/時．考點：分式方程的應(yīng)用．【變式2】（2022·江蘇鹽城·校考一模）某中學(xué)九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的3倍，求騎車學(xué)生的速度．【答案】20km/h【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為3xkm/h，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為3xkm/h，根據(jù)題意得：10x解得：x=20，經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解，且符合題意，答：騎車學(xué)生的速度為20km/h．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）周末學(xué)校組織七、八年級學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，去相距12km的革命傳統(tǒng)教育基地研學(xué)，兩個年級同時出發(fā)，八年級全程騎自行車，七年級先步行1km，剩余11km乘公交車，結(jié)果兩個年級同時到達，已知七年級步行的速度比八年級騎自行車的速度每小時慢10km，而七年級乘公交車的速度比八年級騎自行車的速度每小時快10km，求八年級同學(xué)騎自行車的速度．【答案】12km【分析】設(shè)八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時xkm，則七年級步行的速度為每小時（x－10）km，七年級乘公交車的速度為每小時（x＋10）km，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時xkm，則七年級步行的速度為每小時（x－10）km，七年級乘公交車的速度為每小時（x＋10）km，由題意得：12x解得：x＝12，經(jīng)檢驗，x＝12是原方程的解，答：八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時12km．【點睛】此題考查了分式方程應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是正確分析出題目中的等量關(guān)系，最后不要忘了檢驗．考點11：分式方程應(yīng)用——工程問題典例11：（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）為改善生態(tài)環(huán)境，促進國土綠化，某市甲、乙兩支志愿者隊伍分別參加了兩地的植樹活動．(1)甲隊在A地植樹，如果每人種4棵，還剩下66棵樹苗；如果每人種5棵，則缺少30棵樹苗．求甲隊志愿者的人數(shù)和A地需種植的樹苗數(shù)．(2)乙隊在B地植樹，原計劃植樹1200棵，由于另有新加入的志愿者共同參與植樹，每日比原計劃多種14，結(jié)果提前3【答案】(1)甲隊志愿者有96人，A地需種植的樹苗數(shù)為450棵(2)原計劃每天植樹80棵【分析】（1）根據(jù)“x人，每人種4棵的樹苗數(shù)=總數(shù)量+66；x人，每人種5棵的樹苗數(shù)=總數(shù)量-30”列方程組，解出可得答案；（2）根據(jù)原計劃植樹的天數(shù)-現(xiàn)在植樹的天數(shù)=3列分式方程，解出可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)甲隊志愿者有x人，A地需種植的樹苗數(shù)為y棵；由題意得：4x=y-66解得：x=96答：甲隊志愿者有96人，A地需種植的樹苗數(shù)為450棵；（2）設(shè)原計劃每天植樹m棵；由題意得：1200解得：m=80經(jīng)檢驗，m=80是原方程的解，且符合題意，答：原計劃每天植樹80棵．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組和分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程或方程組．【變式1】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）某村要修建一條長為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊前來應(yīng)聘，村委會派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊的情況，獲得如下信息．信息一：甲隊單獨施工完成工程比乙隊單獨施工完成工程多用10天；信息二：乙隊每天施工的數(shù)量是甲隊每天施工的數(shù)量的1.5倍．(1)根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊每天分別修多少米道路？(2)村委會將工程交給乙隊，要求25天內(nèi)完成．幾天后因乙隊接到搶險任務(wù)，經(jīng)村委會同意，就將余下工程交給甲隊．那么在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊至少要施工多少天，才能按照村委會要求按時完成？【答案】(1)甲施工隊每天修40米道路，乙施工隊每天修60米道路；(2)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊至少要施工10天，才能按照村委會要求按時完成．【分析】（1）設(shè)甲施工隊每天修x米道路，則乙施工隊每天修1.5x米道路，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結(jié)合甲隊單獨施工完成工程比乙隊單獨施工完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出甲施工隊每天修路的長度，再將其代入1.5x中，即可求出乙施工隊每天修路的長度；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊施工y天，根據(jù)要求25天內(nèi)完成修路任務(wù)，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊每天修x米道路，則乙施工隊每天修1.5x米道路，根據(jù)題意得：1200x解得：x=40，經(jīng)檢驗，x=40是所列方程的解，且符合題意，∴1.5x=1.5×40=60．