小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)第一講速算與巧算〔三〕例1計(jì)算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成1000—1去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝〔10－1〕＋〔100-1〕＋〔1000－1〕＋〔10000-1〕＋〔100000-1〕＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2計(jì)算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.〔如199＋1＝200〕199999＋19999＋1999＋199＋19＝〔19999＋1〕＋〔19999＋1〕＋〔1999＋1〕＋〔199＋1〕＋〔19＋1〕－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3計(jì)算〔1＋3＋5＋…＋1989〕－〔2＋4＋6＋…＋1988〕解法2：先把兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從1到1989共有995個(gè)奇數(shù)，湊成497個(gè)1990，還剩下995，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個(gè)偶數(shù)，湊成497個(gè)1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4計(jì)算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準(zhǔn)數(shù).389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，那么有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5計(jì)算〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6解：認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號(hào)中6個(gè)相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準(zhǔn)數(shù).〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6＝〔4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3〕÷6＝〔4940×6＋6〕÷6〔這里沒有把4940×6先算出來，而是運(yùn)＝4940×6÷6＋6÷6運(yùn)用了除法中的巧算方法〕＝4940＋1＝4941.例6計(jì)算54＋99×99＋45解：此題外表上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡算了.54＋99×99＋45＝〔54＋45〕＋99×99＝99＋99×99＝99×〔1＋99〕＝99×100＝9900.例7計(jì)算9999×2222＋3333×3334解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯(cuò).如果將9999變?yōu)?333×3，規(guī)律就出現(xiàn)了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×〔6666＋3334〕＝3333×10000＝33330000.例81999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×〔1＋999〕＝1000＋999×1000＝1000×〔999＋1〕＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×〔1000-1〕＝1999＋999000-999＝〔1999-999〕＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少個(gè)零.總之，要想在計(jì)算中到達(dá)準(zhǔn)確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動(dòng)，要多練習(xí)，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.習(xí)題一1.計(jì)算899998＋89998＋8998＋898＋882.計(jì)算799999＋79999＋7999＋799＋793.計(jì)算〔1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2〕－〔1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987〕4.計(jì)算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，依次類推.從1點(diǎn)到12點(diǎn)這12個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？6.求出從1～25的全體自然數(shù)之和.7.計(jì)算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.計(jì)算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.計(jì)算〔125×99＋125〕×1610.計(jì)算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.計(jì)算999999×7805312.兩個(gè)10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中，有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？第二講速算與巧算〔四〕例1比擬下面兩個(gè)積的大?。篈＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.解：A＝987654321×123456789＝987654321×〔123456788＋1〕＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝〔987654321＋1〕×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因?yàn)?87654321＞123456788，所以A＞B.例2不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.241×249242×248243×247244×246245×245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241×249＝〔240＋1〕×〔250—1〕＝240×250＋1×9；242×248＝〔240＋2〕×〔250—2〕＝240×250＋2×8；243×247＝〔240＋3〕×〔250—3〕＝240×250＋3×7；244×246＝〔240＋4〕×〔250—4〕＝240×250＋4×6；245×245＝〔240＋5〕×〔250—5〕＝240×250＋5×5.恒等變形以后的各式有相同的局部240×250，又有不同的局部1×9，2×8，3×7，4×6，5×5，由此很容易看出245×245的積最大.一般說來，將一個(gè)整數(shù)拆成兩局部〔或兩個(gè)整數(shù)〕，兩局部的差值越小時(shí)，這兩局部的乘積越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5那么5×5＝25積最大.例3求1966、1976、1986、1996、2006五個(gè)數(shù)的總和.解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10，可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為：1986×5＝9930.