小學數(shù)學應用題題型大全

小學數(shù)學典型應用題小學數(shù)學中把含有數(shù)量關系的實際問題用語言或文字表達出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩局部構成。第一局部是條件〔簡稱條件〕，第二局部是所求問題〔簡稱問題〕。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。應用題可分為一般應用題與典型應用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題：

1、歸一問題

2、歸總問題

3、和差問題

4、和倍問題

5、差倍問題

6、倍比問題

7、相遇問題

8、追及問題

9、植樹問題

10、年齡問題

11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、“牛吃草〞問題20、雞兔同籠問題

21、方陣問題

22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原那么問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少〔即單一量〕，然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量另一總量÷〔總量÷份數(shù)〕＝所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解〔1〕買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12〔元〕〔2〕買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92〔元〕列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92〔元〕答：需要1.92元。例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？解〔1〕1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10〔公頃〕〔2〕5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300〔公頃〕列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300〔公頃〕答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解〔1〕1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4＝5〔噸〕〔2〕7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×7＝35〔噸〕〔3〕105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3〔次〕列成綜合算式105÷〔100÷5÷4×7〕＝3〔次〕答：需要運3次。2歸總問題【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量〞，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量〞是指貨物的總價、幾小時〔幾天〕的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改良裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解〔1〕這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2〔米〕〔2〕現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904〔套〕列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904〔套〕答：現(xiàn)在可以做904套。例2小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？解〔1〕《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288〔頁〕〔2〕小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8〔天〕列成綜合算式24×12÷36＝8〔天〕答：小明8天可以讀完《紅巖》。例3食堂運來一批蔬菜，原方案每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原方案多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解〔1〕這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500〔千克〕〔2〕這批蔬菜可以吃多少天？1500÷〔50＋10〕＝25〔天〕列成綜合算式50×30÷〔50＋10〕＝1500÷60＝25〔天〕答：這批蔬菜可以吃25天。3和差問題【含義】兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。【數(shù)量關系】大數(shù)＝〔和＋差〕÷2小數(shù)＝〔和－差〕÷2【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解甲班人數(shù)＝〔98＋6〕÷2＝52〔人〕乙班人數(shù)＝〔98－6〕÷2＝46〔人〕答：甲班有52人，乙班有46人。例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解長＝〔18＋2〕÷2＝10〔厘米〕寬＝〔18－2〕÷2＝8〔厘米〕長方形的面積＝10×8＝80〔平方厘米〕答：長方形的面積為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多〔32－30〕＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量＝〔22＋2〕÷2＝12〔千克〕丙袋化肥重量＝〔22－2〕÷2＝10〔千克〕乙袋化肥重量＝32－12＝20〔千克〕答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐〞，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是〔14×2＋3〕，甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝〔97＋14×2＋3〕÷2＝64〔筐〕乙車筐數(shù)＝97－64＝33〔筐〕答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。4和倍問題【含義】兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關系】總和÷〔幾倍＋1〕＝較小的數(shù)總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解〔1〕杏樹有多少棵？248÷〔3＋1〕＝62〔棵〕〔2〕桃樹有多少棵？62×3＝186〔棵〕答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解〔1〕西庫存糧數(shù)＝480÷〔1.4＋1〕＝200〔噸〕〔2〕東庫存糧數(shù)＝480－200＝280〔噸〕答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，假設每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站〔28－24〕輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)〔52＋32〕就相當于〔2＋1〕倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為〔52＋32〕÷〔2＋1〕＝28〔輛〕所求天數(shù)為〔52－28〕÷〔28－24〕＝6〔天〕答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時〔170＋4－6〕就相當于〔1＋2＋3〕倍。那么，甲數(shù)＝〔170＋4－6〕÷〔1＋2＋3〕＝28乙數(shù)＝28×2－4＝52丙數(shù)＝28×3＋6＝90答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5差倍問題【含義】兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關系】兩個數(shù)的差÷〔幾倍－1〕＝較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解〔1〕杏樹有多少棵？124÷〔3－1〕＝62〔棵〕〔2〕桃樹有多少棵？62×3＝186〔棵〕答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解〔1〕兒子年齡＝27÷〔4－1〕＝9〔歲〕〔2〕爸爸年齡＝9×4＝36〔歲〕答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場改革經(jīng)營管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解如果把上月盈利作為1倍量，那么〔30－12〕萬元就相當于上月盈利的〔2－1〕倍，因此上月盈利＝〔30－12〕÷〔2－1〕＝18〔萬元〕本月盈利＝18＋30＝48〔萬元〕答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差〔138－94〕。