六年級(jí)奧數(shù)圖形問(wèn)答

圓和組合圖形⑴

一、填空題

1.算出圓內(nèi)正方形的面積為.

2.右圖是一個(gè)直角等腰三角形,直角邊長(zhǎng)2厘米，圖中陰影部分面積是平方厘米.

3.一個(gè)扇形圓心角120）,以扇形的半徑為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形,這個(gè)正方形的面積是120

平方厘米.這個(gè)扇形面積是.

4.如圖所示，以B、。為圓心的兩個(gè)半圓的直徑都是2厘米，則陰影部分的周長(zhǎng)是

5.三角形ABC是直角三角形，陰影部分①的面積比陰影部分②的面積小28平方厘米.

A6長(zhǎng)40厘米，長(zhǎng)厘米.

6.如右圖，陰影部分的面積為2平方厘米,等腰直角三角形的面積為.

7.扇形面積是31.4平方厘米,它所在圓的面積157平方厘米,則扇形的圓心角是一度.

8.圖中扇形的半徑OA=OB=6厘米.ZAOB^45°,AC垂直O(jiān)B于C,那么圖中陰影部分

的面積是平方厘米.（萬(wàn)=3.14）

9.右圖中正方形周長(zhǎng)是20厘米.圖形的總面積是平方厘米.

10.在右圖中（單位:厘米），兩個(gè)陰影部分面積的和是平方厘米.

二、解答題

11.ABC是等腰直角三角形.。是半圓周的中點(diǎn)，3c是半圓的直徑，已知:

AB=BC=IO,那么陰影部分的面積是多少？（圓周率萬(wàn)=3.14）

12.如圖，半圓&的面積是14.13平方厘米，圓52的面積是19.625平方厘米.那么長(zhǎng)方

形（陰影部分的面積）是多少平方厘米？

13.如圖，已知圓心是0,半徑『9厘米，N1=N2=15。，那么陰影部分的面積是多少平方

厘米?（萬(wàn)23.14）

14.右圖中4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn),它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每

個(gè)圓的半徑都是1厘米,那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？

-------------------------------答案----------------------------------------------

1.18平方厘米.由圖示可知，正方形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是6厘米,正方形由兩個(gè)面

積相等的三角形構(gòu)成.三角形底為6厘米,高為3厘米,故正方形面積為

6x3x1x2=18（平方厘米）.

2

2.1.14平方厘米.由圖示可知，圖中陰影部分面積為兩個(gè)圓心角為45。的扇形面積

減去直角三角形的面積.EP3.14x22x—x2-2x2xl=1.14（平方厘米）.

3602

3.125.6平方厘米.由已知條件可知圓的半徑的平方為120平方厘米.故扇形面積

190

為3.14x120x」=125.6（平方厘米）.

360

4.3.09厘米.邊結(jié)BE、CE,則BE=CE=BC=1（厘米），故三角形BCE為等邊三角形.

^F>ZEBC=ZBC￡=60°.BE=C￡=3.14X2X—=1.045（厘米）.于是陰影部分周長(zhǎng)為

360

1.045x2+1=3.09（厘米）.

5.32.8厘米.從圖中可以看出陰影部分①加上空白部分的面積是半圓的面積，陰

影部分②加上空白部分的面積是三角形ABC的面積.又已知①的面積比②的面積小28

平方厘米,故半圓面積比三角形ABC的面積小28平方厘米.

半圓面積為3.14x（5）=628（平方厘米），三角形ABC的面積為

628+28=656（平方厘米）.BC的長(zhǎng)為656x2-40=32.8（厘米）.

9

6.37己平方厘米.將等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)正方形,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x厘米，

則圓的半徑為;厘米.圖中陰影部分面積是正方形與圓的面積之差的?，于是有

x2_3.i4x（g“=8x2,解得/=譽(yù).故等腰直角三角形的面積為

幽x』=372（平方厘米）.