例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對(duì)于2n＋1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是這2n＋1個(gè)自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.例5將1～1001各數(shù)按下面格式排列：一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說明理由.解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).①1986不是9的倍數(shù)，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.這個(gè)例題是所謂的“月歷卡〞上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).習(xí)題二1.右圖的30個(gè)方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個(gè)格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和〔如方格中a＝14＋17＝31〕.右圖填滿后，這30個(gè)數(shù)的總和是多少？2.有兩個(gè)算式：①98765×98769，②98766×98768，請(qǐng)先不要計(jì)算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比擬出哪個(gè)得數(shù)大，大多少？3.比擬568×764和567×765哪個(gè)積大？4.在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是85，求其中最大和最小的數(shù).6.45是從小到大五個(gè)整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請(qǐng)你寫出這五個(gè)數(shù).7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個(gè)數(shù)表里，把長的方面3個(gè)數(shù)，寬的方面2個(gè)數(shù)，一共6個(gè)數(shù)用長方形框圍起來，這6個(gè)數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個(gè)數(shù)的和為429，問此時(shí)長方形框子里最大的數(shù)是多少？第三講倒推法的妙用在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所表達(dá)應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達(dá)過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用□來表示，根據(jù)題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10〕÷7＝56÷4答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111－〔70—10〕＋〔7—1〕＝57答：正確的答案是57.例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等〞入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6—8＝14〔只〕④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16—6＝10〔只〕習(xí)題三1.某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).2.生產(chǎn)一批零件共560個(gè)，師徒二人合作用4天做完.師傅每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個(gè)？3.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時(shí)哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準(zhǔn)備挑幾塊磚？4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。〞你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？第四講行程問題〔一〕我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的根本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的根底上，主要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題——反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來具體看幾個(gè)例子.例1甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？分析出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10〔千米〕，即兩人的速度的和〔簡稱速度和〕，所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.解：30÷〔6＋4〕＝30÷10＝3〔小時(shí)〕答：3小時(shí)后兩人相遇.例1是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)根本數(shù)量關(guān)系：路程＝速度和×?xí)r間.例2一列貨車早晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？分析貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)〔45＋15〕千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了〔12—6〕小時(shí)，而客車已行〔12—6－2〕小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離：45×〔12—6〕＋〔45＋15〕×〔12—6—2〕＝45×6＋60×4＝510〔千米〕.②客車行完全程所需時(shí)間：510÷〔45＋15〕＝510÷60＝8.5〔小時(shí)〕.③客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：510—45×〔8.5＋2〕＝510－472.5＝37.5〔千米〕.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.例3兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10〔米〕，乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15〔米〕.此題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)那么可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大〔10＋15〕米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為〔10＋15〕×14＝350〔米〕.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄?，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：〔10＋15〕×14＝350〔米〕答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的根本關(guān)系仍然成立.例4甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？分析甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：①AB間的距離是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.