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，那么幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，〔138－94〕就相當于〔3－1〕倍，因此剩下的小麥數(shù)量＝〔138－94〕÷〔3－1〕＝22〔噸〕運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72〔噸〕運糧的天數(shù)＝72÷9＝8〔天〕答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6倍比問題【含義】有兩個的同類量，其中一個量是另一個量的假設干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關系】總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解〔1〕3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37〔倍〕〔2〕可以榨油多少千克？40×37＝1480〔千克〕列成綜合算式40×〔3700÷100〕＝1480〔千克〕答：可以榨油1480千克。例2今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解〔1〕48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160〔倍〕〔2〕共植樹多少棵？400×160＝64000〔棵〕列成綜合算式400×〔48000÷300〕＝64000〔棵〕答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解〔1〕800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200〔倍〕〔2〕800畝收入多少元？11111×200＝2222200〔元〕〔3〕16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20〔倍〕〔4〕16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000〔元〕答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。7相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關系】相遇時間＝總路程÷〔甲速＋乙速〕總路程＝〔甲速＋乙速〕×相遇時間【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？解392÷〔28＋21〕＝8〔小時〕答：經(jīng)過8小時兩船相遇。例2小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解“第二次相遇〞可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時間＝〔400×2〕÷〔5＋3〕＝100〔秒〕答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點3千米處相遇〞是正確理解此題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是〔3×2〕千米，因此，相遇時間＝〔3×2〕÷〔15－13〕＝3〔小時〕兩地距離＝〔15＋13〕×3＝84〔千米〕答：兩地距離是84千米。8追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)〔或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)〕作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關系】追及時間＝追及路程÷〔快速－慢速〕追及路程＝〔快速－慢速〕×追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解〔1〕劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900〔千米〕〔2〕好馬幾天追上劣馬？900÷〔120－75〕＝20〔天〕列成綜合算式75×12÷〔120－75〕＝900÷45＝20〔天〕答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了〔500－200〕米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，那么跑500米用［40×〔500÷200〕］秒，所以小亮的速度是〔500－200〕÷［40×〔500÷200〕］＝300÷100＝3〔米〕答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是〔22－16〕小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×〔22－6〕］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時間＝［10×〔22－6〕＋60］÷〔30－10〕＝220÷20＝11〔小時〕答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車〔16×2〕千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷〔48－40〕＝4〔小時〕所以兩站間的距離為〔48＋40〕×4＝352〔千米〕列成綜合算式〔48＋40〕×［16×2÷〔48－40〕］＝88×4＝352〔千米〕答：甲乙兩站的距離是352千米。例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解要求距離，速度，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間〔從出發(fā)到相遇〕內哥哥比妹妹多走〔180×2〕米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走〔90－60〕米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷〔90－60〕＝12〔分鐘〕家離學校的距離為90×12－180＝900〔米〕答：家離學校有900米遠。例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到〔10－5〕分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了〔10－5〕分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－〔10－5〕］分鐘。所以步行1千米所用時間為1÷［9－〔10－5〕］＝0.25〔小時〕＝15〔分鐘〕跑步1千米所用時間為15－［9－〔10－5〕］＝11〔分鐘〕跑步速度為每小時1÷11／60＝5.5〔千米〕答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。9植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3面積植樹棵數(shù)＝面積÷〔棵距×行距〕【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解136÷2＋1＝68＋1＝69〔棵〕答：一共要栽69棵垂柳。例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解400÷4＝100〔棵〕答：一共能栽100棵白楊樹。例3一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解220×4÷8－4＝110－4＝106〔個〕答：一共可以安裝106個照明燈。例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解96÷〔0.6×0.4〕＝96÷0.24＝400〔塊〕答：至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，假設每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解〔1〕橋的一邊有多少個電桿？500÷50＋1＝11〔個〕〔2〕橋的兩邊有多少個電桿？11×2＝22〔個〕〔3〕大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44〔盞〕答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。【數(shù)量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變〞這個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題〞的解題思路和方法。例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解35÷5＝7〔倍〕〔35+1〕÷〔5+1〕＝6〔倍〕答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解〔1〕母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30〔歲〕〔2〕幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷〔4－1〕－7＝3〔年〕列成綜合算式〔37－7〕÷〔4－1〕－7＝3〔年〕答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解今年父子的年齡和應該比3年前增加〔3×2〕歲，今年二人的年齡和為49＋3×2＝55〔歲〕把今年兒子年齡作為1倍量，那么今年父子年齡和相當于〔4＋1〕倍，因此，今年兒子年齡為55÷〔4＋1〕＝11〔歲〕今年父親年齡為11×4＝44〔歲〕答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲〞。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲〞。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：