13213

7.72。.扇形面積是圓面積的31.4+157=（,故扇形圓心角為36。的:即72。.

8.5.13.三角形ACO是一個(gè)等腰直角三角形，將看作底邊,AO邊上的高為

40+2=6+2=3（厘米），故三角形AC。的面積為-x6x3=9（平方厘米）.而扇形面積

2

為3.14x6?*言=14.13（平方厘米），從而陰影部分面積為14.13-9=5.13（平方厘米）.

9.142.75.由正方形周長(zhǎng)是20厘米,可得正方形邊長(zhǎng)也就是圓的半徑為

20+4=5（厘米）.圖形總面積為兩個(gè)2圓面積加上正方形的面積，即

4

3.14x5?x-x2+52=142.75（平方厘米）.

4

10.90平方厘米.圖中陰影部分的面積是從兩個(gè)以直角三角形直角邊為直徑的半

圓及一個(gè)直角三角的面積和中減去一個(gè)以直角三角形斜邊為直徑的半圓的面積即

（12+2）2x3.14xg+（16+2y*3.14xg+12x15xg—（20+2）2x3.14x；=90

（平方厘米）.

10

11.如圖作出輔助線，則陰影部分的面積為三角形A

AED的面積減去正方形BEDO的面積再加上圓面積的

三角形AEO的面積是（10+10+2“（10+2）*；;正方

形面積是（10+2尸，圓面積的上是J_X3.14X（10+2）2,故陰影部Q

44

分面積為（10+104-2）x（104-2）x--（10^2）2+'x3.14x（10+2-

24

=37.5-25+19.625=32.125（平方厘米）.

12.由已知半圓$的面積是14.13平方厘米得半徑的平方為14.13x2+3.14=9（平方

厘米），故半徑為3厘米,直徑為6厘米.

又因圓S的面積為19.625平方厘米，所以S2半徑的平方為19.625+3.14=6.25（平

方厘米），于是它的半徑為2.5厘米,直徑為5厘米.

陰影部分面積為（6-5）x5=5（平方厘米）.

13.因OA=OB,故三角形為等腰三角形，即

ZOBA=Z1=15°,ZAG>B=180P-15°x2=150P,同理ZAOC=150°,于是

ZBOC=36（y-15O5x2=60。.扇形面積為：山X3.14X9?=42.39（平方厘米）.

360

14.正方形可以分割成兩個(gè)底為2,高為1的三角形,其面積為

Ix2xlx2=2（平方厘米）.

2

正方形內(nèi)空白部分面積為4個(gè)!圓即一個(gè)圓的面積與正方形面積之差，即

4

7rxl2-2=7r-2（平方厘米），所有空白部分面積為2（〃-2）平方厘米.

故陰影部分面積為四個(gè)圓面積之和與兩個(gè)空白面積之和的差，即為

萬(wàn)x/x4—2x2（"-2）=8（平方厘米）.

十二、圓和組合圖形（2）

一、填空題

1.如圖，陰影部分的面積是

2.大圓的半徑比小圓的半徑長(zhǎng)6厘米,且大圓半徑是小圓半徑的4倍.大圓的面積比小

圓的面積大平方厘米.

3.在一個(gè)半徑是4.5厘米的圓中挖去兩個(gè)直徑都是2厘米的圓.剩下的圖形的面積是

平方厘米.（乃取3.14,結(jié)果精確到1平方厘米）

4.右圖中三角形是等腰直角三角形，陰影部分的面

積是（平方厘米）.

5.如圖所求，圓的周長(zhǎng)是16.4厘米，圓的面積

與長(zhǎng)方形的面積正好相等.圖中陰影部分的周

.厘米.（乃=3.14）

6.如圖，Nl=15。的圓的周長(zhǎng)為62.8厘米,平行四邊形的面積為100平方厘米.陰影部

分的面積是________.

7.有八個(gè)半徑為1厘米的小圓,用它們的圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形（如圖）.