②兩次相遇點(diǎn)的距離為144—48－64＝32〔千米〕.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例5甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？分析甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲走100千米所需的時(shí)間為〔4—1＋4÷2〕＝5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：100÷〔4－1＋4÷2〕＝10O÷5＝20〔千米/小時(shí)〕.乙的速度為：20÷2＝10〔千米/小時(shí)〕.答：甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).例6某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，假設(shè)該列車與另一列長150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？分析解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為〔250—210〕米時(shí)，所用的時(shí)間為〔25—23〕秒.由此可求得列車的車速為〔250—210〕÷〔25—23〕＝20〔米/秒〕.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個(gè)列車的車長為20×25—250＝250〔米〕，從而可求出錯(cuò)車時(shí)間.解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000÷3600＝20〔米/秒〕，某列車的速度為：〔25O－210〕÷〔25－23〕＝40÷2＝20〔米/秒〕某列車的車長為：20×25-250＝500-250＝250〔米〕，兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：〔250＋150〕÷〔20＋20〕＝400÷40＝10〔秒〕.答：錯(cuò)車時(shí)間為10秒.例7甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時(shí).6小時(shí)，8小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析甲車每小時(shí)比乙車快60-48＝12〔千米〕.那么5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×5＝60〔千米〕.也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12〔千米/小時(shí)〕卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3〔小時(shí)〕才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：〔60×5-12×3〕÷8＝33〔千米/小時(shí)〕.解：卡車的速度：〔60-48〕×5÷〔6－5〕－48＝12〔千米/小時(shí)〕，丙車的速度：〔60×5－12×3〕÷8＝33〔千米/小時(shí)〕，答：丙車的速度為每小時(shí)33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒〞、“千米/小時(shí)〞等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.習(xí)題四1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長時(shí)間相遇？2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲比乙每小時(shí)多行1千米，5小時(shí)后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時(shí).他們二人在乙出后的4小時(shí)相遇，又甲比乙每小時(shí)快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少？6.前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行，速度分別為每小時(shí)40千米和50千米，到達(dá)目的地后立即返回，如此反復(fù)運(yùn)行屢次，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，那么兩車在第三次相遇時(shí)，距礦山多少千米？第五講幾何中的計(jì)數(shù)問題〔一〕一、數(shù)線段我們把直線上兩點(diǎn)間的局部稱為線段，這兩個(gè)點(diǎn)稱為線段的端點(diǎn).線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最根本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對(duì)于了解圖形、分析圖形是很重要的.例1數(shù)一數(shù)以下圖形中各有多少條線段.分析要想使數(shù)出的每一個(gè)圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：略第二種：按照根本線段多少的順序去數(shù).所謂根本線段是指一條大線段中假設(shè)有n個(gè)分點(diǎn)，那么這條大線段就被這n個(gè)分點(diǎn)分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為根本線段.如上頁圖〔2〕中，線段AD上有兩個(gè)分點(diǎn)B、C，這時(shí)分點(diǎn)B、C把AD分成AB、BC、CD三條根本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條根本線段，其次是包含有二條根本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條根本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖〔3〕中線段AE上有三個(gè)分點(diǎn)B、C、D，這樣分點(diǎn)B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條根本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照根本線段多少的順序是：首先有4條根本線段，其次是包含有二條根本線段的有3條，然后是包含有三條根本線段的有2條，最后是包含有4條根本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3〔條〕.②3＋2＋1＝6〔條〕.③4＋3＋2＋1＝10〔條〕.小結(jié)：上述三例說明：要想不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個(gè)規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和，這個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點(diǎn)數(shù)加1或者是線段所有點(diǎn)數(shù)〔包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)〕減1.也就是根本線段的條數(shù).二、數(shù)角例2數(shù)出右圖中總共有多少個(gè)角.例3數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個(gè)角？三、數(shù)三角形例4如右圖中，各個(gè)圖形內(nèi)各有多少個(gè)三角形？小結(jié)：計(jì)算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點(diǎn)數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的根本線段的條數(shù).例5如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個(gè)三角形？