答：甲施工隊每天修40米道路，乙施工隊每天修60米道路；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊施工y天，根據(jù)題意得：4025-y解得：y≥10，∴y的最小值為10．答：在轉(zhuǎn)交給甲隊之前乙隊至少要施工10天，才能按照村委會要求按時完成．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式2】（2022春·上海浦東新·八年級校考期中）某市一個公園要改造維修，若由甲、乙兩個工程隊合作，12天可以完成；若甲工程隊先單獨做5天后，乙隊也來參加，兩隊再合作9天可以完工，問若兩隊單獨完成這項工程各需幾天?【答案】甲單獨完成此項工程需要20天，乙單獨完成此項工程需要30天【分析】可以設(shè)甲、乙單獨完成此項工程各自需要x，y天，根據(jù)甲、乙兩人合作，12天可以完成；甲獨做5天后，乙隊也來參加，兩隊再合作9天可以完工，即可列方程組求得x，y的值；【詳解】解：設(shè)甲、乙單獨完成此項工程各自需要x，y天，根據(jù)題意得：1x+1經(jīng)檢驗x=20y=30答：甲單獨完成此項工程需要20天，乙單獨完成此項工程需要30天．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題目中的相等關(guān)系，理解工作時間、工作量、工作效率之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谥校┠撤b加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18【答案】原計劃每天加工20套運動服【分析】根據(jù)題意：“共用了18天完成全部任務(wù)”；等量關(guān)系為：采用新技術(shù)前用的時間+采用新技術(shù)后所用的時間=18．【詳解】設(shè)原計劃每天加工x套運動服．根據(jù)題意，得160x解得：x=20．經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解，且符合題意．答：原計劃每天加工20套運動服．【點睛】此題考查分式方程在實際問題中的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意分式方程需要驗根．考點12：分式方程應(yīng)用——銷售問題典例12：（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）某服裝店老板到廠家選購甲、乙兩種品牌的童裝準(zhǔn)備進行銷售．每套甲品牌的童裝比乙品牌的童裝進價多25元，用2000元購進甲種品牌的童裝數(shù)量是用750元購進的乙種品牌的童裝數(shù)量的2倍．(1)求甲、乙兩種品牌的童裝每套進價分別是多少元？(2)若甲品牌童裝每套的售價為130元，乙品牌童裝每套售價為95元，服裝店老板去進貨時決定購進甲品牌的童裝數(shù)量是乙品牌童裝數(shù)量的2倍還多4套，兩種童裝全部售出后要使總利潤不少于1230元，至少購進甲品牌的童裝多少套？【答案】(1)甲品牌每套進價是100元，乙品牌每套進價75元(2)至少購進甲品牌的童裝32套【分析】（1）設(shè)甲品牌每套進價是x元，乙品牌每套進價（x-25）元，根據(jù)“用2000元購進甲種品牌的童裝數(shù)量是用750元購進的乙種品牌的童裝數(shù)量的2倍”列出方程，解方程即可；（2）設(shè)購進甲品牌童裝a套，則購進乙品牌童裝a-42套，根據(jù)“兩種童裝全部售出后要使總利潤不少于1230元”【詳解】（1）解：設(shè)甲品牌每套進價是x元，乙品牌每套進價（x-25）元，根據(jù)題意得，2000x解得x=100，經(jīng)檢驗，x=100是原方程的解，100-25=75（元），答：甲品牌每套進價是100元，乙品牌每套進價75元；（2）設(shè)購進甲品牌童裝a套，則購進乙品牌童裝a-42130-100a+解得a≥31.75，答：至少購進甲品牌的童裝32套．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·吉林長春·八年級?？茧A段練習(xí)）今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復(fù)興有我”的中小學(xué)課本劇比賽．某隊伍為參賽需租用一批服裝，經(jīng)了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用600元在甲商店租用服裝的數(shù)量與用500元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等．求在甲、乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？【答案】甲商店租用的服裝每套為60元，乙商店租用的服裝每套為50元【分析】設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套x+10元，根據(jù)用600元在甲商店租用服裝的數(shù)量與用500元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等，列出分式方程，進行求解即可．【詳解】解：設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套x+10元，由題意，得600x+10=500經(jīng)檢驗，x=50是該分式方程的解，且符合題意，x+10=60．答：甲商店租用的服裝每套為60元，乙商店租用的服裝每套為50元．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程．【變式2】（2023秋·陜西西安·九年級校考開學(xué)考試）某水果店第一次用1200元購進一批大櫻桃，很快售完；又用2500元購進第二批大櫻桃，所購公斤數(shù)是第一批的2倍，但進價比第一批每公斤多了5元．(1)求第一批大櫻桃每公斤進價多少元？(2)若以每公斤150元的價格銷售第二批大櫻桃，售出80%后，為了盡快售完，決定打折促銷，要使第二批大櫻桃的銷售利潤不少于320【答案】(1)第一批大櫻桃每公斤進價為120元．