圖中黑點(diǎn)是這些圓的圓心.如果圓周率"=3.1416,那么花瓣圖形的面積是平方厘

8.已知:A8C〃是正方形，ED=D4=AF=2厘米，陰影部分的面積是.

9.圖中,扇形BAC的面積是半圓ADB的面積的1g倍,那么，NC45是—度.

AOB

10.右圖中的正方形的邊長(zhǎng)是2厘米，以圓弧為分界線的甲、乙兩部分的面積差（大減

?。┦瞧椒嚼迕?（乃取3.14）

二、解答題

11.如圖：陰影部分的面積是多少？四分之一大圓的半徑

r.（計(jì)算時(shí)圓周率取2半2）

12.已知右圖中大正方形邊長(zhǎng)是6厘米，中間小正方形邊長(zhǎng)是4厘米.求陰影部分的

面積.

13.有三個(gè)面積都是S的圓放在桌上，桌面被圓覆蓋的面積是2s+2,并且重合的兩

塊是等面積的，直線。過(guò)兩個(gè)圓心A、B,如果直線。下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面

積S的值.

14.如圖所示,一塊半徑為2厘米的圓板,從平面上1的位置沿線段AB,BC、CD

滾到2的位置，如果A&BC、C〃的長(zhǎng)都是20厘米,那么圓板的正面滾過(guò)的面積是多少

平方厘米？

C

1.6.兩個(gè)扇形面積相等，故陰影部分面積等于一個(gè)長(zhǎng)為3,寬為2的長(zhǎng)方形面積，為

6個(gè)平方單位.

2.188.4.小圓的半徑為6+（4-1）=2（厘米），大圓的半徑為2x4=8（厘米）.大圓的面

積比小圓的面積大（82-22）x3.14=1884（平方厘米）.

3.57.4.52x3.14-（2+2）2x3.14x2=57.305（平方厘米）心57（平方厘米）.

4.10.26.從圓中可以看出，陰影部分的面積是兩個(gè)半圓的面積與三角形面積之差，即

3.14x（64-2）2--x62=10.26（平方厘米）.

2

5.20.5.設(shè)圓的半徑為r,則圓面積即長(zhǎng)方形面積為仃2,故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為。C=勿.

陰影部分周長(zhǎng)=DC+BC+BA+AD-7ir+r+（m*-r）+—x2^r=—x2TTT

44

=-x16.4=20.5（厘米）.

4

6.48,（平方厘米）.如圖,連結(jié)。4、AC,過(guò)A點(diǎn)作BA

6

CD的垂線交CD于E.三角形ACO的面積為100-2=50（平方厘

米）.

又圓半徑為628+（3.14x2）=10（厘米），因?yàn)?=15。,

又OA=OD,故ZAOC=15°x2=30。，扇形AOC的面積為

301

/平方厘米）.三角形A。。的面積為5。+2=25（平方厘米）.方形

面積為26^-25（平方厘米），從而陰影部分的面積為50-19=48?（平方厘米）.

6666

3

7.19.1416.花瓣圖形的結(jié)構(gòu)是正方形的面積,加上四個(gè);圓面積后，再割去四個(gè)半圓

4

的面積.圓的半徑為1厘米,正方形邊長(zhǎng)為4厘米.故花瓣圖形的面積是

31

42+^x]2x—x4-^-xl2x—x4=16+萬(wàn)=19.1416（平方厘米）.

42

8.2.43平方厘米.

如圖，將①移到②得:陰影部分面積等于梯形CEFB的

面積減去三角形CE。、三角形CD4、扇形AFG的面積，即

（2+2X3）X2X--2X2X--22X--3.14X22x至=2.43（平方厘

222360

米）.

9.60.設(shè)扇形ABC圓心角的度數(shù)是用半圓的半徑OA=z"，有

X...、2119

------X7rx（2r）=\—x—x7rxr,

36032

解得x=60.