分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個(gè)問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中根本線段〔根本三角形〕的條數(shù)，算：就是以根本線段〔根本三角形〕條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和.①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條根本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各分成4條根本線段.所以圖中總共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕.②要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在△AGH中，在GH上有3個(gè)分點(diǎn)，分成根本小三角形有4個(gè).所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔個(gè)〕.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在△ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.解：①在△ABC中共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.習(xí)題五1.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？2.數(shù)一數(shù)以下圖中各有多少角？3.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段，各有多少個(gè)三角形？第六講幾何中的計(jì)數(shù)問題〔二〕我們?cè)谝呀?jīng)學(xué)會(huì)數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的根底上，通過本講學(xué)習(xí)數(shù)長方形，正方形及數(shù)綜合圖形來進(jìn)一步提高觀察和思考問題的能力，學(xué)會(huì)在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問題的規(guī)律和方法.一、數(shù)長方形例1如以下圖，數(shù)一數(shù)以下各圖中長方形的個(gè)數(shù)？分析圖〔Ⅰ〕中長方形的個(gè)數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對(duì)應(yīng)一個(gè)長方形，所以長方形的個(gè)數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長方形個(gè)數(shù)為：4+3+2+1=10〔個(gè)〕.圖〔Ⅱ〕中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3〔條〕，把AB上的每一條線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個(gè)長配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長方形，所以圖〔Ⅱ〕中共有長方形為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個(gè)〕.圖〔Ⅲ〕中，依據(jù)圖〔Ⅱ〕長方形個(gè)數(shù)的方法：可得長方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=60〔個(gè)〕.解：圖〔Ⅰ〕中長方形個(gè)數(shù)為4+3+2+1=10〔個(gè)〕.圖〔Ⅱ〕中長方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個(gè)〕.圖〔Ⅲ〕中長方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=10×6=60〔個(gè)〕.小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個(gè)長方形一邊上有n-1個(gè)分點(diǎn)〔不包括這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)〕，另一邊上有m-1個(gè)分點(diǎn)〔不包括這條邊上的兩個(gè)端點(diǎn)〕，通過這些點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長方形分為許多長方形，這時(shí)長方形的總數(shù)為：〔1+2+3+…+m〕×〔1+2+3+…+n〕.例2如右圖數(shù)一數(shù)圖中長方形的個(gè)數(shù).二、數(shù)正方形例3數(shù)一數(shù)下頁各個(gè)圖中所有正方形的個(gè)數(shù).〔每個(gè)小方格為邊長為1的正方形〕分析三、數(shù)三角形例6如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個(gè)數(shù).分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條根本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6〔個(gè)〕.Ⅱ.以兩條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形只有一個(gè)，記為W②下=1〔個(gè)〕.Ⅲ.以三條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形零個(gè)，記為W③下=0〔個(gè)〕.Ⅳ.以四條根本線段為邊的三角形，只有一個(gè)，記為：W④上=1〔個(gè)〕.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27〔個(gè)〕.按另一種分類情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20〔個(gè)〕.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0那么尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7〔個(gè)〕所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7=27〔個(gè)〕.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止.例7頁圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：〔1〕W①上=8+7+6+5+4=30〔2〕W②上=7+6+5+4=22〔3〕W③上=6+5+4=15〔4〕W④上=5+4=9〔5〕W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80〔個(gè)〕.Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：〔1〕W①下=3+4+5+6+7=25〔2〕W②下=2+3+4+5=14〔3〕W③下=1+2+3=6〔4〕W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46〔個(gè)〕.∴所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=126〔個(gè)〕.四、數(shù)綜合圖形前面我們已對(duì)較根本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對(duì)于較復(fù)雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原那么，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來就一定能把圖形數(shù)清楚了.例7頁圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形.