2023-2024學(xué)年廣東省高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年廣東省高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜3}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，+∞） D．φ2．（5分）函數(shù)y＝2x﹣4的零點(diǎn)為（）A．0 B．﹣4 C．2 D．（2，0）3．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．（﹣∞，3）∪（3，+∞） C． D．4．（5分）若函數(shù)f（x）＝x2﹣x+m（2x+1）在（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（5分）已知，則的值為（）A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)，先將f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）A．g（x）＝sinx B．g（x）＝﹣sinx C．g（x）＝﹣cosx D．7．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣10x3ln|x|的圖象大致為（）A． B． C． D．8．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有兩個(gè)相等的正根，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值二、多選題（多選）9．（5分）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．f（x）＝|x| B． C．f（x）＝x3+2x D．f（x）＝x2+x+1（多選）10．（5分）2x2﹣5x﹣3＜0的必要不充分條件可以是（）A． B．﹣1＜x＜4 C．0＜x＜2 D．﹣2＜x＜3（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，則（）A． B． C．g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．g（x）在上單調(diào)遞減（多選）12．（5分）已知α，β是銳角，，，則cosβ＝（）A． B． C． D．三、填空題13．（5分）如果函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，則a＝．14．（5分）函數(shù)的值域是．15．（5分）已知sin2θ＝a，cos2θ＝b，0＜θ＜，給出tan（θ+）值的五個(gè)答案：①；②；③；④；⑤．其中正確的是．（填序號(hào)）16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝asinωx﹣cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值為2，則a＝，若函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為直線，m∈N*，則當(dāng)ω取最小整數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，10）之間取得最大值的次數(shù)為．四、大題17．（10分）求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個(gè)正根．18．（12分）設(shè)函數(shù)，其中0＜ω＜3，已知．（1）求ω；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝4x﹣2?2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值為1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離為2π．（1）當(dāng)x∈[﹣π，π]時(shí)，求f（x）最大值與最小值及相應(yīng)的x的值；（2）是否存在銳角α，β，使，同時(shí)成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)镽．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（Ⅱ）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a、b滿足+＝n時(shí)，求7a+4b的最小值．22．（12分）（1）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求關(guān)于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．

2023-2024學(xué)年廣東省高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜3}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，+∞） D．φ【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合之間的基本運(yùn)算，不等式的解法、交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）函數(shù)y＝2x﹣4的零點(diǎn)為（）A．0 B．﹣4 C．2 D．（2，0）【分析】令y＝2x﹣4＝0求解．【解答】解：令y＝2x﹣4＝0，解得x＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．（﹣∞，3）∪（3，+∞） C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及分母不為0，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可．【解答】解：由題意得：，解得：x≥且x≠3，故函數(shù)的定義域是[，3）∪（3，+∞）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．4．（5分）若函數(shù)f（x）＝x2﹣x+m（2x+1）在（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】將二次函數(shù)化簡為頂點(diǎn)式，再根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)滿足的表達(dá)式求解即可．【解答】解：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，∴，∴．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)單調(diào)性的問題，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知，則的值為（）A． B． C． D．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可得sin（），再由＝cos（），展開二倍角的余弦求解．【解答】解：由，得sin（）＝，∴＝cos（）＝cos2（）＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知函數(shù)，先將f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）A．g（x）＝sinx B．g（x）＝﹣sinx C．g（x）＝﹣cosx D．【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換求出結(jié)果．【解答】解：先將f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再向左平移個(gè)單位長度，則．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣10x3ln|x|的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，利用函數(shù)值判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)閒（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A、D；當(dāng)x→+0時(shí)，f（x）→0，故排除B，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．8．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有兩個(gè)相等的正根，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【分析】依題意可先用a表示b，再利用基本不等式計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有兩個(gè)相等的正根，所以，故b＝1+，a＞0，則＝2+＝2+＝2++2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，所以有最大值．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次方程根的存在條件的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．二、多選題（多選）9．（5分）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．f（x）＝|x| B． C．f（x）＝x3+2x D．f（x）＝x2+x+1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可逐一選項(xiàng)求解．【解答】解：對(duì)于A，f（x）＝|x|的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），為偶函數(shù)，對(duì)于B，的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，為奇函數(shù)，對(duì)于C，f（x）＝x3+2x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣f（x），為奇函數(shù)，對(duì)于D，f（x）＝x2+x+1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f（﹣x）＝x2﹣x+1≠﹣f（x），不是奇函數(shù)，故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）2x2﹣5x﹣3＜0的必要不充分條件可以是（）A． B．﹣1＜x＜4 C．0＜x＜2 D．﹣2＜x＜3【分析】解出一元二次不等式的解集，其必要不充分條件對(duì)應(yīng)的集合應(yīng)包含其解集，觀察選項(xiàng)即可．【解答】解：，即2x2﹣5x﹣3＜0的充要條件是，其必要不充分條件必須滿足，其集合的一個(gè)真子集是充要條件的集合，觀察選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)是{x|﹣2＜x＜3}，{x|﹣1＜x＜4}的真子集．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，則（）A． B． C．