過去某一年今

年將來某一年

甲

□歲

△歲

61歲

乙

4歲

□歲

△歲表中兩個“□〞表示同一個數(shù)，兩個“△〞表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為〔61－4〕÷3＝19〔歲〕甲今年的歲數(shù)為

△＝61－19＝42〔歲〕乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23〔歲〕答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。11行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關系】〔順水速度＋逆水速度〕÷2＝船速〔順水速度－逆水速度〕÷2＝水速順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25〔千米〕船的逆水速為25－15＝10〔千米〕船逆水行這段路程的時間為320÷10＝32〔小時〕答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36甲船速－水速＝360÷18＝20可見〔36－20〕相當于水速的2倍，所以，水速為每小時〔36－20〕÷2＝8〔千米〕又因為，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速為360÷15＋8＝32〔千米〕乙船順水速為32＋8＝40〔千米〕所以，乙船順水航行360千米需要360÷40＝9〔小時〕答：乙船返回原地需要9小時。例3一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解這道題可以按照流水問題來解答?！?〕兩城相距多少千米？〔576－24〕×3＝1656〔千米〕〔2〕順風飛回需要多少小時？1656÷〔576＋24〕＝2.76〔小時〕列成綜合算式［〔576－24〕×3］÷〔576＋24〕＝2.76〔小時〕答：飛機順風飛回需要2.76小時。12列車問題【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關系】火車過橋：過橋時間＝〔車長＋橋長〕÷車速火車追及：追及時間＝〔甲車長＋乙車長＋距離〕÷〔甲車速－乙車速〕火車相遇：相遇時間＝〔甲車長＋乙車長＋距離〕÷〔甲車速＋乙車速〕【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。〔1〕火車3分鐘行多少米？900×3＝2700〔米〕〔2〕這列火車長多少米？2700－2400＝300〔米〕列成綜合算式900×3－2400＝300〔米〕答：這列火車長300米。例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是〔8×125〕米，這段路程就是〔200米＋橋長〕，所以，橋長為8×125－200＝800〔米〕答：大橋的長度是800米。例3一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解從追上到追過，快車比慢車要多行〔225＋140〕米，而快車比慢車每秒多行〔22－17〕米，因此，所求的時間為〔225＋140〕÷〔22－17〕＝73〔秒〕答：需要73秒。例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150÷〔22＋3〕＝6〔秒〕答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在〔88－58〕秒的時間內行駛了〔2000－1250〕米的路程，因此，火車的車速為每秒〔2000－1250〕÷〔88－58〕＝25〔米〕進而可知，車長和橋長的和為〔25×58〕米，因此，車長為25×58－1250＝200〔米〕答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。13時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題〞后可以直接利用公式。例1從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走〔1－1/12〕＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷〔1－1/12〕≈22〔分〕答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格〔包括分針在時針的前或后15格兩種情況〕。四點整的時候，分針在時針后〔5×4〕格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走〔5×4－15〕格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走〔5×4＋15〕格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走〔1－1/12〕格就可以求出二針成直角的時間。〔5×4－15〕÷〔1－1/12〕≈6〔分〕〔5×4＋15〕÷〔1－1/12〕≈38〔分〕答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解六點整的時候，分針在時針后〔5×6〕格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。〔5×6〕÷〔1－1/12〕≈33〔分〕答：6點33分的時候分針與時針重合。14盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余〔盈〕，一次缺乏〔虧〕，或兩次都有余，或兩次都缺乏，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，那么有：參加分配總人數(shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差如果兩次都盈或都虧，那么有：參加分配總人數(shù)＝〔大盈－小盈〕÷分配差參加分配總人數(shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，假設每人分3個就余11個；假設每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解按照“參加分配的總人數(shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差〞的數(shù)量關系：〔1〕有小朋友多少人？