分析圖中有假設(shè)干個(gè)大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個(gè)？解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：Ⅰ.與△ABE相同的三角形共有5個(gè)；Ⅱ.與△ABP相同的三角形共有10個(gè)；Ⅲ.與△ABF相同的三角形共有5個(gè)；Ⅳ.與△AFP相同的三角形共有5個(gè)；Ⅴ.與△ACD相同的三角形共有5個(gè)；Ⅵ.與△AGD相同的三角形共有5個(gè).所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35〔個(gè)〕.習(xí)題六1.以下圖中有多少個(gè)正方形？2.以下圖中有多少個(gè)長方形？4.以下圖中有多少個(gè)長方形？5.以下圖〔1〕、〔2〕中各有多少個(gè)三角形？第七講數(shù)學(xué)競賽試題選講例1計(jì)算：〔1+3+5+…+1989〕-〔2+4+6+…+1988〕〔1988年北京市小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽試題〕解法1：原式=[〔1989+1〕÷2]2-〔1988÷2〕×〔1988÷2+1〕=9952-994×995=995×〔995-994〕=995．解法2：去括號(hào)，得原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988=1+〔3-2〕+〔5-4〕+…+〔1989-1988〕=995．說明：解法1是應(yīng)用兩個(gè)常見的公式：前n個(gè)奇數(shù)的和1+3+5+…+〔2n-1〕=n2．前n個(gè)偶數(shù)的和2+4+6+…+2n=n×〔n+1〕．解法2用適當(dāng)分組方法轉(zhuǎn)化為相同加數(shù)的加法問題，即將低級(jí)運(yùn)算〔加法〕轉(zhuǎn)化為高級(jí)運(yùn)算〔乘法〕．例2計(jì)算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1解：運(yùn)用加法的交換律與結(jié)合律，得原式=〔1+99〕+〔99+1〕+〔2+98〕+〔98+2〕+…+〔50+50〕+100=100×100=10000．說明：由本例可以推廣為一般公式：1+2+3+…+〔n+1〕+n+〔n-1〕+…+3+2+1=n2．例5在下面各數(shù)之間，填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使等式成立：106932=48〔1994年北京市小學(xué)生“迎春杯〞決賽試題〕解：填法不唯一．下面給出幾種常見的填法：10×6-〔9-3〕×2=48；〔10+6〕×〔9-3×2〕=48；10+6×〔9-3〕+2=48；10×〔6+9〕÷3-2=48；〔10+6〕×〔9-3〕÷2=48．說明：在歐美流行一種數(shù)學(xué)游戲：試用4個(gè)給定的自然數(shù)經(jīng)過四那么運(yùn)算的結(jié)果等于24．本例與這種游戲是類似的，它們對(duì)于開展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分有益的．例6右圖中六個(gè)小圓圈中的三個(gè)分別填有15、26、31三個(gè)數(shù)．而這三個(gè)數(shù)分別等于和它相鄰的兩個(gè)空白圓圈里的數(shù)的和，那么，填在三個(gè)空白圓圈里的數(shù)中，最小的一個(gè)數(shù)是______．解：設(shè)15與26之間的圓圈里的數(shù)是a，26與31之間的圓圈里的數(shù)是b，15與31之間的圓圈里的數(shù)是c，依題意，有a+b=26，b+c=31，a+c=15；于是可知2〔a+b+c〕=26+31+25，即a+b+c=36；因此，最小數(shù)是：a=36-31=5．例8如右圖，AB、CD、EF、MN互相平行，那么右圖中梯形的個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)相差多少？解：首先計(jì)算右圖中三角形的個(gè)數(shù)．由于所有三角形都以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)；且以AB或CD或EF或MN上的線段為底的三角形各有：4+3+2+1=10〔個(gè)〕．因此，圖中一共有三角形：10×4=40〔個(gè)〕．其次計(jì)算上圖中梯形的個(gè)數(shù)．由于從AB、CD、EF、MN中任意選出兩條為上、下底時(shí)各有梯形：4+3+2+1=10〔個(gè)〕．而從4條線段中選出兩條線段的不同選法有〔4×3〕÷2=6〔種〕，所以，上頁圖中一共有梯形10×6=60〔個(gè)〕．于是上頁圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)相差60-40=20〔個(gè)〕．習(xí)題七1．計(jì)算：1-2+3-4+5-6+…-98+996．在右圖中所示的三角形三邊之長互不相等，現(xiàn)在要將1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)分別填入三個(gè)頂點(diǎn)及每條邊的中點(diǎn)的圓圈內(nèi)，如果要使每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都等于10，那么符合上述條件的不同填法一共有多少種？8．以下圖〔1〕中每個(gè)小方格都是正方形，那么以下圖〔1〕中大大小小的正方形一共有多少個(gè)？10．某工廠11月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續(xù)派相同人數(shù)的工人到分廠工作，直到月底，總廠還剩工人240人．如果月底統(tǒng)計(jì)總廠工人的工作量是8070個(gè)工作日〔1人工作1天為1個(gè)工作日〕，且無1人缺勤．那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共___人．第八講乘法原理在日常生活中常常會(huì)遇到這樣一些問題，就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用我們將討論的乘法原理來解決．例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會(huì)．其中，他從北京到大連可以乘長途汽車、火車或飛機(jī)，而他從大連到天津卻只想乘船．那么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走．第一步是從北京到大連，有三種走法，即：第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共有下面的三種走法：注意到3×1=3．如果此人到大連后，可以乘船或飛機(jī)到天津，那么他從北京到天津那么有以下的走法：共有六種走法，注意到3×2=6．在上面討論問題的過程中，我們把所有可能的方法一一列舉出來．這種方法叫窮舉法．窮舉法對(duì)于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分兩個(gè)步驟．由窮舉法得到的結(jié)論看到，用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所有的方法數(shù)．一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，其中，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法．這就是乘法原理．例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食〔或先買副食后買主食〕．其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法．故可以由乘法原理解決．解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法．補(bǔ)充說明：由例題可以看出，乘法原理運(yùn)用的范圍是：①這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成；②每個(gè)步驟各有假設(shè)干種不同的方法來完成．這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題．