g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．g（x）在上單調(diào)遞減【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：由圖象可知函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為﹣2，所以A＝2，，故T＝π；又，又，所以；又，所以，所以，故A正確，將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．由；所以g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤．由，即；故選項(xiàng)D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象的平移變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知α，β是銳角，，，則cosβ＝（）A． B． C． D．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sin（α﹣β）的值，進(jìn)而根據(jù)β＝α﹣（α﹣β）利用兩角差的余弦公式即可求解cosβ的值．【解答】解：由α是銳角，，則，又α，β是銳角，則，得，又，則，則cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝得cosβ＝或cosβ＝．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，角變換技巧，兩角差的余弦公式，屬于中檔題．三、填空題13．（5分）如果函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，則a＝2．【分析】由奇函數(shù)的定義可得，f（﹣x）+f（x）＝0，再化簡整理，即可得到a．【解答】解：函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，則f（﹣x）+f（x）＝0，即有+＝0，則＝0，化簡得到，＝0，即＝1，故a＝2．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，考查定義法求參數(shù)的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（5分）函數(shù)的值域是[，+∞）．【分析】利用配方法求出二次函數(shù)t＝1+2x﹣x2的范圍，再由指數(shù)式的單調(diào)性求解．【解答】解：∵t＝1+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+2≤2，且y＝為定義域內(nèi)的減函數(shù)，∴≥．即函數(shù)的值域是[，+∞）．故答案為：[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法，考查指數(shù)式的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．15．（5分）已知sin2θ＝a，cos2θ＝b，0＜θ＜，給出tan（θ+）值的五個(gè)答案：①；②；③；④；⑤．其中正確的是①④⑤．（填序號(hào)）【分析】由題詞設(shè)條件，可對(duì)tan（θ+）的形式進(jìn)行了探究，得出其用sin2θ＝a，cos2θ＝b的表達(dá)式，從而得出它的答案的形式，選出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵tan（θ+）＝＝＝＝＝，∴①④是正確的，將sin2θ＝a，cos2θ＝b代入⑤驗(yàn)證知，此代數(shù)式也是正確的答案．故答案為：①④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的正切函數(shù)，正弦、余弦的二倍角公式，解題的關(guān)鍵是掌握公式且能根據(jù)公式進(jìn)行靈活變形從而解出答案的不同形式，本題的難點(diǎn)是探究答案的不同形式，由于答案表示方法不唯一，本題是一個(gè)開放式題，解本題時(shí)由于①④兩個(gè)結(jié)論易證明，且四個(gè)選項(xiàng)中僅有C同時(shí)包含①④，故解本題時(shí)注意到這一情況，則沒有必要再驗(yàn)證⑤的成立與否，這將大大降低計(jì)算量．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝asinωx﹣cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值為2，則a＝，若函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為直線，m∈N*，則當(dāng)ω取最小整數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，10）之間取得最大值的次數(shù)為3．【分析】利用輔助角公式得f（x）＝sin（ωx﹣φ），其中tanφ＝，根據(jù)函數(shù)的最大值為2，求得，從而得第一空答案；由可得，f（x）＝2sin（ωx﹣），再由對(duì)稱軸為，m∈N*，可得，k∈Z，再對(duì)k的取值進(jìn)行驗(yàn)證即可得第二空答案．【解答】解：由已知，函數(shù)f（x）＝asinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣φ），其中tanφ＝（a＞0，ω＞0），由于f（x）的最大值為2，所以，得（舍去）；，取，則f（x）＝2sin（ωx﹣），由（k∈Z），得（k∈Z），即，k∈Z，由于m∈N*，則正數(shù)ω的最小整數(shù)值為2，從而，當(dāng)，k∈Z，即，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，若k＝0，則，若k＝1，則，若k＝2，則，若k＝3，則，從而有3次取得最大值．故答案為：，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．四、大題17．（10分）求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個(gè)正根．【分析】關(guān)于x的方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個(gè)正根，則判別式大于等于0，兩根之和大于0，兩根之積大于0，可建立不等關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：設(shè)兩個(gè)實(shí)根分別是x1，x2，則有兩個(gè)正根的條件是：解得﹣1＜m≤0．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查方程根的研究，解題的關(guān)鍵是利用方程有兩個(gè)正根，則判別式大于等于0，兩根之和大于0，兩根之積大于0，可建立不等關(guān)系．18．（12分）設(shè)函數(shù)，其中0＜ω＜3，已知．（1）求ω；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【分析】（1）由題意，利用三角恒等變換，先化簡函數(shù)的解析式，再代入求值即可求出ω．（2）由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求出g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出它的遞減區(qū)間．【解答】解：（1）由得：，＝．由知，則，k∈Z，故ω＝6k+2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知，將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y＝sin（x﹣）的圖象；再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（x﹣）的圖象．由，k∈Z解得，k∈Z，所以g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝4x﹣2?2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值為1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范圍．【分析】（1）令t＝2x，則t∈[1，8]，原式化為g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，利用g（t）min＝a﹣4＝1，可求得a的值；（2）問題等價(jià)于f（x）max≥33，由（1）可知當(dāng)t＝8時(shí)，f（t）max＝a+32≥33，解之即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝4x﹣2?2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，則t∈[1，8]，原式化為g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，當(dāng)t＝2時(shí)，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，當(dāng)t＝8時(shí)，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想及配方法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題20．（12分）已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離為2π．（1）當(dāng)x∈[﹣π，π]時(shí)，求f（x）最大值與最小值及相應(yīng)的x的值；（2）是否存在銳角α，β，使，同時(shí)成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得；（2）化簡得到，代換得到，計(jì)算得到答案．【解答】解：（1）因?yàn)椋剑剑?，∵f（x）圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離為2π，∴，，，∵﹣π≤x≤π，∴，∴，∴，此時(shí)，，，此時(shí)，x＝π；（2）存在，理由如下：∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，即，∴，又∵β為銳角，0＜2β＜π，∴，，從而．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)镽．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（Ⅱ）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a、b滿足+＝n時(shí)，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由函數(shù)定義域?yàn)镽，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，設(shè)函數(shù)g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出其最小值即可；（2）由（1）知n＝4，變形7a+4b＝，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）∵函數(shù)定義域?yàn)镽，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