〔11＋1〕÷〔4－3〕＝12〔人〕〔2〕有多少個蘋果？3×12＋11＝47〔個〕答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)〞，按照“參加分配的總人數(shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差〞的數(shù)量關系，可以得知原定完成任務的天數(shù)為〔260×8－300×4〕÷〔300－260〕＝22〔天〕這條路全長為300×〔22＋4〕＝7800〔米〕答：這條路全長7800米。例3學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解此題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)〞，于是就有〔1〕有多少車？〔30－0〕÷〔45－40〕＝6〔輛〕〔2〕有多少人？40×6＋30＝270〔人〕答：有6輛車，有270人。15工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程〞、“一塊土地〞、“一條水渠〞、“一件工作〞等，在解題時，常常用單位“1〞表示工作總量。【數(shù)量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1〞，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)〔它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾〕，進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷〔甲工作效率＋乙工作效率〕【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解題中的“一項工程〞是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1〞。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的〔1/10＋1/15〕。由此可以列出算式：1÷〔1/10＋1/15〕＝1÷1/6＝6〔天〕答：兩隊合做需要6天完成。例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解設總工作量為1，那么甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成〔1/6－1/8〕，二人合做時每小時完成〔1/6＋1/8〕。因為二人合做需要［1÷〔1/6＋1/8〕］小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以〔1〕每小時甲比乙多做多少零件？24÷［1÷〔1/6＋1/8〕］＝7〔個〕〔2〕這批零件共有多少個？7÷〔1/6－1/8〕＝168〔個〕答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，這批零件共有24÷1/7＝168〔個〕例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，那么甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要〔60－5×2〕÷〔6＋4〕＝5〔小時〕答：還需要5小時才能完成。例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有假設干個同樣粗細的進水管。當翻開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當翻開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要翻開多少個進水管？解注〔排〕水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量〔一池水〕。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，那么4個進水管5小時注水量為〔1×4×5〕，2個進水管15小時注水量為〔1×2×15〕，從而可知每小時的排水量為〔1×2×15－1×4×5〕÷〔15－5〕＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2，所以，2小時內注滿一池水至少需要多少個進水管？〔15＋1×2〕÷〔1×2〕＝8.5≈9〔個〕答：至少需要9個進水管。16正反比例問題【含義】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定〔即商一定〕，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。【數(shù)量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比擬簡捷。【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率〔倍數(shù)〕轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題根本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶〔1＋3〕＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶〔1＋2〕＝1∶3＝4∶12比擬以上兩式可知，把總長度當作12份，那么300米相當于〔4－3〕份，從而知公路總長為300÷〔4－3〕×12＝3600〔米〕答：這條公路總長3600米。例2張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系設91分鐘可以做X應用題那么有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分鐘可以做13道應用題。例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關系設X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就可以看完。例4一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如下圖，求大矩形的面積。A