例2右圖中有7個(gè)點(diǎn)和十條線段，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？分析甲蟲要從A點(diǎn)沿線段爬到B點(diǎn)，必經(jīng)過C點(diǎn)，所以，完成這段路分兩步，即由A到C，再由C到B．而由A到C有三種走法，由C到B也有三種走法，所以，由乘法原理便可得到結(jié)論．解：這只甲蟲從A到B共有3×3=9種不同的走法．例3書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？分析要做的事情是從外語、語文書中各取一本．完成它要分兩步：即先取一本外語書〔有6種取法〕，再取一本語文書〔有4種取法〕．(或先取語文書，再取外語書．〕所以，用乘法原理解決．解：從架上各取一本共有6×4=24種不同的取法．例4王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、100米跑、200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問：報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？解：由乘法原理，報(bào)名的結(jié)果共有4×4×4=64種不同的情形．例5由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：①可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？②可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定．所以，每個(gè)問題都可以看成是分三個(gè)步驟來完成．①要求組成不相等的三位數(shù)．所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種不同的取法；個(gè)位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4=48個(gè)不相等的三位數(shù)．②要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下0和其余兩個(gè)數(shù)字，故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3×3×2=18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．解：由乘法原理①共可組成3×4×4=48〔個(gè)〕不同的三位數(shù)；②共可組成3×3×2=18〔個(gè)〕沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．例6由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？分析要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個(gè)位上只有能取1、3、5中的一個(gè)，有3種不同的取法；十位上，可以從余下的五個(gè)數(shù)字中取一個(gè)，有5種取法；百位上有4種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決．解：由1、2、3、4、5、6共可組成3×4×5×3=180個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)．例7右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子．問：共有多少種不同的放法？分析由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)．故可看成是分四步完成這件事．第一步放棋子A，A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放B，故還剩下9個(gè)方格可以放B，B有9種放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，還剩下四個(gè)方格可以放C，C有4種放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個(gè)方格可以放D，D有1種放法，此題要由乘法原理解決．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576種不同的放法．習(xí)題八1．某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走．問，罪犯共有多少種逃走的方法？2．如右圖，在三條平行線上分別有一個(gè)點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)〔且不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不共線〕．在每條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)三角形．問：一共可以畫出多少個(gè)這樣的三角形？3．在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù)．共可以組成多少個(gè)不同的減法算式？4．一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員A、B、C、D、E，由于某種原因，C不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上．問：共有多少種不同的站位方法？5．由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)①三位數(shù)？②三位偶數(shù)？③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？④百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？⑤百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？6．某市的號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是0～9中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)．那么，這個(gè)城市最多可容納多少部機(jī)？第九講加法原理生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決．例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時(shí)候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，…，第k類方法中有mk種不同的做法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mk種不同的方法．這就是加法原理．例1學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書．小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本．那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？分析在這個(gè)問題中，小明選一本書有三類方法．即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說．所以，是應(yīng)用加法原理的問題．解：小明借一本書共有：150+200+100=450〔種〕不同的選法．例2一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同．問：①從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？②從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？分析①中，從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，那么這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法．所以是加法原理的問題．