10-°-14-扇形面積為3年2時(shí)=3』4（平方厘米），甲部分面積為

22X-1-3.14-2=0.43（平方厘米），乙部分面積為3.14+2-2x2x，=0.57（平方厘米）,

24

甲乙兩部分面積差為0.57-0.43=0.14（平方厘米）.

口.如圖，小正方形的邊長(zhǎng)法，則①的面積為:

②的面積為L(zhǎng)必-廠」產(chǎn)①和②的面積利

27⑴74

J.xNx/一J_x〃2x2=2產(chǎn).即陰影部分面積為2/.

47477

12.將陰影部分旋轉(zhuǎn)后，可以看出所求陰影部分面積為大正7...................止

形的一半，即陰影部分面積等于62-2-42+2=10（平方厘米）.

13.設(shè)一個(gè)陰影部分的面積為x,則有：3S-2x=2S+2,于是S=2x+2⑴

又2S-，=9,于是有x=至』+2,解得5=6.

23

14.圓板的正面滾過(guò)的部分如右圖陰影部分所求，

它的面積為：

1,],

-X^X22+(20-2)X4+-X^-X42+(20-4)

1,1,23

X4+(20-2)X4--X(42-^X22)+-X^-X22=204+T乃

面積計(jì)算（三）

專題簡(jiǎn)析：

對(duì)于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時(shí)直接分解有一定的困難，這時(shí)，可以通過(guò)把其中的部分圖

形進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問(wèn)題”的原理來(lái)解答。在圓的半徑

r用小學(xué)知識(shí)無(wú)法求出時(shí)，可以把“F”整體地代入面積公式求面積。

例題1。

如圖20—1所示，求圖中陰影部分的面積。

H—io->1

45°

H—10

20-120-2

【思路導(dǎo)航】

解法一：陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個(gè)等腰直角三角形（如圖20-2）,等腰直角

三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20+2=10厘米

[3.14X102X1-10X（10+2）】義2=107（平方厘米）

答：陰影部分的面積是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心點(diǎn).把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就

變?yōu)閺陌霃綖?0厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所

得的差。

20-3

（204-2）2x1-（204-2）2x1=107（平方厘米）

答：陰影部分的面積是107平方厘米。

練習(xí)1

1、如圖20—4所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）

2、如圖20—5所示，用一張斜邊為29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為49厘米的藍(lán)色

直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個(gè)直角三角形。求紅藍(lán)兩張三角形紙片面

積之和是多少？

20-4

例題2。

如圖20—6所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。

4減去

6

20-620-7

【思路導(dǎo)航】

解法一：先用長(zhǎng)方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分（a）的面積，再用大扇形的面積減去

空白部分（a）的面積。如圖20—7所示。

3.14X62X1-（6X4-3.14X42X1）=16.82（平方厘米）

解法二：把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖20—8所示。把大、小兩個(gè)扇形面積相加，剛好