(2)剩余的大櫻桃每公斤售價至多打9折【分析】（1）設(shè)第一批大櫻桃每公斤進價x元，根據(jù)大櫻桃的進價保持不變，列出分式方程求解即可得到答案；（2）設(shè)剩余的大櫻桃每公斤售價打y折，銷售利潤不少于320元列出不等式，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)第一批大櫻桃每公斤進價x元，根據(jù)題意，得：1200解得x=120，經(jīng)檢驗，x=120是原方程的解且符合題意．答：第一批大櫻桃每公斤進價為120元．（2）解：設(shè)剩余的大櫻桃每公斤售價打y折．根據(jù)題意，得：2500120+5解得y≥7，答：剩余大櫻桃每公斤售價至多打9折．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題目意思列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）喜餅是海陽地方特產(chǎn)，具有獨特風(fēng)味，寓意喜慶團園，甲，乙兩人去市場采購相同價格的同種禮盒裝喜餅，甲用2400元購買的數(shù)量比乙用3000元購買的數(shù)量少10盒．(1)利用分式方程，求甲購買該種禮盒裝喜餅的數(shù)量；(2)甲，乙兩人再去采購該種禮盒裝喜餅時，恰逢店慶促銷，單價比上次少了20元/盒．甲購買喜餅的總價與上次相同，乙購買喜餅的數(shù)量與上次相同，則甲兩次購買這種喜餅的平均單價是元/盒，乙兩次購買這種喜餅的平均單價是元/盒（直接寫出答案）．【答案】(1)甲購買40盒該種禮盒裝喜餅(2)48，50【分析】（1）設(shè)甲購買x盒該種禮盒裝喜餅，則乙購買x+10盒該種禮盒裝喜餅，利用單價=總價÷數(shù)量，結(jié)合該種禮盒裝喜餅的單價不變，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論；（2）利用單價=總價÷數(shù)量，可求出促銷前該種禮盒裝喜餅的單價，結(jié)合促銷時單價比上次少了20元/盒，可求出促銷時該種禮盒裝喜餅的單價，利用數(shù)量=總價÷單價，可求出促銷時甲、乙購買該種禮盒裝喜餅的數(shù)量，再利用平均單價=總價之和÷兩次購買數(shù)量之和，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲購買x盒該種禮盒裝喜餅，則乙購買x+10盒該種禮盒裝喜餅，根據(jù)題意得：2400x解得：x=40，經(jīng)檢驗，x=40是所列方程的解．答：甲購買40盒該種禮盒裝喜餅；（2）促銷前該種禮盒裝喜餅的單價為2400÷40=60（元/盒），促銷時該種禮盒裝喜餅的單價為60-20=40（元/盒），促銷時甲購買該種禮盒裝喜餅的數(shù)量為2400÷40=60（盒），促銷時乙購買該種禮盒裝喜餅的數(shù)量為40+10=50（盒），甲兩次購買這種喜餅的平均單價是2400+240040+60=48（元乙兩次購買這種喜餅的平均單價是3000+40×5050+50=50（元故答案為：48，50．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出甲、乙兩次購買這種喜餅的平均單價．考點13：分式方程應(yīng)用——方案問題典例13：（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降，今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．(1)今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？(2)為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，且A款汽車的數(shù)量不少于6輛，有幾種進貨方案？【答案】(1)今年5月份A款汽車每輛售價9萬元(2)共有5種進貨方案【分析】（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價x萬元，根據(jù)題意可得，去年銷售額100萬元與今年銷售額90萬元所賣的車輛數(shù)量相等，據(jù)此列方程求解；（2）設(shè)A款汽車能購進y輛，則B款汽車能購進(15-y)輛，根據(jù)購車資金不多于105萬元，列不等式求解．【詳解】（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價x萬元，則去年同期每輛售價(x+1)萬元，由題意得：100x+1解得：x=9，經(jīng)檢驗：x=9是原分式方程的解，且符合題意，答：今年6月份A款汽車每輛售價9萬元．（2）設(shè)A款汽車能購進y輛，則B款汽車能購進(15-y)輛，由題意得：7.5y+6(15-y)≤105.，解得：y≤10．∵A款汽車的數(shù)量不少于6輛，故y可以取值：6、7、8、9、10．答：共有5種進貨方案．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列方程和不等式求解．【變式1】（2023春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）為了迎接在杭州舉行的第19屆亞運會，某旅游商店購進若干吉祥物鑰匙扣和明信片，已知吉祥物鑰匙扣的進價為20元/個，明信片的進價為5元/套．一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元．若顧客花180元購買的吉祥物鑰匙扣數(shù)量與花60元購買的明信片數(shù)量相同．(1)求吉祥物鑰匙扣和明信片的售價．(2)為了促銷，商店對吉祥物鑰匙扣進行9折銷售．某顧客同時購買吉祥物鑰匙扣和明信片兩種商品若干件，商家獲毛利潤100元，請問有幾種購買方案．【答案】(1)吉祥物鑰匙扣的售價為30元，明信片的售價為10元(2)有2種購買方案【分析】（1）設(shè)吉祥物鑰匙扣的售價為x元，則明信片的售價為x-20元，根據(jù)題意列出方程求解即可．（2）設(shè)購買吉祥物鑰匙扣m個，明信片n個，求方程的整數(shù)解即可．【詳解】（1）設(shè)吉祥物鑰匙扣的售價為x元，則明信片的售價為x-20元，由題意得：180x解得：x=30，經(jīng)檢驗，x=30是原方程的解，且符合題意，則x-20=10；答：吉祥物鑰匙扣的售價為30元，明信片的售價為10元．（2）設(shè)購買吉祥物鑰匙扣m個，明信片n個．