②中，要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，那么可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再從第二個(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題．解：①從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球共有3+8=11〔種〕，不同的取法．②從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球共有3×8=24〔種〕不同的取法．補(bǔ)充說明：由此題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做完一件事要分成假設(shè)干個(gè)步驟，一步接一步地去做才能完成這件事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可以完成這件事．例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走．那么，從甲地到丙地共有多少種走法？分析從甲地到丙地共有兩大類不同的走法．第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地．這時(shí)，要分兩步走，第一步從甲地到乙地，有4種走法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時(shí)共有4×2=8種不同的走法．第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11〔種〕不同的走法．例5有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮．第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)．由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放．放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有3×3=9種不同的情形．第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3×3=9種不同情形．最后再由加法原理即可求解．解：兩個(gè)正方體向上的一面同為奇數(shù)共有3×3=9〔種〕不同的情形；兩個(gè)正方體向上的一面同為偶數(shù)共有3×3=9〔種〕不同的情形．所以，兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有3×3+3×3=18〔種〕不同的情形．例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？分析從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況．個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8×9=72個(gè)數(shù)不含4．三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個(gè)位上，不含4的也有九種情況．要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有3×9×9=243個(gè)三位數(shù)．由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù)．所以，1～500中，不含4的三位數(shù)共有3×9×9+1=244個(gè)．解：在1～500中，不含4的一位數(shù)有8個(gè)；不含4的兩位數(shù)有8×9=72個(gè)；不含4的三位數(shù)有3×9×9+1=244個(gè)，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324〔個(gè)〕不含4的自然數(shù)．習(xí)題九1．如右圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有多少種走法？2．書架上有6本不同的畫報(bào)和7本不同的書，從中最多拿兩本〔不能不拿〕，有多少種不同的拿法？3．如以下圖中，沿線段從點(diǎn)A走最短的路線到B，各有多少種走法？4．在1～1000的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字0？5．在1～500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個(gè)？6．十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來第十講行程問題在本講中，我們研究兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相同的運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程、速度、時(shí)間這三個(gè)根本量之間有什么樣的關(guān)系.例1下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？〔假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒有回到家〕.分析假設(shè)經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了A地，此時(shí)弟弟已走了40×5=200〔米〕；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？解：40×5÷〔60-40〕=200÷20=10〔分鐘〕答：哥哥10分鐘可以追上弟弟.我們把類似例1這樣的題，稱之為追及問題.如果我們把開始時(shí)刻前后兩物體〔或人〕的距離稱為路程差〔如例1中的200米〕，從開始時(shí)刻到后者追上前者路程差這一段路程所用的時(shí)間稱為追及時(shí)間，那么從例1容易看出：追及問題存在這樣的根本關(guān)系：路程差=速度差×追及時(shí)間.如果其中的兩個(gè)量，那么根據(jù)上式就很容易求出第三個(gè)量.例2甲、乙二人練習(xí)跑步，假設(shè)甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘可追上乙；假設(shè)甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙.問：甲、乙二人的速度各是多少？分析假設(shè)甲讓乙先跑10米，那么10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為10÷5=2〔米/秒〕；假設(shè)甲讓乙先跑2秒，那么甲跑4秒可追上乙，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為4秒，因此路程差就等于2×4=8〔米〕，也即乙在2秒內(nèi)跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.綜合列式計(jì)算如下：解：乙的速度為：10÷5×4÷2=4〔米/秒〕甲的速度為：10÷5+4=6〔米/秒〕答：甲的速度為6米/秒，乙的速度為4米/秒.例3某人沿著一條與鐵路平行的筆直的小路由西向東行走，這時(shí)有一列長520米的火車從背后開來，此人在行進(jìn)中測出整列火車通過的時(shí)間為42秒，而在這段時(shí)間內(nèi)，他行走了68米，那么這列火車的速度是多少？分析整列火車通過的時(shí)間是42秒，這句話的意思是：從火車的車頭追上行人時(shí)開始計(jì)時(shí)，直到車尾超過行人為止共用42秒，因此，如果我們把火車的運(yùn)動(dòng)看作是車尾的運(yùn)動(dòng)的話，那么此題實(shí)際上就是一個(gè)車尾與人的追及問題，開始時(shí)刻，它們的路程差就等于這列火車的車長，追及時(shí)間就等于42秒，因此可以求出它們的速度差，從而求出火車的車速.解：520÷42+68÷42=〔520+68〕÷42=588÷42=14〔米/秒〕答：火車的車速為14米/秒.