252036B16解由面積÷寬＝長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解這兩個比例，得A＝45B＝20所以，大矩形面積為45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面積是16217按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成假設干份。這類題的條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各局部占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關系】從條件看，總量和幾個局部量的比；從問題看，求幾個局部量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】先把各局部量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各局部占總量的幾分之幾〔以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子〕，再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各局部量的值。例1學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解總份數(shù)為47＋48＋45＝140一班植樹560×47/140＝188〔棵〕二班植樹560×48/140＝192〔棵〕三班植樹560×45/140＝180〔棵〕答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15〔厘米〕60×4/12＝20〔厘米〕60×5/12＝25〔厘米〕答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，那么很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

人

數(shù)

80人一共多少人？對應的份數(shù)

12－88＋12＋21解80÷〔12－8〕×〔8＋12＋21〕＝820〔人〕答：三個車間一共820人。18百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分數(shù)那么無需；分數(shù)既可以表示“率〞，也可以表示“量〞，而百分數(shù)只能表示“率〞；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%〞。在實際中和常用到“百分點〞這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。【數(shù)量關系】掌握“百分數(shù)〞、“標準量〞“比擬量〞三者之間的數(shù)量關系：百分數(shù)＝比擬量÷標準量標準量＝比擬量÷百分數(shù)【解題思路和方法】一般有三種根本類型：〔1〕求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；〔2〕一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；〔3〕一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解〔1〕用去的占720÷〔720＋6480〕＝10%〔2〕剩下的占6480÷〔720＋6480〕＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解此題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比擬量所以〔525－420〕÷525＝0.2＝20%或者1－420÷525＝0.2＝20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解此題中以男職工人數(shù)為標準量，女職工比男職工多的人數(shù)為比擬量，因此〔525－420〕÷420＝0.25＝25%或者525÷420－1＝0.25＝25%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解〔1〕男職工占420÷〔420＋525〕＝0.444＝44.4%〔2〕女職工占525÷〔420＋525〕＝0.556＝55.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總人數(shù)×100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19“牛吃草〞問題【含義】“牛吃草〞問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題〞。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。【數(shù)量關系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完〞，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：〔1〕求草每天的生長量因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即〔1×10×20〕；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以1×10×20＝原有草量＋20天內生長量同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量由此可知〔20－10〕天內草的生長量為1×10×20－1×15×10＝50因此，草每天的生長量為50÷〔20－10〕＝5〔2〕求原有草量原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100〔3〕求5天內草總量5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125〔4〕求多少頭牛5天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25〔頭〕答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解這是一道變相的“牛吃草〞問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)〔相當于“牛數(shù)〞〕，求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：〔1〕求每小時進水量因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量所以，〔10－3〕小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14因此，每小時的進水量為14÷〔10－3〕＝2〔2〕求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30〔3〕求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為〔17－2〕，所以17人淘完水的時間是30÷〔17－2〕＝2〔小時〕答：17人2小時可以淘完水。20雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術問題。籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關系】第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)〕÷〔4－2〕假設全都是兔，那么有雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)〕÷〔4－2〕第二雞兔同籠問題：假設全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕假設全都是兔，那么有雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解假設35只全為兔，那么雞數(shù)＝〔4×35－94〕÷〔4－2〕＝23〔只〕兔數(shù)＝35－23＝12〔只〕也可以先假設35只全為雞，那么兔數(shù)＝〔94－2×35〕÷〔4－2〕＝12〔只〕雞數(shù)＝35－12＝23〔只〕答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠〞問題。“每畝菠菜施肥〔1÷2〕千克〞與“每只雞有兩個腳〞相對應，“每畝白菜施肥〔3÷5〕千克〞與“每只兔有4只腳〞相對應，“16畝〞與“雞兔總數(shù)〞相對應，“9千克〞與“雞兔總腳數(shù)〞相對應。假設16畝全都是菠菜，那么有白菜畝數(shù)＝〔9－1÷2×16〕÷〔3÷5－1÷2〕＝10〔畝〕答：白菜地有10畝。例3李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解此題可以變通為“雞兔同籠〞問題。假設45本全都是日記本，那么有作業(yè)本數(shù)＝〔69－0.70×45〕÷〔3.20－0.70〕＝15〔本〕日記本數(shù)＝45－15＝30〔本〕答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4〔第二雞兔同籠問題〕雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？解假設100只全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔2×100－80〕÷〔4＋2〕＝20〔只〕雞數(shù)＝100－20＝80〔只〕答：有雞80只，有兔20只。例5有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？解假設全為大和尚，那么共吃饃〔3×100〕個，比實際多吃〔3×100－100〕個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小〞換“大〞，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃〔3－1/3〕個。因此，共有小和尚〔3×100－100〕÷〔3－1/3〕＝75〔人〕共有大和尚100－75＝25〔人〕答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21方陣問題【含義】將假設干人或物依一定條件排成正方形〔簡稱方陣〕，根據(jù)條件求總人數(shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關系】〔1〕方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關系：四周人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－1〕×4每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1〔2〕方陣總人數(shù)的求法：實心方陣：總人數(shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總人數(shù)＝〔外邊人數(shù)〕－〔內邊人數(shù)〕內邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2〔3〕假設將空心方陣分成四個相等的矩形計算，那么：總人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－層數(shù)〕×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？