多計(jì)算了空白部分和陰影（1）的面積，即長(zhǎng)方形的面積。

減

20-8

3.14X42X1+3.14X62X1-4X6=16.28（平方厘米）

答：陰影部分的面積是16.82平方厘米。

練習(xí)2

如圖20—9危，4ABC是等驅(qū)除角形，求陰影部分的面積1（單位ES米）。

甜圖%—10所示，三角形ABC是直角三角形，AC長(zhǎng)4厘米，BC長(zhǎng)2厘米。以AC、BC為

直徑畫半圓，兩個(gè)半圓的交點(diǎn)在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。

3、如圖20—11所示，圖中平行四邊形的一個(gè)角為60°,兩條邊的長(zhǎng)分別為6厘米和8厘米，高

為5.2厘米。求圖中陰影部分的面積。

例題3。

在圖20—12中，正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圖中陰影部分的面積。

20-1220-1320-14

【思路導(dǎo)航】

解法一：先用正方形的面積減去一個(gè)整圓的面積，得空部分的一半（如圖20—13所示），再用正方

形的面積減去全部空白部分。

空白部分的一半：10X10-（10+2）2X3.14=21.5（平方厘米）

陰影部分的面積：10X10-21.5X2=57（平方厘米）

解法二：把圖中8個(gè)扇形的面積加在一起，正好多算了一個(gè)正方形（如圖20—14所示），而8個(gè)扇

形的面積又正好等于兩個(gè)整圓的面積。

（10+2）2x3.14X2-10X10=57（平方厘米）

答：陰影部分的面積是57平方厘米。

練習(xí)3

例題4。

在正方形ABCD中，AC=6厘米。求陰影部分的面積。

20-18

【思路導(dǎo)航】這道題的難點(diǎn)在于正方形的邊長(zhǎng)未知，這樣扇形的半徑也就不知道。但我們可以看出，

AC是等腰直角三角形ACD的斜邊。根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性可知，斜邊上的高

等于斜邊的一半（如圖20—18所示），我們可以求出等腰直角三角形ACD的面積，

進(jìn)而求出正方形ABCD的面積，即扇形半徑的平方。這樣雖然半徑未求出，但可以

求出半徑的平方，也可以把半徑的平方直接代入圓面積公式計(jì)算。

既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6X（64-2）X2=18（平方厘米）

陰影部分的面積為：18—18X3.14+4=3.87（平方厘米）

答：陰影部分的面積是3.87平方厘米。

練習(xí)4

1、如圖20—19、20—20所示，圖形中正方形的面積都是50平方厘米，分別求出每個(gè)圖形中陰

影部分的面積。

2、如圖20—21所示，正方形中對(duì)角線長(zhǎng)10厘米，過(guò)正方形兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)以其邊長(zhǎng)為半徑分

別做弧。求圖形中陰影部分的面積（試一試，你能想出幾種辦法）。

20-1920-2020-21

例題5。

在圖20—22的扇形中，正方形的面積是30平方厘米。求陰影部分的面積。

【思路導(dǎo)航】陰影部分的面積等于扇形的面積減去正方形的面積?？墒巧刃蔚陌霃轿粗?，又無(wú)法求

出，所以我們尋求正方形的面積與扇形面積的半徑之間的關(guān)系。我們以扇形的半徑為

邊長(zhǎng)做一個(gè)新的正方形(如圖20—23所示)，從圖中可以看出，新正方形的面積是30

X2=60平方厘米，即扇形半徑的平方等于60。這樣雖然半徑未求出，但能求出半徑

的平方，再把半徑的平等直接代入公式計(jì)算。

3.14X(30X2)x1—30=17.1(平方厘米)

答：陰影部分的面積是17.1平方厘米。

練習(xí)5

1、如圖20—24所示，平行四邊形的面積是100平方厘米，求陰影部分的面積。

2、如圖20—25所示，O是小圓的圓心，CO垂直于AB,三角形ABC的面積是45平方厘米，求

陰影部分的面積。

1、如圖答20—1所示，因三角形BCD中BC邊上高等于BC的一半，所以陰影部分的面積是：

?451

62X3.14X^y-6X(6+2)X]=5.13平方厘米

2、如圖答20-2所示，將紅色直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)90°,紅色和藍(lán)色的兩個(gè)直角三角形就拼成了

一個(gè)直角邊分別是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面積為：

49X29X；=710.5平方厘米

練2

1、如圖答20—3所示，可以看做兩個(gè)半圓重疊在一起，從中減去一個(gè)三角形的面積就得到陰影

部分的面積。

(24-2)2X3.14X1X2-2X2X1=1.14平方厘米

2、思路與第一題相同

(44-2)2X3.14X1+(24-2)2X3.14x1-4X2x1=3.85平方厘米

3、如圖答20—4所示，用大小兩個(gè)扇形面積和減去一個(gè)平行四邊形的面積，即得到陰影部分的

一半，因此陰影部分的面積是：

[(82+62)X3.14X莉-8X5.2]X2=21百平方厘米

練3

1、如圖答20—5所示，陰影部分的面積等于四個(gè)半圓的面積減去一