例4幸福村小學(xué)有一條200米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時(shí)從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問冬冬第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米，第2次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少圈？分析這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時(shí)同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時(shí)，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個(gè)周長〔200米〕，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根據(jù)追及問題的根本關(guān)系就可求出追及時(shí)間以及他們各自所走的路程.解：①冬冬第一次追上晶晶所需要的時(shí)間：200÷〔6-4〕=100〔秒〕②冬冬第一次追上晶晶時(shí)他所跑的路程應(yīng)為：6×100=600〔米〕③晶晶第一次被追上時(shí)所跑的路程：4×100=400〔米〕④冬冬第二次追上晶晶時(shí)所跑的圈數(shù)：〔600×2〕÷200=6〔圈〕⑤晶晶第2次被追上時(shí)所跑的圈數(shù)：〔400×2〕÷200=4〔圈〕答：略.解答封閉路線上的追及問題，關(guān)鍵是要掌握從并行到下次追及的路程差恰是一圈的長度.例5軍事演習(xí)中，“我〞海軍英雄艦追擊“敵〞軍艦，追到A島時(shí)，“敵〞艦已在10分鐘前逃離，“敵〞艦每分鐘行駛1000米，“我〞海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵〞艦600米處可開炮射擊，問“我〞海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？分析“我〞艦追到A島時(shí)，“敵〞艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時(shí)，“我〞艦與“敵〞艦的距離為10000米〔=1000×10〕.又因?yàn)椤拔舀暸炘诰嚯x“敵〞艦600米處即可開炮射擊，即“我〞艦只要追上“敵〞艦9400〔=10000米-600米〕即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問題中，不妨把9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追及時(shí)間.解：〔1000×10-600〕÷〔1470-1000〕=〔10000-600〕÷470=9400÷470=20〔分鐘〕答：經(jīng)過20分鐘可開炮射擊“敵〞艦.例6在一條直的公路上，甲、乙兩個(gè)地點(diǎn)相距600米，張明每小時(shí)行4公里，李強(qiáng)每小時(shí)行5公里.8點(diǎn)整，張李二人分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再經(jīng)過3分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1，3，5，…〔連續(xù)奇數(shù)〕分鐘數(shù)調(diào)頭行走，那么張、李二人相遇時(shí)是8點(diǎn)幾分？分析無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000÷60+5000÷60=150〔米〕.如果兩人一直相向而行，那么從出發(fā)經(jīng)過600÷150=4〔分鐘〕兩人相遇.顯然，按現(xiàn)在的走法，在16分鐘〔=1+3+5+7〕之內(nèi)兩人不會(huì)相遇.在這16分鐘之內(nèi)，他們相向走了6分鐘〔=1+5〕，反向走了10分鐘〔=3+7〕，此時(shí)兩人相距600+[150×〔3+7-1-5〕]=1200米，因此，再相向行走，經(jīng)過1200÷150=8〔分鐘〕就可以相遇.解：600+150×〔3+7-1-5〕=1200〔米〕1200÷〔4000÷60+5000÷60〕=8〔分鐘〕1+3+5+7+8=24〔分鐘〕答：兩人相遇時(shí)是8點(diǎn)24分.例7自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì)，然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；隨后又返回去追自行車隊(duì)，再追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn)18千米，求自行車隊(duì)和摩托車的速度.分析在第一次追上自行車隊(duì)與第二次追上自行車隊(duì)之間，摩托車所走的路程為〔18+9〕千米，而自行車所走的路程為〔18-9〕千米，所以，摩托車的速度是自行車速度的3倍〔=〔18+9〕÷〔18-9〕〕；摩托車與自行車的速度差是自行車速度的2倍，再根據(jù)第一次摩托車開始追自行車隊(duì)時(shí)，車隊(duì)已出發(fā)了12分鐘，也即第一次追及的路程差等于自行車在12分鐘內(nèi)所走的路程，所以追及時(shí)間等于12÷2=6〔分鐘〕；聯(lián)系摩托車在距出發(fā)點(diǎn)9千米的地方追上自行車隊(duì)可知：摩托車在6分鐘內(nèi)走了9千米的路程，于是摩托車和自行車的速度都可求出了.解：〔18+9〕÷〔18-9〕=3〔倍〕12÷〔3-1〕=6〔分鐘〕9÷6=1.5〔千米/分鐘〕1.5÷3=0.5〔千米/分鐘〕答：摩托車與自行車的速度依次為1.5千米/分鐘，0.5千米/分鐘.例8A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？+分析由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20〔分鐘〕內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段AE的長度，即等于甲在〔80+100〕分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍〔=180÷20〕，那么BF的長為AF的9倍，所以，甲從A到B，共需走80×〔1+9〕=800〔分鐘〕乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)AB全程.從第一次追上甲時(shí)開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘〔=100×2〕，所以，在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.解：〔略〕.習(xí)題十1.解放軍某部先遣隊(duì)，從營地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向某地前進(jìn)，6小時(shí)后，部隊(duì)有急事，派通訊員騎摩托車以每小時(shí)78千米的速度前去聯(lián)絡(luò)，問多少時(shí)間后，通訊員能趕上先遣隊(duì)？2.小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度.3.甲、乙兩架飛機(jī)同時(shí)從一個(gè)機(jī)場起飛，向同一方向飛行，甲機(jī)每小時(shí)行300千米，乙機(jī)每小時(shí)行340千米，飛行4小時(shí)后它們相隔多少千米？這時(shí)候甲機(jī)提高速度用2小時(shí)追上乙機(jī)，甲機(jī)每小時(shí)要飛行多少千米？4.兩人騎自行車從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著長900千米環(huán)形路行駛，如果他們反向而行，那么經(jīng)過2分鐘就相遇，如果同向而行，那么每經(jīng)過18分鐘快者就追上慢者，求兩人騎車的速度？5.一條環(huán)形跑道長400米，甲騎自行車每分鐘騎450米，乙跑步每分鐘250米，兩人同時(shí)從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？6.上午8點(diǎn)零8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追