解22×22＝484〔人〕答：參加體操表演的同學一共有484人。例2有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10－〔10－3×2〕＝84〔人〕答：全方陣84人。例3有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？解〔1〕中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14〔人〕〔2〕中空方陣內層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6〔人〕〔3〕中空方陣的總人數(shù)＝14×14－6×6＝160〔人〕答：這隊學生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，假設正方形縱橫兩個方向各增加一層，那么缺少9只棋子，問有棋子多少個？解〔1〕縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13〔只〕〔2〕縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝〔13＋1〕÷2＝7〔只〕〔3〕原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40〔只〕答：棋子有40只。例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15〔棵〕第二種方法：〔5＋1〕×5÷2＝15〔棵〕答：這個三角形樹林一共有15棵樹。21方陣問題【含義】將假設干人或物依一定條件排成正方形〔簡稱方陣〕，根據(jù)條件求總人數(shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關系】〔1〕方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關系：四周人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－1〕×4每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1〔2〕方陣總人數(shù)的求法：實心方陣：總人數(shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總人數(shù)＝〔外邊人數(shù)〕－〔內邊人數(shù)〕內邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2〔3〕假設將空心方陣分成四個相等的矩形計算，那么：總人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－層數(shù)〕×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？解22×22＝484〔人〕答：參加體操表演的同學一共有484人。例2有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10－〔10－3×2〕＝84〔人〕答：全方陣84人。例3有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？解〔1〕中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14〔人〕〔2〕中空方陣內層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6〔人〕〔3〕中空方陣的總人數(shù)＝14×14－6×6＝160〔人〕答：這隊學生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，假設正方形縱橫兩個方向各增加一層，那么缺少9只棋子，問有棋子多少個？解〔1〕縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13〔只〕〔2〕縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝〔13＋1〕÷2＝7〔只〕〔3〕原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40〔只〕答：棋子有40只。例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15〔棵〕第二種方法：〔5＋1〕×5÷2＝15〔棵〕答：這個三角形樹林一共有15棵樹。22商品利潤問題【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括本錢、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。【數(shù)量關系】利潤＝售價－進貨價利潤率＝〔售價－進貨價〕÷進貨價×100%售價＝進貨價×〔1＋利潤率〕虧損＝進貨價－售價虧損率＝〔進貨價－售價〕÷進貨價×100%【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1某商品的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？解設這種商品的原價為1，那么一月份售價為〔1＋10%〕，二月份的售價為〔1＋10%〕×〔1－10%〕，所以二月份售價比原價下降了1－〔1＋10%〕×〔1－10%〕＝1%答：二月份比原價下降了1%。例2某服裝店因搬遷，店內商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧〔盈〕率是多少？解要知虧還是盈，得知實際售價52元比本錢少多少或多多少元，進而需知本錢。因為52元是原價的80%，所以原價為〔52÷80%〕元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以本錢為52÷80%÷〔1＋30%〕＝50〔元〕可以看出該店是盈利的，盈利率為〔52－50〕÷50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。例3本錢0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×〔1＋40%〕，所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20〔元〕剩下的作業(yè)本每冊盈利7.20÷［1200×〔1－80%〕］＝0.03〔元〕又可知〔0.25＋0.03〕÷［0.25×〔1＋40%〕］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例4某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價廉價10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解設乙店的進貨價為1，那么甲店的進貨價為1－10%＝0.9甲店定價為0.9×〔1＋30%〕＝1.17乙店定價為1×〔1＋20%〕＝1.20由此可得乙店進貨價為6÷〔1.20－1.17〕＝200〔元〕乙店定價為200×1.2＝240〔元〕答：乙店的定價是240元。23存款利率問題【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。【數(shù)量關系】年〔月〕利率＝利息÷本金÷存款年〔月〕數(shù)×100%利息＝本金×存款年〔月〕數(shù)×年〔月〕利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年〔月〕利率×存款年〔月〕數(shù)］【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例1李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解因為存款期內的總利息是〔1488－1200〕元，所以總利率為〔1488－1200〕÷1200又因為月利率，所以存款月數(shù)為〔1488－1200〕÷1200÷0.8%＝30〔月〕答：李大強的存款期是30月即兩年半。例2銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？解甲的總利息［10000×7.92%×2＋［10000×〔1＋7.92%×2〕］×8.28%×3＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47〔元〕乙的總利息10000×9%×5＝4500〔元〕4500－4461.47＝38.53〔元〕答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。學典型應用題24溶液濃度問題【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑〔水或其它液體〕、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關系】溶液＝溶劑＋溶質濃度＝溶質÷溶液×100%【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例1爺爺有16%的糖水50克，〔1〕要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？〔2〕假設要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解〔1〕需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30〔克〕〔2〕需要加糖多少克？50×〔1－16%〕÷〔1－30%〕－50＝10〔克〕答：〔1〕需要加水30克，〔2〕需要加糖10克。例2要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解假設全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出600×〔30%－25%〕＝30〔克〕這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉〞一局部30%的溶液。這樣，每“換掉〞100克，就會減少糖100×〔30%－15%〕＝15〔克〕所以需要“換掉〞30%的溶液〔即“換上〞15%的溶液〕100×〔30÷15〕＝200〔克〕由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600－200＝400〔克〕答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一局部鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：

甲容器乙容器原

有鹽水500鹽500×12%＝60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水500÷2＝250鹽60÷2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750÷2＝375鹽30÷2＝15第三次使甲乙中鹽水同樣多

鹽水500

鹽45－9＝36

鹽水500

鹽45－36＋15＝24由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為24÷500＝4.8%答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。25構圖布數(shù)問題【含義】這是一種數(shù)學游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學問題。所謂“構圖〞，就是設計出一種圖形；所謂“布數(shù)〞，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹媹D布數(shù)〞問題的關鍵是要符合所給的條件。【數(shù)量關系】根據(jù)不同題目的要求而定。【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目要求的圖形應是一個五角星。4×5÷2＝10因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。例2九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。解符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。例3九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復應減去，正好9棵。4×3－3＝9例4把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于12。解共有五種寫法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋712＝2＋4＋612＝3＋4＋5在這五個算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應位于三條線的交點處，其余數(shù)都位于兩條線的交點處。據(jù)此，我們可以設計出以下三種圖形：26幻方問題【含義】把n×n個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方?！緮?shù)量關系】每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和〞叫做“幻和〞。三級幻方的幻和＝45÷3＝15五級幻方的幻和＝325÷5＝65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和〔即幻和〕，其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。解幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為〔1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9〕÷3＝45÷3＝15九個數(shù)在這八條線上反復出現(xiàn)構成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次〔即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上〕，四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次。看來，用到四次的“中心數(shù)〞地位重要，宜優(yōu)先考慮。設“中心數(shù)〞為Χ，因為Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等于15，所以〔1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9〕＋〔4－1〕Χ＝15×4276951438即45＋3Χ＝60所以Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結果。例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)填到九個方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。解只有三行，三行用完了所給的9個數(shù)，所以每行三數(shù)之和為〔2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10〕÷3＝18假設符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數(shù)之和：最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3最大數(shù)是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大數(shù)是7：18＝7＋6＋5剛好寫成8個算式。首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。9274685103然后確定四個角的數(shù)。四個角的數(shù)都用了三次，而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數(shù)的和都為18。最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。27抽屜原那么問題【含義】把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學中的抽屜原那么問題?！緮?shù)量關系】根本的抽屜原那么是：如果把n＋1個物體〔也叫元素〕放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體〔元素〕。抽屜原那么可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r〔0＜r≤m〕個元素那么至少有一個抽屜中要放〔k＋1〕個或更多的元素。通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放〔k＋1〕個或更多的元素?！窘忸}思路和方法】〔1〕改造抽屜，指出元素；〔2〕把元素放入〔或取出〕抽屜；〔3〕說明理由，得出結論。例1育才小學有367個1999年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同一天的？解由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜〞，把367個1999年出生的學生看作367個“元素〞。367個“元素〞放進366個“抽屜〞中，至少有一個“抽屜〞中放有2個或更多的“元素〞。這說明至少有2個學生的生日是同一天的。例2據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？解人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜〞，3645萬人可看作3645萬個“元素〞，把3645萬個“元素〞放到20萬個“抽屜〞中，得到3645÷20＝182……5根據(jù)抽屜原那么的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。例3一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出假設干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？解把四種顏色的球的總數(shù)〔3＋3＋3＋2〕＝11看作11個“抽